特征分析思想在解数学竞赛题中的应用.pdf

特性相映照 往往能使矛盾显现出来 4 1 极端位置 例6 试问能否在平面上放置2 008条 线段 使得每一条线段的端点都严格地位于 其他线段的内部 证明 假设可以放置2 008条线段 使得 它们的4 016个端点全部严格地位于其他线 段的内部 现取一定点O 并找出4 016个端 点中离点O最远的点A 于是 平面上再没有 比点A到点O的距离更远的点 上述线段的 端点 了 由于点A严格位于另一线段BC内 部 从而 点A是 OBC的边BC上的点 故 OA max OB OC 这与点A是离点O最远 的点矛盾 可见平面上不能放置满足题目要 求的2 008条线段 注 本题抓住极端位置 最远点A 层 层展开 导出矛盾 4 2 边界位置 典型位置 例7 将正整数1至100随意填入 10 10的方格表中 且每个方格填一个数 证 明 必有某两个相邻方格 即具有公共边的方 格 中所填数字之差不小于6 证明 假设可以找到一种填法使得每两 个相邻方格中所填数字之差都不超过 5 即 小于6 观察与1在同一行 与100在同一列 的方格内的数字a 由于a与1之间至多间 隔8个方格 故 a 1 9 5 46 又由于a与100之间也至多间隔8个方 格 故 a 100 9 5 55 与式 矛盾 从而原命题成立 注 本题在从特殊位置特殊对象入手的 同时 又注意从全面加以考虑 从而使问题顺 利获证 参考文献 1 常庚哲 李炯生 高中数学竞赛教程 M 南京 江苏 教育出版社 1989 6 特征分析思想在解数学竞赛题中的应用 周 瑜 君 天津师范大学数学科学学院2003级研究生 300074 收稿日期 2005 03 22 修回日期 2005 09 08 本文结合例题介绍特征分析思想的应用 1 关系式特征 数学竞赛题中 常会给出一些关系式 有 的时候可恰当地转化关系式的形式 使之与 我们学过的某些知识建立起联系 从而找到 解题的切入点 例1 已知a b c为 ABC的三边长 且满足a 2 b 2 bc 求证 A 2 B 分析 考虑到已知条件给出的关系式的 特征 a 2 b 2 bc b b c a a b b b c 比较这两种特征 我们可以联想到相似 三角形中的比例关系 同时可以构造图形来 解此题 图1 证明 如图1 延长 CA到D 使得AD AB c 则CB 2 CA CD 所以 CB为 ABD的 外接圆过点B的切线 注意到 ABC ADB ABD 故 CAB 2 ABC 312005年第11期 即 A 2 B 例2 如图2 设 ABC的外接圆半径为 R AD BC DE AB DF AC 求证 S ABC R EF 分析 考虑到结论中关系式的特征与三 角形面积之间的关系 有 R EF 1 2 2 R EF 1 2 AH EF AH为直径 图2 由此猜测AH EF 接下来完成证 明 证 明 作 直 径 AH交EF于G 辅助 线如图2所示 则 AHB ACB 因为A E D F四点共圆 所以 AEF ADF ACB AHB 从而 E B H G四点共圆 因为 ABH 90 则AH EF 又因为DE HB 所以 S BDE S HDE 同理 S CFD S HFD 故S四边形HFAE S HFE S AFE S四边形BCFE S AEF S ABC 又因为S四边形HFAE 1 2 AH EF 所以 S ABC 1 2 AH EF R EF 2 数量结构特征 有些题目中并没有给出明确的关系式 但可通过已知条件给出的数量关系 建立关 系式 抓住其中数量的结构特征 同样可以达 到解题的目的 例3 有n个人 已知他们中的任意两 个人至多通电话一次 他们中的任意n 2 个人之间通电话的总次数相等 都是3 k 次 其中k是正整数 求n的所有可能值 2000 全国高中数学联赛 分析 仔细品味题中给出的数量关系 就 可得到其数量特征 不妨设n个人分别为A1 A2 An Ai 通话的次数为mi Ai与Aj之间的通话次数 为 ij 1 i j n 其中 ij 0或1 从而数 量特征为 mi mj ij 1 2 n s 1 ms 3 k c 其中c为常数 进而猜测mi i 1 2 n 为常数 解 记n个人分别为A1 A2 An 设 Ai通话的次数为mi Ai与Aj之间的通话次 数为 ij 1 i j n 其中 ij 0或1 显然n 5 所以 mi mj mi ms mj ms is js 1 1 i j s n 设mi max ms 1 s n mj min ms 1 s n 于是 mi mj 1 若mi mj 1 则对任意的s i j 1 s n 有 mi ms is mj ms js 1 is js 0 即 is js 1 1 i j s n 所以 is 1 js 0 s i j 且1 s n 从而 mi n 2 mj 1 故mi mj n 3 2 矛盾 因此 mi mj 0 则 ij 0 或 ij 1 若 ij 0 则ms 0 1 s n 矛盾 若 ij 1 则ms n 1 1 s n 所以 n 2 n 3 3 k 2 设n 2 2 3 k1 n 3 3 k2 k1 k2 由2 3 k1 3 k2 1 得 3 k2 1 41中 等 数 学 所以 k1 k2 0 与k 1矛盾 设n 2 3 k1 n 3 2 3 k2 k1 k2 1 由3 k1 2 3 k2 1 得 k2 0 k1 1 因此 n 5为所求 3 图形特征 在一些几何题中 图形所反映出的特征 也给问题的解决提供了方便 例4 圆 1和圆 2相交于M N 设l 是圆 1和圆 2的两条公切线中距离点 M 较近的那条公切线 l与圆 1切于点A 与 圆 2切于点B 设经过点 M且与l平行的 直线与圆 1还相交于点C 和圆 2还相交 于点D 直线CA和直线DB相交于点E 直 线AN和直线CD相交于点P 直线BN与直 线CD相交于点Q 证明 EP EQ 第41届 IMO 分析 要证两边相等 观察图3的特征 即AB PQ及直线MN平分线段AB 可证 M为PQ的中点 猜测EM PQ 可证 EPQ为等腰三角形 图3 证明 联结AM BM 令K为MN与AB 的交点 则 AK 2 KN KM BK 2 于是 K为AB的中点 又因AB CD 故M为PQ的中点 又CD AB 则A B分别为CM MD的 中点 即 ACM BDM均为等腰三角形 故 BAM AMC ACM EAB ABM BMD BDM EBA 从而 EM AB 因此 EP EQ 例5 六边形ABCDEF内接于 O 且 AB BC CD 3 1 DE EF FA 1 求 此六边形的面积 分析 求任意一个六边形的面积 直接入 图4 手比较麻烦 观察图4 发 现其有两组全等三角形 而且每组的三个三角形 是相邻的 根据图形的这 个特征 可以适当地改 造 重组图形 使其变为 易解的常见图形模式 解 联结OA OB OC OD OE OF 易知 S AOB S BOC S COD S DOE S EOF S FOA 将六个三角形重新组合得到一个圆内接 图5 六边形A B C D E F 如图5 其 中 O与 O 是等圆 且 A B C D E F 3 1 B C D E F A 1 那么 六边形A B C D E F 与六边形 ABCDEF是等积的 为求六边形A B