【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章数列第3课时等比数列教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第五章 数列第3课时等 比 数 列第六章 (对应学生用书(文)、(理)7475页)考情分析考点新知理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用有关知识解决相应的问题 理解等比数列的概念. 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 了解等比数列与指数函数的关系.1. (必修5p55习题2(1)改编)设sn是等比数列an的前n项和，若a11，a632，则s3_答案：7解析：q532，q2，s37.2. (必修5p49习题1改编) an为等比数列，a26，a5162，则an的通项公式an_答案：an23n1解析：由a26，a5162，得所以a12，q3.3. (必修5p49习题6改编)等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a636，则a3a5_答案：6解析：a2a42a3a5a4a6(a3a5)236，又a10， a3，a50， a3a56.4. (必修5p49习题7(2)改编)已知两个数k9和6k的等比中项是2k，则k_答案：3解析：由已知得(2k)2(k9)(6k)，kn*， k3.5. (必修5p51例2改编)等比数列an中，s37，s663，则an_答案：2n1解析：由已知得a11，q2； an2n1.1. 等比数列的概念(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列(2) 符号语言：_q(nn，q是等比数列的公比)2. 等比数列的通项公式设an是首项为a1，公比为q的等比数列，则第n项ana1qn1推广：anamq(nm)3. 等比中项若a，g，b成等比数列，则g为a和b的等比中项且g4. 等比数列的前n项和公式(1) 当q1时，snna1(2) 当q1时，sn5. 等比数列的性质(1) anamqnm(2) 等比数列an中，对任意的m、n、p、qn*，若mnpq，则amanapaq特殊的，若mn2p，则amana(3) 等比数列an中依次每m项的和仍成等比数列，即sm、s2msm、s3ms2m、仍成等比数列，其公比为qm(q1)备课札记题型1等比数列的基本运算例1等比数列an的前n项和为sn，已知s1，s3，s2成等差数列(1) 求an的公比q；(2) 若a1a33，求sn.解：(1) s1，s3，s2成等差数列， 2s3s1s2，即2(a1a2a3)a1a1a2， 2a3a2， q.(2) a3a1q2a1， a1a13， a14， sn.已知数列an的前n项和为sn，a11，且2an1sn2(nn)(1) 求a2，a3的值，并求数列an的通项公式；(2) 解不等式sn(nn)解：(1) 2a2s12a123， a2. 2a3s22a1a22， a3. 2an1sn2， 2ansn12(n2)，两式相减，得2an12ansnsn1. 2an12anan.则an1an(n2) a2a1， an1an(nn) a110， ，即an为等比数列，ann1.(2) 3n1， 数列是首项为3，公比为的等比数列数列的前5项为：3，2，.an的前5项为：1，. n1，2，3时，sn成立；而n4时，sn； n5时，1，an1， sn. 不等式sn(nn)的解集为1，2，3题型2等比数列的判定与证明例2已知数列an的前n项和为sn，3snan1(nn)(1) 求a1，a2；(2) 求证：数列an是等比数列；(3) 求an和sn.(1) 解：由3s1a11，得3a1a11， a1.又3s2a21，即3a13a2a21，得a2.(2) 证明：当n2时，ansnsn1(an1)(an11)，得，所以an是首项为，公比为的等比数列(3) 解：由(2)可得ann，sn.在数列an中，a12，an14an3n1，nn*.(1) 求证：数列ann是等比数列；(2) 求数列an的前n项和sn；(3) 求证：不等式sn14sn对任意nn*皆成立(1) 证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nn*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2) 解：由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n，所以数列an的前n项和sn.(3) 证明：对任意的nn*，sn14sn4(3n2n4)0，所以不等式sn14sn对任意nn*皆成立题型3等比数列的性质例3已知等比数列an中，a232，a8，an1an.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设tnlog2a1log2a2log2an，求tn的最大值及相应的n值解：(1) q6， an1an，所以q.以a164为首项，所以通项公式为an64n127n(nn)(2) 设bnlog2an，则bnlog227n7n.所以bn是首项为6，公差为1的等差数列tn6n(1)n2n(n)2.因为n是自然数，所以n6或n7时，tn最大，其最大值是t6t721.已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1(nn*)的取值范围是_答案：解析：a5a2q3，2q3，q，a14，an423n，akak1，a1a2a2a3anan13232.题型4等比数列的应用例4定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln(x)其中是“保等比数列函数”的是_(填序号)答案：解析：验证： q2； .已知数列an的前n项和sn2n22n，数列bn的前n项和tn2bn.(1) 求数列an与bn的通项公式；(2) 设cnabn，证明：当且仅当n3时，cn1cn.(1) 解：a1s14，当n2时，ansnsn12n(n1)2(n1)n4n.又a14适合上式，an4n(nn*)将n1代入tn2bn，得b12b1，t1b11.当n2时，tn12bn1，tn2bn，bntntn1bn1bn，bnbn1，bn21n.(2) 证明：证法1：由cnabnn225n，得.当且仅当n3时，1，即cn1cn.证法2：由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当n3时，cn1cn0，即cn10时，求数列an的最小项(1) 证明： bnann2， bn1an1(n1)22an(n1)24(n1)2(n1)22an2n22bn(n2)由a12a1，得a24a，b2a244a4， a1， b20，即bn从第2项起是以2为公比的等比数列(2) 解：由(1)知bnsna3a4(2a2)2n，当n2时，2. sn是等比数列， (n2)是常数， 3a40，即a.(3) 解：由(1)知当n2时，bn(4a4)2n2(a1)2n， an 数列an为2a1，4a，8a1，16a，32a7，显然最小项是前三项中的一项当a时，最小项为8a1；当a时，最小项为4a或8a1；当a时，最小项为4a；当a时，最小项为4a或2a1；当a时，最小项为2a1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q1和q1进行讨论3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：方程的思想：等比数列中有五个量a1，q，n，an，s