山东省烟台市高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1|x|），则a（rb）=（）a（1，2）b1，2）c（1，1）d（1，22已知ab0，则下列不等关系式中正确的是（）asinasinbblog2alog2bcabd（）a（）b3将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）abcd4已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）a1bcd25下列四个命题中，为真命题的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，cd则acbdc若a|b|，则a2b2d若ab，则6符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）aa=1，b=2，c=3bb=c=1，b=45ca=1，b=2，a=100da=1，b=7设（+）+（+）=，而是一非零向量，则下列个结论：（1）与共线；（2）+=；（3）+=；（4）|+|+|中正确的是（）a（1）（2）b（3）（4）c（2）（4）d（1）（3）8已知点m（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点n（a+b，ab）所在平面区域的面积是（）a1b2c4d89函数f（x）=sin2x+eln|x|的图象的大致形状是（）abcd10在（1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上则c=（）a1或bc1或3d1或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11设向量=（1，2），=（2，3），若向量与向量=（5，6）共线，则的值为12若点（a，1）在函数的图象上，则的值为13如图，已知点，点p（x0，y0）（x00）在曲线y=x2上，若阴影部分面积与oap面积相等时，则x0=14设f（x）是定义域为r，最小正周期为的函数，若f（x）=，则的值为15函数y=f（x）图象上不同两点a（x1，y1），b（x2，y2）处的切线的斜率分别是ka，kb，规定（a，b）=叫曲线y=f（x）在点a与点b之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点a、b的横坐标分别为1，2，则（a，b）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点a、b是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（a，b）2；（4）设曲线y=ex上不同两点a（x1，y1），b（x2，y2），且x1x2=1，若t（a，b）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为（写出所有正确的）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数图象的一部分如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，求sin（）的值17已知函数（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若b+c=2a，且=6，求a的值18某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元（实际利润=合格产品的盈利生产次品的亏损）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润t（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？19已知函数f（x）=2x+a2x（ar）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求a的取值范围20对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数（）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：； 第二组：f1（x）=x2x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2x+1；（）设，生成函数h（x）若不等式3h2（x）+2h（x）+t0在x2，4上有解，求实数t的取值范围；（）设，取a=1，b0，生成函数h（x）使h（x）b恒成立，求b的取值范围21已知函数，对任意的x（0，+），满足，其中a，b为常数（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，5），求a的值；（2）已知0a1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围2015-2016学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1已知集合a=x|x2x20，b=x|y=ln（1|x|），则a（rb）=（）a（1，2）b1，2）c（1，1）d（1，2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】求出集合a中不等式的解集，确定出集合a，求出集合b中函数的定义域，确定出集合b，找出r中不属于b的部分，求出b的补集，找出a与b补集的公共部分即可【解答】解：由集合a中的不等式x2x20，解得：1x2，a=（1，2），由集合b中的函数y=ln（1|x|），得到1|x|0，即|x|1，解得：1x1，b=（1，1），又全集r，crb=（，11，+），则a（crb）=1，2）故选b【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2已知ab0，则下列不等关系式中正确的是（）asinasinbblog2alog2bcabd（）a（）b【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由函数的单调性，逐个选项验证可得【解答】解：选项a错误，比如取a=，b=，显然满足ab0，但不满足sinasinb；选项b错误，由函数y=log2x在（0，+）上单调递增可得log2alog2b；选项c错误，由函数y=在0，+）上单调递增可得；选项d正确，由函数y=在r上单调递减可得（）a（）b；故选：d【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及常用函数的单调性，属基础题3将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+k，即+2k，kz，当k=0时，函数的对称轴为，故选：d【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键4已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）a1bcd2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示【专题】平面向量及应用【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案【解答】解：由题意可得：|+|2=，均为单位向量，它们的夹角为，|+|2=1+1+211cos=3，|+|=，故选c【点评】本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分属于基础题5下列四个命题中，为真命题的是（）a若ab，则ac2bc2b若ab，cd则acbdc若a|b|，则a2b2d若ab，则【考点】命题的真假判断与应用【专题】不等式的解法及应用【分析】a，若ab，当c=0时，ac2=bc2，可判断a；b，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断b；c，利用不等式的性质可判断c；d，令a=21=b，可判断d【解答】解：a，若ab，当c=0时，ac2=bc2，a错误；b，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足ab，cd，但ac=1bd=2，故b错误；c，若a|b|，则a2|b|2=b2，正确；d，若a=21=b，则1，故错误故选：c【点评】本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题6符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）aa=1，b=2，c=3bb=c=1，b=45ca=1，b=2，a=100da=1，b=【考点】解三角形【专题】数形结合；分析法；解三角形【分析】利用三角形中的边的关系，角的关系，及正余弦定理进行逐项分析，排除【解答】解：对于a，由两边之和大于第三边可知符合a的三角形不存在；对于b，由b=c=1，b=45可得c=b=45，符合条件的三角形为等腰直角三角形，符合题意；对于c，由大边对大角原理可知b100，不符合三角形内角和定理；对于d，由正弦定理得sinb=，b=45或135，当b=45时，c=105，当b=135时，c=15符合条件的三角形有两个故选：b【点评】本题考查了三角形的边角关系，属于基础题7设（+）+（+）=，而是一非零向量，则下列个结论：（1）与共线；（2）+=；（3）+=；（4）|+|+|中正确的是（）a（1）（2）b（3）（4）c（2）（4）d（1）（3）【考点】平行向量与共线向量【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】由题意可得=0，0，检验所给的各个结论是否正确，从而得出结论【解答】解：（ +）+（+）=0，0，与共线， +=，故（1）（3）正确，（2）错误，|+|=|=|+|，故（4）错误故选：d【点评】本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，向量的模的定义，属于基础题8已知点m（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点n（a+b，ab）所在平面区域的面积是（）a1b2c4d8【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】压轴题【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积【解答】解：令s=x+y，t=xy，则p（x+y，xy）为p（s，t） 由s=x+y，t=xy可得 2x=s+t，2y=st因为x，y是正数，且x+y2有 在直角坐标系上画出p（s，t） s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为4故选c【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题9函数f（x）=sin2x+eln|x|的图象的大致形状是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除a，c，结合f（）0，可排除d，得到答案【解答】解：f（x）=sin2x+eln|x|，f（x）=sin2x+eln|x|，f（x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除a，c，当x=时，f（）=1+0，可排除d，故选：b【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于基础题10在（1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上则c=（）a1或bc1或3d1或2【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1（x3）2我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案【解答】解：当2x4时，f（x）=1（x3）2当1x2时，22x4，则f（x）=f（2x）= 1（2x3）2，此时当x=时，函数取极大值；当2x4时，f（x）=1（x3）2此时当x=3时，函数取极大值1；当4x8时，24，则f（x）=cf（）=c1（3）2，此时当x=6时，函数取极大值c函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，=，解得c=1或2故选：d【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11设向量=（1，2），=（2，3），若向量与向量=（5，6）共线，则的值为【考点】平行向量与共线向量【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出【解答】解：向量=（1，2），=（2，3），向量=（12，23），向量与向量=（5，6）共线，6（12）=5（23），解得=，故答案为：【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题12若点（a，1）在函数的图象上，则的值为【考点】三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】将x=a，y=1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值【解答】解：将x=a，y=1代入函数解析式得：1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（+）=tan=故答案为：【点评】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键13如图，已知点，点p（x0，y0）（x00）在曲线y=x2上，若阴影部分面积与oap面积相等时，则x0=【考点】定积分【专题】导数的概念及应用【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，结合三角形面积公式建立方程关系即可求解结论【解答】解：点p（x0，y0）（x00）在曲线y=x2上，y0=x02，则三角形oap面积s=，阴影部分的面积为，阴影部分面积与oap面积相等时，即，故答案为：【点评】本题主要考查积分的几何意义，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式14设f（x）是定义域为r，最小正周期为的函数，若f（x）=，则的值为【考点】三角函数的周期性及其求法；函数的值【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】先利用周期性将化成定义在区间（，0）上的函数值为f（）再代入解析式计算求解【解答】解： =f（）=f（），由于0，所以=f（）=cos（）=故答案为：【点评】本题考查分段函数求函数值，考查转化、计算、分类能力，属于基础题15函数y=f（x）图象上不同两点a（x1，y1），b（x2，y2）处的切线的斜率分别是ka，kb，规定（a，b）=叫曲线y=f（x）在点a与点b之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点a、b的横坐标分别为1，2，则（a，b）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点a、b是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（a，b）2；（4）设曲线y=ex上不同两点a（x1，y1），b（x2，y2），且x1x2=1，若t（a，b）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为（2）（3）（写出所有正确的）【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3x2+1、y=x2+1在点a与点b之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点a（x1，y1），b（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t（a，b）1得不等式，举反例说明（4）错误【解答】解：对于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，则，y1=1，y2=5，则，（a，b）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设a（x1，y1），b（x2，y2），y=2x，则kakb=2x12x2， =（a，b）=，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y=ex，（a，b）=t（a，b）1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，（4）错误故答案为：（2）（3）【点评】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数图象的一部分如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，求sin（）的值【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】数形结合；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）由条件求得cos 和sin的值，再利用同角三角跑函数的基本关系求得sin和cos的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin（）的值【解答】解：（1）根据函数图象，可得a=2，=，求得=在根据五点法作图可得+=，求得=，f（x）=2sin（x+）（2）设=2sin（+）=2cos，cos=2sin（+）=2sin，sin=由、，0），可得sin=，cos=，sin（）=sincoscossin=（）=【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，同角三角跑函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题17已知函数（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若b+c=2a，且=6，求a的值【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性【专题】数形结合；函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），易得周期，解不等式2k2x+2k+可得单调递增区间；（2）由（1）和a（0，）可得a=，再由向量式可得bc=12，结合余弦定理可得【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cos2x1+sin（2x）=cos2xcos2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），函数f（x）的最小正周期t=，由2k2x+2k+可得kxk+函数f（x）的单调递增区间为k，k+（kz）；（2）由f（a）=sin（2a+）=可得2a+=2k+或2a+=2k+（kz），由a（0，）可得a=，又=bccosa=bc=6，bc=12，cosa=1=1，解得a=2【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和三角形的解法，属中档题18某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元（实际利润=合格产品的盈利生产次品的亏损）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润t（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据题目条件写出在x的不同范围内的合格的元件间数，然后由实际利润=合格产品的盈利生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润t（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；（2）分别利用配方法和函数的单调性求函数在连段内的最值，最后取两段的最大之中的最大者【解答】解：（1）当1x4时，合格的元件数为（万件），利润（万元）；当x4时，合格的元件数为（万件），利润（万元），综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为（2）当1x4时，t=20x5x2=5（x2）2+20当x=2（万件）时，利润t的最大值20（万元）；当x4时，令，则，当x4，+）时，y0，所以在4，+）上是单调递增，所以函数t（x）在4，+）上是减函数，则当x=4时，利润t的最大值0 综上所述，当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润20万元答：当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为2（万件）时获得的利润最大，最大利润为20万元【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了配方法及利用导数研究函数的最值，注意分段函数的最值要分段求，此题是中档题19已知函数f（x）=2x+a2x（ar）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求a的取值范围【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的x1x22，都有f（x1）f（x2）0，变形可得恒成立，又可得，可得a16【解答】解：（1）f（x）=2x+a2x，f（x）=2x+a2x，若f（x）为偶函数，则对任意的xr，都有f（x）=f（x），即2x+a2x=2x+a2x对任意的xr都成立化简可得（2x2x）（1a）=0对任意的xr都成立由于2x2x不恒等于0，故有1a=0，即a=1当a=1时，f（x）是偶函数；若f（x）为奇函数，则对任意的xr，都有f（x）=f（x），即2x+a2x+2x+a2x=0，（2x+2x）（1+a）=0对任意的xr都成立由于2x+2x不恒等于0，故有1+a=0，即a=1当a=1时，f（x）是奇函数，综上可得当a=1时，f（x）是偶函数；当a=1时，f（x）是奇函数；当a1时，f（x）是非奇非偶函数（2）函数f（x）在（，2上为减函数，对任意的x1x22，都有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）=恒成立由，知恒成立，即恒成立由于当x1x22时，a16【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题20对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数（）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由； 第一组：； 第二组：f1（x）=x2x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2x+1；（）设，生成函数h（x）若不等式3h2（x）+2h（x）+t0在x2，4上有解，求实数t的取值范围；（）设，取a=1，b0，生成函数h（x）使h（x）b恒成立，求b的取值范围【考点】其他不等式的解法；函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题【专题】计算题；综合题；方案型；分类讨论【分析】（）化简h（x）=af1（x）+bf2（x），使得与相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组（）设，生成函数化简不等式3h2（x）+2h（x）+t0，在x2，4上有解，就是求t3h2（x）2h（x）=3log22x2log2x的最小值，即可（）设，取a=1，b0，生成函数使恒成立，分类讨论，求出b的取值范围【解答】解：（）设，即，取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2x+1，则，该方程组无解所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数（）若不等式3h2（x）+2h（x）+t0在x2，4上有解，3h2（x）+2h（x）+t0，即t3h2（x）2h（x）=3log22x2log2x设s=log2x，则s1，2，y=3log22x2log2x=3s22s，ymax=5，故，t5（）由题意，得1若，则h（x）在上递减，在上递增，则，所以，得1b42若，则h（x）在1，10上递增，则hmin=h（1）=1+b，所以，得0b1