第十章 向量与空间解析几何 4.ppt

1 10 4空间曲面 与一个平面具有一一对应的关系 一般地 若一个三元方程 F x y z 0与一个曲面 具有如下关系 1 曲面 上任一点的坐标都满足方程 F x y z 0 2 坐标满足方程 F x y z 0的点都在曲面 上 则称方程 F x y z 0为曲面 的方程 而曲面 称为方程 F x y z 0的图形 2 例1 求与定点M0 x0 y0 z0 的距离等于定长R的动点M的轨迹 解 设动点M的坐标为 x y z 3 例2 设p 0 求到定点M 0 0 p 和平面z p距离 解 动点M x y z 到定点M0 0 0 p 的距离为 相等的动点的轨迹方程 是一个旋转抛物面 4 10 4 1三种特殊曲面 定义给定空间曲线C绕某条定直线L旋转一周而形成的曲面 称为旋转曲面 定直线L称为该旋转曲面 的中心轴 曲线C称为该旋转曲面 的一条母线 A 旋转曲面 5 设曲线C f y z 0是yOz坐标面上的一条曲线 在曲面 上任取一点M x y z 则此点必是曲线C上某点M0 x0 y0 z0 绕z轴旋转而得 求曲线C绕z轴旋转而成的旋转曲面 的方程 6 例3 解 7 类似地 而成的是单叶旋转双曲面 其方程为 8 注意 旋转是双叶旋转双曲面 其方程为 9 例2中的轨迹方程为 可以看作是由yOz坐标面上的抛物线 绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程 称为旋转抛物面 注意 此旋转抛物面也可以看作是由xOz坐标面上的抛物线 绕z轴旋转而得 10 B 柱面 定义动直线L沿定曲线C移动 并始终保持与一固定的方向l平行 动直线L所形成的轨迹称为柱面 动直线L称为柱面的母线 曲线C称为柱面的准线 设柱面 是以xOy坐标面上曲线C F x y 0为准线 母线平行z轴 柱面 的方程应的是怎样的 11 设点M x y z 为柱面 上的任一点 故点M的坐标满足 F x y 0 即为柱面 的方程 过点M的母线与准线的交点为M0 x0 y0 z0 故有 x x0 y y0 z 0 且F x0 y0 0 12 圆柱面 椭圆柱面 抛物柱面 双曲柱面 抛物柱面 平面 13 作业P150 14 15 1 2 21 1 2 23 P163A 5 2 3 6 1 14 C 锥面 定义给定一条空间曲线C和不在曲线C上的一定点O 当点M沿曲线C运动时 连接点O和M的直线所形成的曲面称为锥面 并称点O为锥面的顶点 曲线C称为锥面的准线 直线OM称为锥面的母线 设锥面的顶点为坐标原点 其方程 f x y z 0 有什么特点 当点M x y z 在锥面上 M x y z O 0 0 0 即有 f x y z 0 则点M kx ky kz 必在直线OM上 也即在锥面上 故有 f kx ky kz 0 如果f x y z f kx ky kz 则f x y z 称为齐次函数 故锥面方程必是齐次方程 15 例4 试求以坐标原点O为顶点 平面z h h 0 上的圆 解 设M x y z 为锥面上任一异于原点O的点 并设母线OM与准线的交点为M0 x0 y0 z0 为准线的圆锥面的方程 16 圆锥面的方程可写成 以原点为顶点 准线为 的锥面方程为 17 10 4 2二次曲面 定义二次代数方程 的图形称为二次曲面 都是二次曲面 18 A 椭球面 要知道 图形的范围 有限 图形的对称性 与坐标轴的交点 顶点 用截痕法考察椭球面的形状 都是椭圆 19 20 注意到 中心在M0 x0 y0 z0 21 B 单叶双曲面 注意 曲面的对称性 曲面的无界性 是直纹面 22 23 C 双叶双曲面 注意 双叶双曲面的对称性 双叶双曲面的顶点 曲面