【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第五章数列第5课时数列的简单应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第五章 数列第5课时数列的简单应用第六章 (对应学生用书(文)、(理)7981页) 考情分析考点新知灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题.1. (必修5p14例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有_个座位答案：8202. 从2007年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2013年1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元答案：(1p)7(1p)3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按照此规律，6小时后，细胞的存活数是_答案：654. 办公大楼共有14层，现每一层派一人集中到第k层开会，当这14位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最小时，k_答案：7或8数列应用题常见模型(1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya(1rx)(2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya(1r)x(xn且x1)(3) 产值模型原来产值的基础数为n，平均增长率为p，对于时间x的总产值yn(1p)x(xn且x1)(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则x(nn且n1)备课札记题型1以等差数列为模型的实际问题例1某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元(1) 求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；(2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：(1) y，即yx1.5(x0)(2) 由均值不等式得yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取到等号，故该企业10年后需要重新更换新设备(2013江西文)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nn*)为_答案：6解析：sn2n12100，n6.题型2以等比数列为模型的实际问题例2水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9 100万亩坡度为25以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.(1) 试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？(2) 为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？解：(1) 设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题依题意，得515515(112%)515(112%)2515(112%)x19 10070%，即51511.121.1221.12x16 370，整理得1.12x2.484 3xlog1.122.484 38.03.又xn，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题(2) 设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y亿元首批退耕地国家应支付：515104(3000.720)8，第二批退耕地国家应支付：515104(120%)(3000.720)7，第三批退耕地国家应支付：515104(120%)(3000.720)6，最后一批退耕地国家应支付：515104(120%)7(3000.720)1.y，令s871.1261.12211.127，112s81.1271.12261.12311.128，得0.12s8(1.121.1221.1231.127)11.128，即0.12s888，解得s48.1，故y(51510423048.1)108569.7亿元故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元设c1、c2、cn、是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线yx相切，对每一个正整数n，圆cn都与圆cn1相互外切，以rn表示cn的半径，已知rn为递增数列(1) 证明：rn为等比数列；(2) 设r11，求数列的前n项和. (1) 证明：将直线yx的倾斜角记为，则有tan，sin.设cn的圆心为(n，0)，则由题意得，得n2rn；同理n12rn1，从而n1nrnrn12rn1，将n2rn代入，解得rn13rn，故rn为公比q3的等比数列(2) 解：由于rn1，q3，故rn3n1，从而n31n，记sn，则有sn1231332n31n，131232(n1)31nn3n，得1313231nn3nn3n3n，sn31n.题型3数列中的综合问题例3已知各项均为正数的等比数列an的公比为q，且0q.(1) 在数列an中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2) 若a11，且对任意正整数k，ak(ak1ak2)仍是该数列中的某一项() 求公比q；() 若bnlogan1(1)，snb1b2bn，trs1s2sn，试用s2 011表示t2 011.解：(1) 由条件知ana1qn1，0q，a10，所以数列an是递减数列若有ak，am，an(kmn)成等差数列，则中项不可能是ak(最大)，也不可能是an(最小)，若2amakan2qmk1qnk，(*)由2qmk2q1，1qhk1，知(*)式不成立，故ak，am，an不可能成等差数列(2) () (解法1)akak1ak2a1qk1(1qq2)a1qk1，由，知akak1ak2akak1，且akak1ak2ak2ak3，所以akak1ak2ak1，即q22q10，所以q1.(解法2)设akak1ak2am，则1qq2qmk，由1qq2知mk1，即mk1，以下同解法1.() bn，(解法1)sn1，tn1(1)nn(1)()nsn(1)(1)(1)(1)nsnnsnnsnnsn(n1)snn，所以t2 0112 012s2 0112 011.(解法2)sn11sn，所以(n1)sn1(n1)sn1，所以(n1)sn1nsnsn1，2s2s1s11，3s32s2s21，(n1)sn1nsnsn1，累加得(n1)sn1s1tnn，所以tn(n1)sn11n(n1)snn(n1)(snbn)1n(n1)1n(n1)snn，所以t2 0112 012s2 0112 011.已知等差数列an满足：an1an(nn*)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项(1) 分别求数列an、bn的通项公式；(2) 设tn(nn*)，若tn0.由a11，a21d，a312d，分别加上1，1，3有b12，b22d，b342d.(2d)22(42d)，d24. d0， d2，q2， an1(n1)22n1，bn22n12n.(2) tn，tn.，得tn， tn133. tn33. 3在n*上是单调递增的， 32，3) 满足条件tna1a9，求a1的取值范围解：(1) 因为数列的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2) 因为数列的公差d1，且s5a1a9，所以5a110a8a1；即a3a1100，解得5a10)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，an是一个公差为d 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以tn表示到第n年所累计的储备金总额(1) 写出tn与tn1(n2)的递推关系式；(2) 求证：tnanbn，其中an是一个等比数列，bn是一个等差数列(1) 解：由题意可得：tntn1(1r)an(n2)(2) 证明：t1a1，对n2反复使用上述关系式，得tntn1(1r)antn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式两端同乘1r，得(1r)tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rtna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an(1r)n1ra1(1r)nan.即tn(1r)nn.如果记an(1r)n，bnn，则tnanbn.其中an是以(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；bn是以为首项，以为公差的等差数列4. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2n2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元(1) 设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an、bn, 求an、bn的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1) 假设甲超市前n年总销售额为sn，则sn(n2n2)(n2)，因为n1时，a1a，则n2时，ansnsn1(n2n2)(n1)2(n1)2a(n1)，故an又b1a，n2时，bnbn1a，故bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aaaaaaa，显然n1也适合，故bna(nn*)(2) 当n2时，a2a，b2a，有a2b2；n3时，a32a，b3a，有a3b3；当n4时，an3a，而bnbn，则(n1)aan164.即n74.又当n7时，0474.即第7年乙超市的年销售额不足甲超