0Jrwok《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理.doc

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔授课章节：第一章 实数集与函数-数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（）掌握邻域的概念；（）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 证明：对任何有（）；（）. 证明：. 设，证明：若对任何正数有，则. 设，证明：存在有理数满足.引申：由题可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容： 先定义实数集中的两类主要的数集区间邻域；讨论有界集与无界集；由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一 区间与邻域 区间（用来表示变量的变化范围）设且。 邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（） a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即.（） 点a的空心邻域.（） a的右邻域和点a的空心右邻域（） 点a的左邻域和点a的空心左邻域（）邻域，邻域，邻域 （其中为充分大的正数）； 二 有界集与无界集什么是“界”？定义（上、下界）： 设为中的一个数集。若存在数，使得一切都有，则称为有上（下）界的数集。数称为的上界（下界）；若数集既有上界，又有下界，则称为有界集。若数集不是有界集，则称为无界集。注：）上（下）界若存在，不唯一；）上（下）界与的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。解：任取，显然有，所以有下界；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2 证明：（）任何有限区间都是有界集；（）无限区间都是无界集；（）由有限个数组成的数集是有界集。问题：若数集有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个)。三 确界与确界原理、定义定义（上确界）设是中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是的上界中最小的一个），则称数为数集的上确界，记作定义（下确界）设是中的一个数集，若数满足：（）对一切有（即是的下界）