【最高考】高考数学二轮专题突破高效精练 第29讲 空间向量与立体几何.doc

专题十高考数学附加必做题训练第29讲空间向量与立体几何1. 如图，正方体abcda1b1c1d1中，m是棱bb1的中点(1) 求直线a1m与平面amc1所成角的正弦值；(2) 求二面角amc1a1的余弦值解：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2.(1) 直线a1m的一个方向向量是m(0，2，1)，平面amc1的一个法向量是n(1，1，2)，由cosm，n， 直线a1m与平面amc1所成角的正弦值是.(2) 平面a1mc1的一个法向量是e(1，1，2)，平面amc1的一个法向量是n(1，1，2)，由cose，n，由图可知二面角amc1a1为锐二面角， 二面角amc1a1的余弦值是.2. 如图，在三棱锥pabc中，已知平面pab平面abc，acbc，acbc2a，点o、d分别是ab、pb的中点，poab，连结cd.(1) 若pa2a，求异面直线pa与cd所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角apbc的余弦值的大小为，求pa.解：连结oc. 平面pab平面abc，poab， po平面abc.从而poab，pooc. acbc，点o是ab的中点， ocab，且oaoboca.如图，建立空间直角坐标系oxyz.(1) pa2a，poa.a(0，a，0)，b(0，a，0)，c(a，0，0)，p(0，0，a)，d.从而(0，a，a)，. cos， 异面直线pa与cd所成角的余弦值的大小为.(2) 设poh，则p(0，0，h) pooc，ocab， oc平面pab.从而(a，0，0)是平面pab的一个法向量不妨设平面pbc的一个法向量为n(x，y，z)， (0，a，h)，(a，a，0)， 不妨令x1，则y1，z，则n.由已知，得，化简，得h2a2. paa.3. 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱abcda1b1c1d1中，p是侧棱cc1上的一点，cpm.(1) 若m1，求异面直线ap与bd1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m，使直线ap与平面ab1d1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1，0，0)，b(1，1，0)，p(0，1，m)，c(0，1，0)，d(0，0，0)，b1(1，1，2)，d1(0，0，2)所以(1，1，2)，(1，1，1)cos，即异面直线ap与bd1所成角的余弦是.(2) 假设存在实数m，使直线ap与平面ab1d1所成的角的正弦值等于，则(1，1，0)，(1，0，2)，(1，1，m)设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则由得取x2，得平面ab1d1的法向量为n(2，2，1)由直线ap与平面ab1d1所成的角的正弦值等于，得，解得m.因为0m2，所以m满足条件，所以当m时，直线ap与平面ab1d1所成的角的正弦值等于.4. 如图，在空间直角坐标系axyz中，已知斜四棱柱abcda1b1c1d1的底面是边长为3的正方形，点b、d、b1分别在x、y、z轴上，b1a3，p是侧棱b1b上的一点，bp2pb1.(1) 写出点c1、p、d1的坐标；(2) 设直线c1e平面d1pc，e在平面abcd内，求点e的坐标解：(1) c1(0，3，3)，p(1，0，2)，d1(3，3，3)(2) c(3，3，0)， (2，3，2)，(6，0，3)设e(m，n，0)，则(m，n3，3) c1e平面d1pc， 则 m，n2.则点e的坐标为.5. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab，bc1，pa2，e为pd的中点(1) 求直线ac与pb所成角的余弦值；(2) 在侧面pab内找一点n，使ne平面pac，并求出点n到ab和ap的距离解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(，0，0)，c(，1，0)，d(0，1，0)，p(0，0，2)，e，从而(，1，0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos， ac与pb所成角