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1 第3章多项式插值 插值方法是数学分析中很古老的一个分支 等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯 公元544 610年 首先提出的 而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂 公元683 727年 提出的 这比西欧学者相应结果早一千年 插值方法在数值分析的许多分支 例如 数值积分 数值微分 微分方程数值解 曲线曲面拟合 函数值近似计算等等 均有应用 2 下面仅以近似计算函数值为例来说明 3 x g x 4 g x f x y f x 有时f x 过于复杂而难以运算 要用近似函数g x 来逼近f x 5 6 本章只研究多项式插值 亦即g x 是x的多项式的情形 这不仅仅因为多项式是最简单的函数 而且因为在许多场合 函数容易用多项式近似地表示出来 此外 用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题 特别是数值积分与数值微分的问题 7 插值的基本问题是 寻求多项式 使得 1 多项式插值问题 8 9 线性方程组的系数矩阵为 10 3 3 11 12 1 1多项式插值问题 13 y pn x 14 15 1 2线性插值 一次插值 问题 16 17 该基函数的特点如下 基函数的思想使得插值多项式形式简洁和易于推广 18 函数值 一次插值多项式是插值基函数的线性组合 相应的组合系数是 19 1 3二次插值 抛物线插值 问题 20 21 22 同理可得 23 24 25 2 Lagrange插值公式 26 27 则插值表达式为 定理 满足插值条件的如 3 7 形式的插值多项式唯一 28 定义 特点 Lagrange插值公式 3 8 具有结构清晰 紧凑的特点 因而适合于作理论分析和应用 也非常适合于利用计算机编程计算 29 30 3 插值余项 31 32 证明 33 34 35 解 36 4 插值节点的选取 因此自然提出这样的问题 37 38 解 39 40 5 Hermite插值公式 本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法 即Hermite插值方法 因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件 所以它也被称为切触插值问题 41 称为ak重密切Hermite插值 42 为解决插值问题 3 13 最直接的方法是采用代定系数法 或者求解由 3 13 所确定的线性方程组 43 44 45 46 47 整个构造步骤如下 1 确定多项式的最高项次数 就是函数空间的维数 2 假设一组基函数 列出插值多项式 3 列出基函数满足的公式 画表 求基函数 称为 构造基函数方法 48 余项 49 解 50 余项 51 52
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