【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量教学案（含最新模拟、试题改编）(1).docVIP

第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)6567页)考情分析考点新知 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.1. (必修4p77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab_答案：3解析：ab|a|b|cos135233.2. (必修4p80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_答案：解析： cosa，b， a，b.3. (必修4p81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_答案：解析：|ab|.4. (必修4p81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_答案：6解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因为e1，e2为单位向量，e1，e2，所以b1b23283186.5. (必修4p84习题4改编)若平面四边形abcd满足0，()0，则该四边形一定是_答案：菱形解析：四边形abcd满足0知其为平行四边形，()0即0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则(1) eaae.(2) ab ab0(3) 当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特殊的，aa|a|2或|a|.(4) cos.(5) |ab|a|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：abba.(2) 分配律：(ab)cacbc.(3) 数乘结合律：(a)b(ab)a(b)4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.故abx1x2y1y20.(2) 设a(x，y)，则|a|(3) 若向量a(x1，y1)与向量b(x2，y2)的夹角为，则有cos.备课札记题型1向量平行与垂直的充分条件例1已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xr.(1) 若ab，求x的值；(2) 若ab，求|ab|的值解：(1) 若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，整理得x22x30，解得x1或x3.(2) 若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，ab(2，0)， |ab|2；当x2时，a(1，2)，b(1，2)，ab(2，4)， |ab|2.综上，可知|ab|2或2.已知向量a(1，2)，b(2，m)，xa(t21)b，ykab，mr，k、t为正实数(1) 若ab，求m的值；(2) 若ab，求m的值；(3) 当m1时，若xy，求k的最小值解：(1) 因为ab，所以1m2(2)0，解得m4.(2) 因为ab，所以ab0，所以1(2)2m0，解得m1.(3) 当m1时，ab0.因为xy，所以xy0.则xyka2ab(t)b20.因为t0，所以kt2，当t1时取等号，即k的最小值为2.题型2向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1) 求a与b的夹角；(2) 求|ab|；(3) 若a，b，求abc的面积解：(1) (2a3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3， 644ab2761， ab6. cos.又0， .(2) 可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213， |ab|.(3) 与的夹角， abc.又|a|4，|b|3， sabc|sinabc433.已知非零向量a、b、c满足abc0 ，向量a、b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_答案：90解析：由题意，得cab，aca2ab|a|2|a|b|cos120|a|2|a|b|a|2|a|2|a|a|2|a|20，所以ac，即a与c的夹角为90.题型3平面向量与三角函数的交汇例3在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且(2ac)c0.(1) 求角b的大小；(2) 若b2，试求的最小值解：(1) 因为(2ac)c0，所以(2ac)accosbabccosc0，即(2ac)cosbbcosc0，所以(2sinasinc)cosbsinbcosc0，即2sinacosbsin(bc)0.因为sin(bc)sina0，所以cosb，所以b.(2) 因为b2a2c22accos，所以12a2c2ac3ac，即ac4，所以accosac2，当且仅当ac2时等号成立，所以的最小值为2.(2013山东卷)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cosb.(1) 求a，c的值；(2) 求sin(ab)的值解：(1) 由余弦定理b2a2c22accosb，得b2(ac)22ac(1cosb)，又ac6，b2，cosb，所以ac9，解得a3，c3.(2) 在abc中，sinb， 由正弦定理得sina，因为ac，所以a为锐角，所以cosa，因此sin(ab)sinacosbcosasinb. 例4(2013泰州市期末)已知向量a(cos，cos(10)，b(sin(10)，sin)，、r.(1) 求|a|2|b|2的值；(2) 若ab，求；(3) 若，求证：ab.(1) 解： |a|，|b|， |a|2|b|22.(2) 解： ab， cossin(10)cos(10)sin0， sin(10)0， sin100， 10k，kz， ，kz.(3) 证明： ，cossincos(10)sin(10)cossincossincossinsincos0， ab.(2013陕西卷)已知向量a，b(sinx，cos2x)，xr, 设函数f(x)ab. (1) 求f (x)的最小正周期. (2) 求f (x) 在上的最大值和最小值解：(1) f(x)abcosxsinxcos2xsin2xcos2xsin.最小正周期t. 所以f(x)sin，最小正周期为. (2) 当x时，由标准函数ysinx在上的图象知，f(x)sin. 所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为1，.探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围学生错解： 解： e1e2|e1|e2|cos60211， (2te17e2)(e1te2)2te7te(2t27)e1e28t7t2t272t215t7.因为向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，所以(2te17e2)(e1te2)0，即2t215t70，解得7t.审题引导： 当(2te17e2)(e1te2)0时，其夹角一定为钝角吗？规范解答： 解： e1e2|e1|e2|cos60211，(2分) (2te17e2)(e1te2)2te7te(2t27)e1e28t7t2t272t215t7.(4分)因为向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，所以(2te17e2)(e1te2)0，即2t215t70，解得7t.(9分)当向量2te17e2与向量e1te2反向时，设2te17e2(e1te2)，0，则2t27t或t(舍)(12分)故t的取值范围为.(14分)错因分析： 向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，可得(2te17e2)(e1te2)0，但由(2te17e2)(e1te2)0，并不能推出向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角如t时，(2te17e2)(e1te2)0，向量2te17e2与向量e1te2的夹角为，所以(2te17e2)(e1te2)0仅是向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件1. (2013南通三模)在平面四边形abcd中，点e，f分别是边ad，bc的中点，且ab1，ef，cd.若15，则_答案：13解析：2，平方并整理得2，即()2，由15，得()15，得()13.2. (2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数_答案：解析： ， ()()22(1)0，即94(1)320，解之得.3. 如图，在矩形abcd中，ab，bc2，点e为bc的中点，点f在边cd上若，则_答案：解析：(解法1)由，得|cosfab.由矩形的性质，得|cosfabdf. ab， df， df1. cf1.记和之间的夹角为，aeb，fbc，则.又 bc2，点e为bc的中点， be1. |cos|cos()|(coscossinsin)|cos|cos|sin|sinbebcabcf12(1).(解法2)以a为坐标原点、ab为x轴建立直角坐标系，则b(，0)，d(0，2)，c(，2)，e(，1)，可设f(x，2)由，计算可得x1，(，1)(1，2).4. 设点o是abc的三边中垂线的交点，且ac22acab20，则的范围是_答案：解析：()()()(22) ac22acab20，即ab22acac2， ac2(2acac2)ac2ac. ab20， 2acac20， 0ac2， .1. 已知a(3，4)，b(4，3)，求x、y的值使(xayb)a，且|xayb|1.解：由a(3，4)，b(4，3)，有xayb(3x4y，4x3y)(xayb)a(xayb)a03(3x4y)4(4x3y)0，即25x24y0.又|xayb|1|xayb|21，有(3x4y)2(4x3y)21，整理得25x248xy25y21，即x(25x24y)24xy25y21，由有24xy25y21，将变形代入可得y，再代回得和2. 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1) 求证：(ab)c；(2) 若|kabc|1(kr)，求k的取值范围(1) 证明：(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200，(ab)c.(2) 解：|kabc|1|kabc|21k2a2b2c22kab2kac2bc1.|a|b|c|1，且a、b、c夹角均为120，a2b2c21，abbcac.k22k0，即k2或k0.3. 设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由已知得e4，e1，e1e221cos601. (2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.欲使夹角为钝角，需2t215t70，得7t.设2te17e2(e1te2)(0)， 2t27， t，此时.即t时，向量2te17e2与e1te2的夹角为. 夹角为钝角时，t的取值范围是.4. (2013辽宁卷)设向量a(sinx，sinx)，b(cosx，sinx)，x.(1) 若|a|b|.求x的值；(2) 设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1) 由|a|2(sinx)2(sinx)24sin2x.|b|2(cosx)2(sinx)21.由|a|b|，得4sin2x1，又x，从而sinx，所以x.(2) f(x)absinxcosxsin2xsin2xcos2xsin，当x时，sin取最大值1，所以f(x)的最大值为.1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定