第二章 力系的简化.doc

第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。力系简化的前提是等效。等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。力系简化并不局限于静力学。例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。设刚体受到力系Fi (i=1, 2,n)作用，诸作用点相对固定点O的矢径依次为ri (i=1, 2,n)。力系Fi的矢量和，称为力系的主矢。记为FR，即 （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。主矢通常不是力。 计算力系Fi对固定点O的力矩的矢量和，称为力系对点O的主矩。记为MO，即 （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心的选择。因此，主矩是定位矢量。 利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。 例2.1-1图例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A和B的主矩。解：设O-xyz坐标系如图示，为沿坐标轴x，y，z 方向的单位矢量。所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力和力偶 根据式(2.1.1)，力系的主矢 力系中各力的作用点相对于固定点O 、A和B的矢径分别为力系对各固定点的主矩即为对相应点力矩的矢量和 2.2 力系的简化1力线平移 图2.1力线的平移与力偶不同，力是滑动矢量，它只可以沿力作用线移动而不可平移，平移将改变原来的力对刚体的作用效果。具体地，作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。事实上，设力F作用在刚体上，其作用线为l，为将此作用线l平移到l1，沿l1加一对互相平衡力，满足。可以认为力F 是将力F从l上平移到上l1，而组成力偶，称为附加力偶，力偶矩为，其中为由力的作用点引向力作用点的矢径（见图2.1），亦即，说明此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。此结论说明了力是如何与其等值同向平行力等效。由矢积的性质知，附加力偶一定与力垂直。反过来，一个力和一个与之垂直的力偶可以通过力的平移简化为一个力。只要将力从其作用点平移到点，使产生的附加力偶满足 （2.2.1）其中为相对的矢径。将与上式作向量积，利用三重矢积的公式 （2.2.2）由式(2.2.1)和(2.2.2)，可以导出 （2.2.3）不失一般性，令与垂直，则rF=0。由式(2.2.3)导出 （2.2.4）至此，我们将作用在点的力和力偶简化为作用在点的一个力。 力线平移的结论指出了力等效平移后的结果，是力系简化的基础。 2 力系向某点简化设刚体上作用有力系Fi (i=1, 2,n)，作用点为分别为Ai (i=1, 2,n)。任选一点O，称为简化中心，各力作用点相对该点的矢径为OAi =ri (i=1, 2,n)（图2.2a）。利用前述力线平移的结果，可将每一个力平移到O点，而得到一个作用点为O点的汇交力系Fi =Fi (i=1, 2,n)和一个力偶系Mi=riFi (i=1, 2,n) （图2.2b）。对于汇交力系和力偶系，我们已经知道可以分别进一步合成为一个力和一个力偶（图2.2c）， （2.2.5）汇交力系Fi (i=1, 2,n)的合力FR的大小和方向等于力系的主矢，作用点在简化中心O，而力偶系Mi (i=1, 2,n)的合力偶M等于原力系对O点的主矩MO。 （a） （b） （c）图2.2 空间一般力系向一点简化 3 力系最简形式 以下根据主矢和对简化中心主矩是否为零讨论力系简化结果。存在下列几种情况：(1) 主矢和主矩同时为零，即FR=0，MO=0。该力系与零力系等效，则力系平衡。平衡问题将在第三章详细分析。容易验证，此时力系简化结果与简化中心无关。，即若选择其它点作为新的简化中心，将得到结果相同(2) 主矢不为零而主矩为零，即FR0，MO=0。该力系与作用线通过O点的力FR等效，该力系有合力。(3) 主矢为零但主矩不为零，即FR=0，MO0。该力系与一个力偶MO等效，力系有合力偶。显然，这个结果也与简化中心无关。(4) 主矢和主矩都不为零：即FR0，MO0。首先，若向简化中心简化得到的力和力偶垂直，由力线平移的逆过程知，此时力系可以简化为一个力，即力系有合力，属于结果。其次若前述力和力偶平行，不能进一步简化，该力和力偶统称为力螺旋。最后，若主矢和主矩既不平行也不垂直，此情况下总可以将主矩分解为与主矢垂直和平行两个分量，其中垂直分量可以通过力的平移消除，平行分量与平移得到的力构成力螺旋。故此力系仍可以简化为力螺旋。由以上分析知，力螺旋是力系简化的基本结果之一。当力和力偶指向相同时称为右螺旋，否则称为左螺旋。钻头对工件的作用和用螺丝刀拧木螺丝都是力螺旋的例子。 上述分析表明，力系简化的最简形式有四种：平衡、合力、合力偶、力螺旋。所有非零最简力系是由力和力偶组成，因此力和力偶是组成力系的基本元素。例2.2-1图例2.2-1： 三个大小相等的力沿长方体的三个不相交且不平行的棱作用。棱的长度满足什么关系时这三个力能够简化为合力？解：建立图示直角坐标系，为沿坐标轴方向的单位向量。选点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 ， 当主矢和主矩垂直时，能够进一步简化为一个力，即由此可知当棱的长度满足 例2.2-3图时，力系能够简化为一个合力。例2.2-2： 沿边长为的立方体的各棱作用12个大小均为的力，如图示。试求其该力系简化的最简形式。解：建立图示直角坐标系，为沿坐标轴方向的单位向量。选点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 主矢方向的单位矢为 主矩在主矢方向的投影为力系最终可以简化为右力螺旋： ，力作用点的矢径按式（2.2.4）计算 这是力作用线与平面交点的矢径。 图2.3平行力系与平行力系中心2.3 平行力系的简化和重心1平行力系的简化与平行力系中心设刚体上作用有平行力系力系Fi (i=1, 2,n)，作用点Ai相对O点的矢径为分别为ri (i=1, 2,n)，如图2.3所示。现考虑该力系的简化问题。各平行力Fi可以用与各力平行的单位向量t表示为Fi=Fit。该力系的主矢和关于O点的主矩分别为， （2.3.1）若FR=0，该平行力系简化为一力偶。若FR0，式(2.3.1) 表明该力系向O点简化的主矩与主矢垂直， 可进一步简化为一力。从而平行力系一定有合力，且为 （2.3.2） （2.3.3）设该平行力系合力的作用线为l0，为后面讨论重心的方便而引入平行力系中心的概念。如果保持平行力系中各力作用点和大小不变，而将作用线转过角度j，则新得到的平行力系的合力作用线l将与直线l0相交，交点称为该平行力系的中心，记为C。设平行力系中心的矢径为，转动后平行力系中各力的单位矢量为s。合力对O点的矩等于该力系的主矩，即 （2.3.4）式(2.3.1)和(2.3.2)即代入上式，得到 （2.3.5）注意不论的s方向如何变化，式（2.3.5）均成立，故由式（2.3.5）可导出 （2.3.6）在实际计算中，经常采用直角坐标确定平行力系中心。在以O点为坐标原点的直角坐标系中，平行力作用点Ai (i=1, 2,n)的坐标为(xi, y i, z i)，平行力系中心的坐标为(xC, y C, z C)，则式(2.3.6)可写作直角坐标的形式， （2.3.7） 例2.3-1图例2.3-1 计算图示三角形分布力的合力。已知载荷集度q(x)的值在A点为q0，在B点为零。解：对于图示x，载荷集度q(x)呈线性规律变化， （a）在处的微段上的合力为。式(2.3.3)和(2.3.7)可写作积分形式，即 （b）将式（a）代入式（b）后积分，求出此三角形分布力的合力大小 和作用线位置 2重心、质心和形心物体受到的重力是一体积力，严格而论是汇交于地心的空间汇交力系。由于地球半径巨大，可以认为汇交点在无穷远处，而将此体积力作为平行力系。将连续的物体离散化为有限个微元体，每个微元体的重量为，其中任一点在任意选定的直角坐标系中的坐标为，按式（2.3.7） ， （2.3.8）其中，为物体的总重量。这种由重力组成的平行力系的中心称为重心。显然，按式（2.3.8）计算重心的位置依赖于所划分的微元体的体积大小和总数。体积愈小总数愈大，则重心位置愈精确。令微元体的体积趋于零，而其总数趋于无穷，式（2.4.8）可表达为三重积分 ， （2. 3. 9） 式中为物体的密度，为重力加速度，为体积微元。对于均匀的重力场，重力加速度为常数，从式（2.3.9）中消去，导出物体质心的计算公式 ， （2.3.10）它是物体的质量中心。对于匀质物体，密度为常值，从式（2.3.10）中消去，导出物体形心的计算公式 ， （2.3.11）它是物体的几何中心，式中是物体的体积。由于定积分在其积分区域上具有可加性，即如果积分区域划分成彼此不相交的子集，其形心分别为，则由和式（2.3.11）导出 ， （2.3.12）这是组合体的形心计算公式，和也可以是2维的图形或1维的线段。用式（2.3.12）计算形心的方法称为分割法。对于内部存在空洞的物体，仍可以按没有空洞情形处理，只是空洞部分的体（面）积是负的，这种方法称为负体（面）积法。以下例题说明这两种方法的应用。例2.3-2图例2.3-1，分布力的合力等于此力分布三角形的面积，方向与载荷集度的方向相同，作用线通过力分布三角形的形心。此结论具有普遍性，以后我们可以据此计算一些矩形或梯形分布力的合力，而不必重复上述过程。例2.