【步步高】高三数学大一轮复习 10.2排列与组合教案 理 新人教A版 .DOC

10.2排列与组合2014高考会这样考1.考查排列、组合的概念及其公式的推导；2.考查排列、组合的应用复习备考要这样做1.熟练掌握排列、组合公式，理解二者的差异；2.掌握一些排列、组合常见问题的解法1 排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用a表示(3)排列数公式：an(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，an(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为a，这里规定0！1.2 组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用c表示(3)组合数的计算公式：c，由于0！1，所以c1.(4)组合数的性质：cc_；cc_c_.难点正本疑点清源1 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合2 求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”1 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种答案14解析有1名女生：cc8.有2名女生：cc6.不同的选派方案有8614(种)2 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)答案72解析依题意得满足题意的排法共有aaa72.3 (2012大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()a12种 b18种 c24种 d36种答案a解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有a种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有a种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有aa112(种)不同的排列方法4 用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()a8 b24 c48 d120答案c解析分两步：(1)先排个位有a种排法(2)再排前三位有a种排法，故共有aa48种排法5 (2012浙江)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ()a60种 b63种 c65种 d66种答案d解析满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有c5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有cc60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有560166(种)题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有a种，故共有6a241 920(种)排法方法二(位置分析法)中间和两端有a种排法，包括甲在内的其余6人有a种排法，故共有aa336720241 920(种)排法方法三(等机会法)9个人的全排列数有a种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是a241 920(种)方法四(间接法)a3a6a241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有aa10 080(种)排法(3)(插空法)先排4名男生有a种方法，再将5名女生插空，有a种方法，故共有aa2 880(种)排法探究提高本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为a24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有a3种方法又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法a3(种)十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法a6(种)根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为aaa54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有245478(个)题型二组合问题例2从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数(1)a，b必须当选；(2)a，b不全当选. 思维启迪：可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法解(1)由于a，b必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有c120(种)(2)全部选法有c种，a，b全当选有c种，故a，b不全当选有cc672(种)探究提高组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？解根据图形结构的对称性，对每一条边，与其异面的边有4个，共有24对异面直线；每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线综上，共有241236对异面直线题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有ccca144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有c种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有cca种方法；第二类有序均匀分组有a种方法故共有c(ccaa)84(种)探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准 (1)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 ()a72种 b96种c108种 d120种(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ()a18 b24 c30 d36答案(1)b(2)c解析(1)若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3a72种涂色法；若1,3同色，有cca24种涂色法根据分类加法计数原理可知，共有722496种涂色法(2)排除法先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有c6种方法，再将三组同学分配到三个班级有a6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有a6种，所以共有caa30种分法排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有c种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有c种不同取法，共有cc2 736种不同取法上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有：ccccc1 136(种)方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：cc1 136(种)答案1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数2 排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件失误与防范1 解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏2 解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义3 对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ()aca bca cca dca答案c解析从后排抽2人的方法种数是c；前排的排列方法种数是a.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是ca.2 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()a36种 b42种 c48种 d54种答案b解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有a种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有c种排法，其他3个节目有a种排法，故有ca种排法依分类加法计数原理，知共有aca42(种)编排方案3 (2012课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ()a12种 b10种 c9种 d8种答案a解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有c2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有c6(种)选派方法由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2612(种)4 (2012北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ()a24 b18 c12 d6答案b解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选0时，先从1,3,5中选2个数字有c种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有c种方法，剩余1个数字排在首位，共有cc6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有c种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有c种方法，其余2个数字全排列，共有cca12(种)方法依分类加法计数原理知共有61218(个)奇数二、填空题(每小题5分，共15分)5 a、b、c、d、e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边(a、b可以不相邻)，那么不同的排法共有_种答案60解析可先排c、d、e三人，共a种排法，剩余a、b两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有a60(种)6 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个答案324解析分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，这时，另两位上数字又有两种情况：可以全是偶数；可以全是奇数故此时共有caccac144(个)(2)四位数中如果没有0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶，此时共有acccac180(个)故符合题意的四位数共有：144180324(个)7 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种答案48解析只有1名老队员的排法有cca36(种)有2名老队员的排法有ccca12(种)所以共有48种三、解答题(共22分)8 (10分)有2个a,3个b,4个c共9个字母排成一排，共有多少种排法？解因为a与a，b与b，c与c无区别，所以排法取决于9个位置中哪几个排a，哪几个排b，剩下的再排c，故共有ccc1 260种不同的排法9 (12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有c816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有c8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有ccc6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有cccccccc14 656(种)方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得c(cc)14 656(种)b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()a33! b3(3！)3c(3！)4 d9!答案c解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种2 (2012陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ()a10种 b15种c20种 d30种答案c解析由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有c3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况共有6种情况当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2c12(种)情况由上综合知，共有20种情况3 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有 ()a1 260种 b2 025种c2 520种 d5 040种答案c解析第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有c种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有c种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有c种选派方法根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为ccc2 520.二、填空题(每小题5分，共15分)4 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是_答案288解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如甲丙乙共有4aaa种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如乙甲丙共有2aa种排法根据分类加法计数原理共有4aaa2aa288(种)不同排法5 用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2aa8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有a5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定不同的排法有8540(种