第八届小机灵杯数学邀请赛五年级复赛解析.pdf

1 第八届 小机灵杯 小学生数学邀请赛第八届 小机灵杯 小学生数学邀请赛 五年级五年级复赛复赛 1 计算 3 9 5 5 6 3 3 61 3 5 7 0 9 1 1 1 3 3 6 考点 速算与巧算 解析 3 9 5 5 6 3 3 61 3 5 7 0 9 1 1 1 3 3 9 5 5 6 3 3 65 1 17 0 93 1 3 3 6 2 在一位整数中 任取一个质数和一个合数相乘 所有乘积的总和是 459 考点 乘法原理 一位质数有 2 3 5 7 一位合数有 4 6 8 9 解析 乘积总和是 23 5746 8 9459 3 两个正整数的最大公约数是 12 最小公倍数是 240 这两个数的差最大是 228 考点 最大公约数和最小公倍数 短除法 解析 由短除法知道 这两个正整数可以表示成12Aa 和12Bb 1a b 且20ab 要使这两个数的差最大 有20a 1b 差是240 12228 注 关于最大公约数和最小公倍数还有一个性质 两个数的乘积等于它们的最大公约数和最 小公倍数的乘积 4 98 626 1004 除以 13 的余数是 3 考点 余数的乘法定理 解析 余数的乘法定理告诉我们 乘积的余数等于余数的乘积的余数 987 mod13 6262 mod13 10043 mod13 则 9 8 6 2 6 1 0 0 4 7 2 3 4 2 3m o d 1 3 5 一个正整数与 1470 的积是一个完全平方数 那么这个数最小是 30 考点 质因数分解与完全平方数 解析 2 14702 3 5 7 完全平方数分解质因数后每个质因数的次数都是偶数 所以 这个数最小是2 3 5 30 6 1 100 这 100 个数除以 7 余数不为 0 的数的和是 4315 考点 等差数列求和 2 解析 1 100 中除以 7 余数为 0 的有 7 14 98 所以除以 7 余数不为 0 的数的和是 1 21007 14984315 7 一个农夫看见池塘里有一群鹅 他自言自语地说 我如果有这些鹅 再加上这些鹅 然 后再加上这些鹅的一半 又加上这些鹅的一半的一半 最后再加上我家里的 5 只 就正好是 93 只鹅 池塘里有鹅 32 只 考点 列方程解应用题 解析 设 鹅的一半的一半为 x 4x 4x 2x x 5 93 11x 88 X 8 注 本题可以用分数解 8 小明 小亮 小刚三位小朋友去钓鱼 数一数他们钓鱼的条数 发现 小明钓的鱼是小 亮的 4 倍 小亮钓的鱼比小刚少 5 条 小刚钓的鱼比小明少 7 条 小明钓到 16 条 考点 差倍问题 解析 小亮钓的鱼比小刚少 5 条 小刚钓的鱼比小明少 7 条 所以小亮钓的鱼比小明少 12 条 又小明钓的鱼是小亮的 4 倍 所以小亮钓的鱼有 124 14 条 那么小明钓的鱼有 4 416 条 9 A箱里只有 5 角钱的硬币 B箱里只有贰角的硬币 A箱里的钱数比B箱里的钱数多 1 50 元 B箱里的硬币比A箱里的硬币多 24 个 A箱和B箱里共有 66 个硬币 考点 鸡兔同笼问题 解析 如果A箱里的硬币数和B箱相同 那么A箱里的钱数比B箱里的钱数多 1 5 0 2 246 3 元 可以得到A箱里的硬币数是 6 30 50 221 个 所以A箱和 B箱里共有21 21 2466 个硬币 10 某班有 43 人 在一次数学测试中 做对第一题的有 37 人 做对第二题的有 34 人 做 对第三题的有 30 人 做对第四题的有 39 人 四题都做对的至少有 11 人 考点 容斥原理 解析 四题都做对的至少有 37 34 30 39 43 3 11 注 注意本题利用容斥原理的方式 每次都是对两个对象使用容斥原理 计算 3 次得到答案 11 若六位数ababab恰好有32 个正约数 小于 50 的这样的两位数ab有 10 个 考点 重复数 约数的个数 解析 重复数101013 7 13 37ababababab 1 ab含有除了 3 7 13 37 之外的质因数 由于 5 322 所以只有ab本身就是质因数 小于 50 的这样的ab可能是 11 17 19 23 29 31 41 43 和 47 共有 9 种可能 3 2 ab不含 3 7 13 37 之外的质因数 由于 5 322 所以只有ab是其中某个质因数的 平方 小于 50 的这样的ab只有 2 749 这 1 种可能 综上述 小于 50 的这样的两位数ab有 10 个 12 一个小公司有 7 位职工 这 7 位职工的月平均工资是 2850 元 已知职工中最高工资是 最低工资的 1 5 倍 那么最低工资的职工的工资最多是 2660 元 考点 最值问题 解析 7 个人的总工资为2850 719950 元 要使最低工资的职工的工资最多 那么除 了最高工资的那个人之外 其余的职工都要拿最低工资 所以最低工资的职工的工资最多是 199501 562660 元 13 两个四位数xzzz和zzzy 满足0 4xzzzzzzy 那么xyz 的值是 60 考点 位值原理 整除问题 解析 0 4xzzzzzzy 利用位值原理转化成乘法得5000 152xzzzy 5000 和 15 都能被 5 整除 所以2y也应该能被 5 整除 那么有05y 或 经尝试 5y 由尾数判断可得6z 2x 所以2 5 660 xyz 注 在数论问题中 我们总是希望出现乘法 因为我们分析问题的工具 包括整除分析 质 因数分解 都是在乘法的框架下 所以不管对于加法也好 除法也好 首先想办法把它转化 成乘法 然后再来做 14 一个长 10 厘米 宽 6 厘米 高 4 厘米的长方形被切割成 36 个小长方体 这 36 个小长 方体的表面积之和是 792 2 cm 考点 立体图形的表面积 解析 把整个立体图形分割之后 新的 36 个小长方体的表面积相当于 6 个上下面表面积 8 个左右面表面积 6 个前后面表面积之和 2 6 10 68 6 46 10 4792cm 注 切一刀增加所切痕迹面积的 2 倍 4 15 连续写出从 1 开始的正整数 写到第 209 位时 得到一个 209 位数 这个多位数除以 3 的余数是 1 考点 数和数码的转换 多位数除以 3 的余数 解析 一个多位数除以 3 的余数等于这个数的各位数字之和除以 3 的余数 从 1 写到 99 共有9 1 90 2189 个数码 209 189362 余 所以这个 209 位 数是一直写到996105 再加上 106 的前两位 1 0 1 98 99 2 97 99 不进位加数的 数字之和等于和的数字之和 从 1 到 98 的数字之和为 1 9 8 49 882 再加上 99 到 105 及 106 的前两位数字之和为 9 9 1 2 3 4 5 6 1 40 所以所有的数字之和为 922 9221 mod3 所以这个多位数除以 3 的余数是 1 16 如图 边长为 7 的正方形ABCD 边长为 5 的正方形EFGC并排放在一起 1 O 2 O 分别为两个正方形的中心 正方形对角线的焦点 则阴影部分的面积是 12 25 考点 直线型面积的计算 解析 如图 作出长方形 2 HIJO 1 3 52 51HO 所以 2 3 5 13 52 527 HIJO S 12 13 52 523 HOO S 1 3 5 3 526 125 IBO S 2 2 53 5 125 625 BJO S 所以 12 273 6 125 5 62512 25 BOO S 注 以上的做法实际上是最常见的格点型面积计算的方法 用包含阴影部分的长方形的面积 减去周围非阴影部分的面积 17 四对夫妇 分为四组进行围棋比赛 设A B C D为男士 E F G H为 女士 如果比赛的对决有下面的描述 B对H A对C的妻子 E对F的丈夫 D对A的 妻子 F对H的丈夫 那么B的妻子是 G 考点 逻辑推理 解析 B对H F对H的丈夫 所以H不是B的妻子 A对C的妻子 D对A的妻子 所以H也不是A或C的妻子 所以H是D的妻子 那么接下来的工作就简单了 D 对 F F 为 A 的妻子 E 对 A E 为 C 的妻子 H 为 D 的妻子 G 为 B 的妻子 H J I EF A B D C G 5 18 用一些棱长是 1 的小正方体堆放成一个立体 从上往下看这个立体 如下图 1 从前往 后看 即从正面 这个立体 如下图 2 这个立体的表面积最少是 44 考点 立体图形的三视图 解析 由题目给出的俯视图和主视图 第 2 列 第 4 列和第 5 列都至少有一个 2 层 所以 如由上图 这个立体的表面积最少是8 2 8 26 244 注 在计算表面积的时候 我们仍然用三视图来计算 但是这里要注意一点 左右面的表面 积不能直接用左视图来计算 因为构成立体的小正方体不是连续摆放的的 中间有空隙 19 甲 乙两个景点相距 15 千米 一艘观光游船从甲景点出发 抵达乙景点后立即返回 共用 3 小时 已知第三小时比第一小时少行 12 千米 那么这条河的水流速度为每小时 12 千米 考点 流水行船问题 解析 首先 第三小时比第一小时少行 12 千米 所以有 第一小时是顺水 第三小时是逆水 其次 如果第一小时 的路程小于 15 千米 那么第三小时的路程小于 3 千米 第 二小时返程的路程肯定小于第三小时的路程 即不可能回 到甲地 所以 第一小时的路程大于 15 千米 后面两小时 都是逆水航行 假设后面两小时的路程都是x千米 1230 xxx 解得6x 所以逆水速度是 6 千米 时 那么第一小时里逆水航行了 156660 5 小时 顺水航 行了1 0 50 5 小时 所以顺水速度是15 0 530 千米 时 那么这条河的水流速度为 每小时 3