【最高考】高考数学二轮专题突破课堂讲义 第15讲 点、直线、平面之间的位置关系.docVIP

第15讲点、直线、平面之间的位置关系 江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公式、公理、定理、性质、定义等非常熟悉并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题1. 下列命题中，不是公理的是_(填序号) 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：2. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：ab；a；.其中真命题是_(填序号)答案：3. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的个数有_个. 答案：2解析：其中正确4. 已知四边形abcd为梯形，abcd，l为空间一直线，则“l垂直于两腰ad、bc”是“l垂直于两底ab、dc”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要题型一 线面平行与面面垂直的证明例1 如图，在三棱锥pabc中，点e、f分别是棱pc、ac的中点(1) 求证：pa平面bef；(2) 若平面pab平面abc，pbbc，求证：bcpa.证明：(1) 在pac中，e、f分别是pc、ac的中点，所以paef.又pa平面bef，ef平面bef，所以pa平面bef.(2) 在平面pab内过点p作pdab，垂足为d.因为平面pab平面abc，平面pab平面abcab，pd平面pab，所以pd平面abc.又bc平面abc，所以pdbc.又pbbc，pdpbp，pd平面pab，pb平面pab.所以bc平面pab.又pa平面pab，所以bcpa.如图的几何体中，ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab2，f为cd的中点求证：(1) af平面bce；(2) 平面bce平面cde.证明：(1) 取ce的中点g，连结fg、bg. f为cd的中点， gfde且gfde. ab平面acd，de平面acd， abde， gfab.又abde， gfab. 四边形gfab为平行四边形，则afbg. af平面bce，bg平面bce， af平面bce.(2) acd为等边三角形，f为cd的中点， afcd. de平面acd，af平面acd， deaf. bgaf， bgde，bgcd.又cdded， bg平面cde. bg平面bce， 平面bce平面cde.题型二 点共面与线面垂直的证明例2 如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且aefc11.(1) 求证：e、b、f、d1四点共面；(2) 若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em平面bcc1b1.证明：(1) 在dd1上取点n，使dn1，连结en，cn，则aedn1，cfnd12.因为aedn，nd1cf，所以四边形adne，cfd1n都为平行四边形从而en =ad，fd1cn.又因为ad=bc，所以en=bc，故四边形bcne是平行四边形，由此推知cnbe，从而fd1be.因此，e、b、f、d1四点共面(2) 因为gmbf，又bmbc，所以bgmcfb，bmbgtanbgmbgtancfbbg1.因为ae=bm，所以abme为平行四边形，从而abem.又ab平面bcc1b1，所以em平面bcc1b1. 如图，在正三棱柱abca1b1c1中，a1aac，d、e、f分别为线段ac、a1a、c1b的中点求证：(1) ef平面abc；(2) c1e平面bde.证明：(1) 如图，取bc的中点g，连结ag，fg.因为f为c1b的中点，所以fgc1c，fgc1c.在三棱柱abca1b1c1中，a1ac1c，a1ac1c且e为a1a的中点，所以fgea，且fgea，所以四边形aefg是平行四边形所以efag.因为ef平面abc，ag平面abc，所以ef平面abc.(2) 因为在正三棱柱abca1b1c1中，a1a平面abc，bd平面abc，所以a1abd.因为d为ac的中点，babc，所以bdac.因为a1aaca，a1a平面a1acc1，ac平面a1acc1，所以bd平面a1acc1.因为c1e平面a1acc1，所以bdc1e.根据题意，可得ebc1eab，c1bab，所以eb2c1e2c1b2.从而c1eb90，即c1eeb.因为bdebb，bd平面bde，eb平面bde，所以c1e平面bde.题型三 直线的平行与垂直证明例3 如图，在六面体abcda1b1c1d1中，aa1cc1，a1ba1d，abad.求证：(1) aa1bd；(2) bb1dd1.证明：(1)取线段bd的中点m，连结am、a1m.因为a1da1b，adab，所以bdam，bda1m.又ama1mm，am、a1m平面a1am，所以bd平面a1am.而aa1平面a1am，所以aa1bd.(2) 因为aa1cc1，aa1平面d1dcc1，cc1平面d1dcc1，所以aa1平面d1dcc1.又aa1平面a1add1，平面a1add1平面d1dcc1dd1，所以aa1dd1.同理得aa1bb1，故bb1dd1.点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 题型四 立体几何中的探索性问题例4 如图四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，bad60，ad1，侧面pad是正三角形，且与底面垂直，q是ad的中点(1) 求四棱锥pabcd的体积；(2) m在线段pc上，pmtpc，线段bc上是否存在一点r，使得当t(0，1)时，总有bq平面mdr？若存在，确定r点位置；若不存在，说明理由解：(1) 连结pq，则pqad.由题意得pq，sabcd. 平面pad平面abcd且交线为ad，pqad，pq平面pad， pq平面abcd， vpabcdpqsabcd.(2) 存在，r为bc的中点取r为bc的中点，连结mr，dr，dm，则bqdr. bq平面dmr，dr平面dmr， bq平面dmr.因此，r为bc的中点，当t(0，1)时，总有bq平面mdr，反之也成立1. 设l是直线，、是两个不同的平面，则下列结论正确的是_(填序号) 若l，l，则； 若l，l，则； 若，l，则l； 若， l，则l.答案：解析：本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质利用排除法可得是正确的，因为l，l，则.如：l，l时，则或；：若，l，则l或l；：若，l，则l或l.2. (2014辽宁卷)已知m、n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是_(填序号) 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，mn，则n； 若m，mn，则n.答案：3. (2013全国卷)已知m、n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则下列命题中正确的有_(填序号) ，且l； ，且l； 与相交，且交线垂直于l； 与相交，且交线平行于l.答案：4. (2013广东卷)设l为直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是_(填序号) 若l，l，则； 若l，l，则； 若l，l，则； 若，l，则l.答案：5. (2013山东卷)如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e、f、g、m、n分别为pb、ab、bc、pd、pc的中点求证：(1) ce平面pad；(2) 平面efg平面emn.证明：(1) 四棱锥pabcd中，abcd，ab2cd，e、f、g、m、n分别为pb、ab、bc、pd、pc的中点，取pa的中点h，则由heab，heab，而且cdab，cdab，可得he和cd平行且相等，故四边形cdhe为平行四边形，故cedh.由于dh在平面pad内，而ce不在平面pad内，故有ce平面pad.(2) 由于abac，abpa，而paaca，可得ab平面pac.再由abcd可得，cd平面pac.由于mn是pcd的中位线，故有mncd，故mn平面pac.由于ef为pab的中位线，可得efpa，而pa在平面pac内，而ef不在平面pac内，故有ef平面pac.同理可得，fg平面pac.而ef和fg是平面efg内的两条相交直线，故有平面efg平面pac. mn平面efg，而mn在平面emn内，故有平面efg平面emn.6. (2013江苏卷)如图，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab，过a作afsb，垂足为f，点e、g分别是棱sa、sc的中点求证：(1) 平面efg平面abc；(2) bcsa.证明：(1) asab，afsb， f是sb的中点 e、f分别是sa、sb的中点， efab.又 ef平面abc，ab平面abc， ef平面abc.同理fg平面abc.又 effgf，ef、fg平面abc， 平面efg平面abc.(2) 平面sab平面sbc，平面sab平面sbcsb，af平面sab，afsb， af平面sbc.又 bc平面sbc， afbc.又 abbc，abafa，ab、af平面sab， bc平面sab.又 sa平面sab， bcsa.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2014南京二模)如图，在四棱锥pabcd中，dcab，dadc2ab，o为ac与bd的交点，ab平面pad，pad是正三角形(1) 若点e为棱pa上一点，且oe平面pbc，求的值；(2) 求证：平面pbc平面pdc.(1) 解：因为oe平面pbc，oe平面pac，平面pac平面pbcpc，所以oepc，所以aoocaeep.(3分)因为dcab，dc2ab，所以aoocabdc12.所以.(6分)(2) 证明：(证法1)取pc的中点f，连结fb、fd.因为pad是正三角形，dadc，所以dpdc.因为f为pc的中点，所以dfpc.(8分)因为ab平面pad，所以abpa，abad，abpd.因为dcab，所以dcdp，dcda.设aba，在等腰直角三角形pcd中，dfpfa.在rtpab中，pba.在直角梯形abcd中，bdbca.因为bcpba，点f为pc的中点，所以pcfb.在rtpfb中，fba.在fdb中，由dfa，fba，bda，可知df2fb2bd2，所以fbdf.(12分)由dfpc，dffb，pcfbf，pc、fb平面pbc，所以df平面pbc.又df平面pcd，所以平面pbc平面pdc.(14分)(证法2)取pd、pc的中点，分别为m、f，连结am、fb、mf，所以mfdc，mfdc.因为dcab，abdc，所以mfab，mfab，即四边形abfm为平行四边形，所以ambf.(8分)在正三角形pad中，m为pd中点，所以ampd.因为ab平面pad，所以abam.因为dcab，所以dcam.因为bfam，所以bfpd，bfcd.因为pddcd，pd、dc平面pcd，所以bf平面pcd.(12分)因为bf平面pbc，所以平面pbc平面pdc.(14分)1. 过三棱柱 abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条答案：62. m、n是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面，下面有四个命题： m，n，mn； mn，n，m； mn，mn； m，mn，n.其中真命题是_(填序号)答案：3. 给出以下四个命题，其中真命题是_(填序号) 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直答案：4. 如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a、b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点，有以下四个命题： pa平面mob； mo平面pbc； oc平面pac； 平面pac平面pbc.其中正确的命题是_(填序号)答案：5. 直三棱柱abca1b1c1中，acbcbb11，ab1.(1) 求证：平面ab1c平面b1cb；(2) 求三棱锥a1ab1c的体积(1) 证明：直三棱柱abca1b1c1中，bb1底面abc，则bb1ab，bb1bc.又由于acbcbb11，ab1，则ab，则由ac2bc2ab2，可知acbc.又由bb1底面abc，可知bb1ac，则ac平面b1cb，所以平面ab1c平面b1cb.(2) 解：三棱锥a1ab1c的体积va1ab1cvb1a1ac1.(注：还有其他转换方法)6. 已知等腰梯形pdcb中(如图1)，pb3，dc1，pdbc，a为pb边上一点，且pa1，将pad沿ad折起，使平面pad平面abcd(如图2)(1) 求证：平面pad平面pcd；(2) 试在棱pb上确定一点m，使截面amc把几何体分成的两部分vpdcmavmacb21；(3) 在点m满足(2)的情况下，判断直线pd是否平行平面amc.图1图2(1) 证明：依