【步步高】高考数学总复习 5.2向量的分解与向量的坐标运算配套文档 理 新人教B版 (1).DOCVIP

5.2向量的分解与向量的坐标运算1 平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式2 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3 平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc中，向量，的夹角为abc.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则等于45.()2 已知点a(6,2)，b(1,14)，则与共线的单位向量为()a(，)或(，)b(，)c(，)或(，)d(，)答案c解析因为点a(6,2)，b(1,14)，所以(5,12)，|13，与共线的单位向量为(5,12)(，)3 已知a(3,0)，b(0,2)，o为坐标原点，点c在aob内，|2，且aoc，设 (r)，则的值为()a1 b. c. d.答案d解析过c作cex轴于点e(图略)由aoc，知oece2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4 在abcd中，ac为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)5 在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a、b、c三点满足，则_.答案解析，()，.题型一平面向量基本定理的应用例1在abc中，点p是ab上一点，且，q是bc的中点，aq与cp的交点为m，又t，试求t的值思维启迪根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过t建立关于t的方程组，从而求出t的值解，32，即22，2，即p为ab的一个三等分点(靠近点a)，如图所示a，m，q三点共线，设x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解如图，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设|y，|x，则，yx得，令，得yx，代入得m.题型二向量的坐标运算例2已知a(1，2)，b(2,1)，c(3,2)，d(2,3)，(1)求23；(2)设3，2，求及m、n点的坐标思维启迪(1)直接计算、的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点m，n的坐标解(1)a(1，2)，b(2,1)，c(3,2)，d(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6)(2)3，2，2323，由a、b、c、d点坐标可得(3,2)(1，2)(2,4)2(1,1)3(2,4)(4,10)设m(xm，ym)，n(xn，yn)又3，3()，(xm，ym)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xm3，ym10，m(3，10)又2，即2，(xn，yn)(3,2)2(1,1)，xn1，yn0，n(1,0)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求m、n的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设o为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)m(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n(9,2)(9，18)题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，则点d的坐标为_(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形abcd中，dc2ab，2.设点d的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故点d的坐标为(2,4)(2)依题意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于 ()a. b. c1 d2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点a、b、c能构成三角形，则实数m满足的条件是_答案(1)b(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于点a、b、c能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点a、b、c能构成三角形时实数m满足的条件是m.忽视平行四边形的多样性致误典例：(12分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标易错分析此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形规范解答解如图所示，设a(1,0)，b(3,0)，c(1，5)，d(x，y) 2分(1)若四边形abcd1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)由，得d1(3，5)5分(2)若四边形acd2b为平行四边形，则2.而(4,0)，(x1，y5)d2(5，5)8分(3)若四边形acbd3为平行四边形，则.而(x1，y)，(2,5)，d3(1,5)11分综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)12分温馨提醒(1)本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口(2)向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解方法与技巧1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2 平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范1 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 (2012广东)若向量(2,3)，(4,7)，则等于 ()a(2，4) b(2,4)c(6,10) d(6，10)答案a解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4)2 在abc中，点p在bc上，且2，点q是ac的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()a(2,7) b(6,21)c(2，7) d(6，21)答案b解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)3 设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，则“a(4,2)”是“ab”成立的()a充要条件 b必要不充分条件c充分不必要条件 d既不充分也不必要条件答案c解析若a(4,2)，则|a|2，且ab都成立；因ab，设ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要条件4 已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于 ()aab b.abcab dab答案b解析设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.5如图，在abc中，点d是bc边上靠近b的三等分点，则等于()a.b.c.d.答案c解析由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点d是bc边上靠近b的三等分点，所以().二、填空题6 已知a(3,0)，b(0，)，o为坐标原点，c在第二象限，且aoc30，则实数的值为_答案1解析由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由aoc30知以x轴的非负半轴为始边，oc为终边的一个角为150，tan 150，即，1.7 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_答案解析因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.8 abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角c_.答案60解析因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，结合余弦定理知，cos c，又0c180，c60.三、解答题9 已知a(1,1)、b(3，1)、c(a，b)(1)若a、b、c三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点c的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)a、b、c三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点c的坐标为(5，3)10如图，g是oab的重心，p，q分别是边oa、ob上的动点，且p，g，q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，g是oab的重心，().而，不共线，由，得解得3(定值)b组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知a，b是不共线的向量，ab，ab，r，那么a、b、c三点共线的充要条件为 ()a2 b1c1 d1答案d解析a、b、c三点共线，存在实数t，满足t，即abtatb，又a，b是不共线的向量，1.2 已知abc中，点d在bc边上，且2，rs，则rs的值是()a. b. c3 d0答案d解析，.又rs，r，s，rs0，故选d.3 已知a(7,1)、b(1,4)，直线yax与线段ab交于c，且2，则实数a_.答案2解析设c(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得.c(3,3)又c在直线yax上，3a3，a2.4 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yr，求xy的最大值解以o为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(1,0)，b(，)，设aoc(0，)，则c(cos ，sin )，由xy，得，所以x