等价无穷小性质的理解.doc

等价无穷小性质的理解、延拓及应用肖岸纯(XXXX大学，重庆 400050)【摘要】 等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。 【关键词】 等价无穷小极限罗比塔法则正项级数 比较审敛法Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimals CharacterAbstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by LHospital Rule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application. Key words equivalent Infinitesimal; limit; LHospital rule positive series; comparison test等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。1 等价无穷小的概念及其重要性质1 无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当xx0时(或x)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当xx0时(或x)时为无穷小。当lim=1，就说与是等价无穷小。 常见性质有： 设, 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， 若,， 且lim存在，则lim=lim 若，则 性质表明等价无穷小量的商的极限求法。性质表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论： 若,， 且lim=c(-1)，则+证明： lim+=lim1+=lim1+c1+=lim1+c1+c=1 +而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件，千篇一律认为“,，则有+ 若,， 且limABCD存在，则当ABCD0且 limABCD存在，有limABCD=limABCD此性质的证明见文献2，性质、在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“lim=c(-1)”，“ABCD0”的使用。2 等价无穷小的应用2.1 在求极限中经常用到的等价无穷小有 xsinxarcsinxtanxarctanxln(1+x)ex-1, 1-cosx12x2, n1+x1+xn,(x0)例1 limx0tanx-sinxx3解：原式=limx0sinx(1-cosx)x3cosx=limx0x12x2x3( sinxx,1-cosxx22)=12此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质做。 tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质的条件，否则得出错误结论0。例2 limx0e2x-31+xx+sinx2解：原式=limx0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx02x-13xx(1+x)=53用性质直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。例3 limx0(1x2-cot2x)解法1：原式=limx0sin2x-x2cos2xx2sin2x=limx0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4=limx0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 ( sinxx)=limx0(1+cosx)(1-cosx)x2=limx012x2(1+cosx)x2=1解法2：原式=limx0tan2x-x2x2tan2x=limx0(tanx+x)(tanx-x)x4=limx02x(tanx-x)x44 ( tanxx)=limx02(tanx-x)x3=limx02(sec2x-1)3x2=23limx0tan2xx2=23 ( tanxx)两种解法的结果不同，哪一种正确呢？可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosxx-xcosx (注意limx0sinx-xcosx=-1), 由性质 sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。2.2 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。 比较审敛法的极限形式：设n=1un 和n=1vn 都是正项级数， 如果limnunvn=l(0l0 或limnunvn=+，且级数n=1vn发散，则级数n=1un发散。当l=1时，un，vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，un与vn同敛散性，只要已知un，vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。 例4 判定n=11n2-lnn 的敛散性 解： limn1n2-lnn1n2=limnn2n2-lnn=1 又1n2 收敛 n=11n2-lnn 收敛 例5 研究n=11ln(1+n)的敛散性 解： limn1ln(1+n)1n=limnnln(1+n)=1 而1n 发散 n=11ln(1+n) 发散3 等价无穷小无可比拟的作用 以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：原式=limx0tan2x-x2x2tan2x=limx02(secxtanx-x)2xtan2x+2x2tanxsecx=limx0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4xtanxsecx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例： 例63 limx0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则） =limx0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2xlimx0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子） =limx0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限） =limx0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则） =limx0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosxlimx0+tan(sinx)sin(tanx) =limx0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。 xsinxtanx(x0) 原式=limx0+xx=1而得解。 由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性3。只要充分地