第七章 三角形 复习.doc

第七章 三角形复习与三角形有关的线段一、三角形的边1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。如图，线段AB，BC，CD是三角形的边。点A，B，C是三角形的顶点。A，B，C是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角2.三角形的表示“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形,记作“ABC”读作“三角形ABC”3.三角形的分类 按边分类： 按角分类：4.三角形的三边的大小关系 三角形两边之和大于第三边，可以推出三角形两边之差小于第三边。此关系可以判断三边是否能构成三角形，（看：较小两边之和是否第三边）还可以利用三角形的两边，判断第三边的范围。（abcab）5.等腰三角形在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。（注：等腰三角形求周长应注意有多种情况）二、三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高 如图所示，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的高。三角形形状锐角三角形直角三角形钝角三角形图形高线位置及交点锐角三角形三条高线在三角形内部，相交于形内一点。直角三角形两条高在直角边上，一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点。钝角三角形两条高在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在的直线相交于三角形外一点。2.三角形的中线 如图所示，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线。一个三角形有三条中线，它们都在三角形内部，并且相交于一点。三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。3.三角形的角平分线如图所示，画A的角平分线AD，交A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ABC的角平分线。一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形内部，并且相交于一点。注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。注：三角形的高，中线和角平分线都是线段。三、三角形的稳定性 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。与三角形有关的角一、三角形的内角1.定义：三角形中相邻两边组成的角叫做2.三角形内角和定理：三角形内角和等于1803.三角形内角和定理的应用：在三角形中，已知两个内角，求第三个内角的度数。在直角三角形中，两个锐角互余。已知三角形三个角的关系，可以求出其内角的度数。二、三角形的外角1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。2.三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上一条边是三角形的一条边另一条是三角形某边的延长线。3.三角形的外角性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和等于360 4.三角形外角的性质应用 性质1的作用：已知外角和它不相邻的两个内角中的一个，可以求另一个；可以证明一个角等于已知两个角的和，经常利用它作为中间量关系式证明两个角相等。性质2的作用：利用它证明两个角的不等关系。多边形及其内角和一、多边形1.定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形。二、多边形的对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。n边形从一个顶点出发可以画（n3）条对角线，将n边形分成（n2）个三角形，n边形共有 条对角线。三、正多边形1.定义：各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形。各个角相等，各个边相等是正多边形必备的条件，二者缺一不可。如：四条边相等的四边形不一定是正方形（比如：菱形）四个角相等的四边形也不一定是正方形（比如：长方形）只有四条边相等且四个角相等的四边形才是正方形。四、多边形的内角和定理1.定理：n边形内角和公式：（n2）180 （n3）2.定理的证明从n边形的一个顶点做对角线，可以做（n3）条对角线，并且将n边形分成（n2）个三角形，则（n2）个三角形的内角和恰好是多边形的内角和（n2）180n边形内任取一点，并把这点与各顶点连接起来，共构成n个三角形，则n个三角形的内角和为n180，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为（n2）180五、多边形的外角和定理1.定理：多边形的外角和等于3602.多边形外角和定理的证明注意：多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n180那么外角和等于n180（n2）180=360 六、多边形的边数与内角和、外角和的关系 1.内角和与边数成正比例关系：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少，每增加一条边，内角和就增加180（反过来也成立）2.多边形外角和总等于360，与边数无关3.多边形的内角中最多有三个是锐角，最少没有锐角（如矩形（长方形）， 多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。课题学习 镶嵌1. 平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把一个平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌。2. 镶嵌的条件：在一个顶点处所有角的和为360用一种图形进行镶嵌：任意三角形（如：钝角三角形，锐角三角形）任意四边形（如：梯形，长方形）用一种正多边形：正三角形，正方形，正六边形（正五边形不可以镶嵌）用两种正多边形进行镶嵌：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正三角形和正十二边形正方形和正八边形正五边形和正十边形用三种正多边形进行镶嵌：正3正4正6，正3正4正12，正4正5正20正4正6正12例如：用两种不同的正多边形进行镶嵌 设在一个顶点处有m个正三角形，n个正方形，则 应满足60m90n360 即 m3，n2，则一个顶点处需要3个正三角形，2个正方形。解：由角平分线定义及三角形内、外角性质得BDC180（DBCDCB） 180（ABCACB） 180（180A） 90A三角形两内角平分线组成的角=90A BPC180（PBCPCB） 180(MBCNCB) 180（A ACBA ABC） 180（180A） 90A三角形两外角角平分线组成的角=90A解：BPC180PBCPCB 180（90ACB）（90ABC） ACBABC 180A例3：如图在ABC中P是高BD和CE的交点，试探究BPC与A之间的数量关系？解：在BCD中 BDCDBCBCD180在ABC中 A12DBCBCD180所以 BDCA12（等量代换）例1：如图所示，已知120，225，A35，求BDC的度数。例2：如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部（如A处） 12与A之间有一种数量关系始终保持不变，请找出规律，并说明理由.方法1解：由折叠原理可知： AEDAED ，ADEADE 1180AEA1802AED2180ADA1802ADE121802AED1802ADE 3602（AEDADE）3602（180A）2A方法2：由折叠原理可知： A