第60课 直线的斜率与倾斜角.doc

高考数学一轮复习85课（通用篇）第九章 直线与圆的方程第60课 直线的斜率与倾斜角一、考纲要求：1、深刻认识在平面直角坐标系中确定直线的两个要素；2、理解直线的倾斜角及其斜率的概念，并深刻认识它们之间的关系；3、熟练掌握过两点直线斜率的计算公式。二、知识梳理回顾：1、直线的倾斜角：在直角坐标系中，一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角，我们规定与轴平行的直线的倾斜角为0，于是，的取值范围是。2、直线的斜率：当时，直线的斜率，当时，直线的斜率不存在。3、经过两点的直线的斜率 ；若，则 ，直线的状态是 。解析：1、任意一条直线都有倾斜角，并且倾斜角是唯一的，除了垂直于轴的直线外，所有直线都有斜率，并且唯一。垂直于轴的直线不能用斜率求解，可以由图形求解。2、直线的斜率与倾斜角的关系为，当从时，相应地从增大到；当从时，相应地从增大到。实质上是正切函数在且上的单调性。3、深刻理解经过两点的直线的斜率是两点在轴上投影的坐标差与在轴上投影的坐标差的比值，求它们差的“方向”要一致。三、诊断练习：1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。2、诊断练习点评：题1、经过点的直线的斜率 ，倾斜角。【分析与点评】（1）由斜率公式得斜率，从而倾斜角。（2）由斜率求倾斜角，本质是已知正切的函数值，求在区间内的角；已知倾斜角求斜率，本质是求一个在内的角的正切值，须注意角不能等于。解决这两类问题的关键在于熟记特殊角的三角函数值。（3）应用直线的斜率公式时，一定要首先判断两点的横坐标与是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，再用公式求斜率；若不能确定，就必须进行分类讨论。题2、已知点，且直线的斜率为，则实数的值为。【分析与点评】由斜率公式得到关于的方程，解得。题3、若三点在同一条直线上，则。【分析与点评】本题改编自课本习题。目的在于应用斜率公式来解决与斜率相关的数学问题。可提问：（1）求变量的值，关键在于建立等量关系，本题如何建立关于的等量关系？你有哪些思路？由此可得到解决本题的几种思路：利用斜率相等；利用两点间的距离；利用向量关系；由两点得到直线方程，第三点满足方程。由此可得到。（2）【变式】若三点构成三角形，则的取值范围是。题4、若一条直线的倾斜角，则这条直线的斜率。【分析与点评】（1）与之间的联系是什么？求的范围的本质是什么？（2）由角的范围去求它的正切的范围时，可以采用“以形助数”的方式来解决，同时注意端点的取舍问题。3、要点归纳：（1）应用涉及到斜率的有关问题或用斜率来处理问题时，要树立“斜率存在的意识”，也就是要有分类讨论的意识。（2）由倾斜角的范围研究斜率的范围或由斜率的范围去研究倾斜角的变化范围，要注重数形结合法的应用，以形助数，辅助分析，帮助理解。四、范例导析：例1、已知一条直线的斜率，求直线倾斜角的取值范围。【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。在学生遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1、本题的本质是什么？（确定研究方向）问题2、怎样由正切的值（或值域）来研究角的值（或取值范围）？关键点在哪里？（一是确定端点的值，二是确定变化规律）由时，得；当时，得。问题3、你有什么好的方法来确定角的变化规律？（数形结合法）例2、已知，直线的斜率等于直线斜率的倍，求实数的值。【教学处理】要求学生独立思考并解题，并请学生板演，教师进行点评。【引导分析与精讲建议】提出下列问题请学生思考：问题1：本题中的直线的斜率一定存在吗？为什么？问题2：求出的实数有什么样的要求？（保证斜率存在）由解得或。【点评】本题要求熟练、正确使用斜率公式，求出的的值要使公式有意义。【变式】已知直线经过点和，且，求直线的斜率。例3、已知直线过点，且与以为端点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围。【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,画图并独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。【引导分析与精讲建议】提出下列问题与学生交流：问题1：从你所画出的图形中，直线要与线段有公共点，直线应该如何旋转变化？问题2：直线在连续旋转变化时，它的斜率是不是也连续变化？由得直线的斜率的取值范围是。【点评】本题要求熟练地掌握直线的斜率的变化规律与直线的旋转变化之间的关系。【变式】已知直线过点，且与以为端点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围。五、当堂反馈：1、若一条直线的倾斜角是钝角，则这条直线斜率的取值范围是 。【分析与点评】由得。2、光线射到轴上并反射，已知反射光线的倾斜角是，则入射光线的斜率为 。【分析与点评】根据光线反射定律得入射光线的倾斜角为，故入射光线的斜率为。3、斜率为2的直线过三点，则 ， 。【分析与点评】由得。4、已知直线的斜率，则的取值范围是 ，倾斜角的范围是 。【分析与点评】由得，从而倾斜角的范围为。六、解题反思：1、直线的斜率与直线的倾斜角都是刻画直线的倾斜程度的量，倾斜角是从“形”的角度来刻画倾斜程度，而斜率是从“数”的角度来刻画倾斜程度；它们是一个问题的两个不同的表现形式，它们之间既相互联系，它们统一于任意角的三角函数定义，同时，它们也有一定的区别，任何直线都有倾斜角，它的范围为，但并不是所有直线都存在斜率，垂直于轴的直线不存在斜率，它的范围是；2、在研究直线的斜率与直线的倾斜角的关系时，它的本质是由定义域研究值域或由值域研究定义域的问题，具体操作时