河北省中考数学复习 专题2 图形变式与拓展课件.pptVIP

专题2图形变式与拓展 常考类型分析 专题类型突破 类型1关于三角形的变式拓展问题 例1 在图1至图3中 直线mn与线段ab相交于点o 1 2 45 1 如图1 若ao ob 请写出ao与bd的数量关系和位置关系 2 将图1中的mn绕点o顺时针旋转得到图2 其中ao ob 求证 ac bd ac bd 3 将图2中的ob拉长为ao的k倍得到图3 求 思路分析 通过观察可以猜想ao与bd相等且互相垂直 在后面的问题中 通过添加bd的垂线 使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决 解 1 ao bd ao bd 2 证明 如图1 过点b作be ca交do于点e 延长ac交db的延长线于点f aco beo 又 ao ob aoc boe aoc boe ac be 又 1 45 aco beo 135 deb 45 2 45 be bd ebd 90 ac bd be ac afd 90 ac bd 3 如图2 过点b作be ca交do于点e beo aco 又 boe aoc boe aoc 又 ob kao 由 2 的方法易得be bd 满分技法 图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观 转化 类比的思想方法 在原图形中具备的位置和数量关系 在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系 可通过类比进行推理 验证 所用方法和第 1 问所用方法相似 可借鉴原结论方法 并进行拓展 只要沿着这样的思路进行即可解决 满分必练 1 2017 邢台模拟 已知 abc中 ab ac bc 6 点p从点b出发沿射线ba移动 同时点q从点c出发沿线段ac的延长线移动 点p q移动的速度相同 pq与直线bc相交于点d 1 如图1 过点p作pf aq交bc于点f 求证 pdf qdc 2 如图2 当点p为ab的中点时 求cd的长 3 如图3 过点p作pe bc于点e 在点p从点b向点a移动的过程中 线段de的长度是否保持不变 若保持不变 请求出de的长度 若改变 请说明理由 解 1 ab ac b acb pf ac pfb acb b pfb bp fp 由题意 得bp cq fp cq pf ac dpf dqc 又 pdf qdc pdf qdc 2 如图 过点p作pf ac交bc于点f 点p为ab的中点 3 线段de的长度保持不变 如图 过点p作pf ac交bc于点f 由 1 知 pb pf pe bc be ef 由 1 知 pdf qdc cd df 2 2016 成都中考 如图1 abc中 abc 45 ah bc于点h 点d在ah上 且dh ch 连接bd 1 求证 bd ac 2 将 bhd绕点h顺时针旋转 得到 ehf 点b d分别与点e f对应 连接ae 如图2 当点f落在ac上时 f不与c重合 若bc 4 tanc 3 求ae的长 如图3 当 ehf是由 bhd绕点h逆时针旋转30 得到时 设射线cf与ae相交于点g 连接gh 试探究线段gh与ef之间满足的等量关系 并说明理由 解 1 在rt ahb中 abc 45 ah bh 在 bhd和 ahc中 bhd ahc sas bd ac 2 在rt ahc中 tanc 3 设ch x 则bh ah 3x bc 4 3x x 4 x 1 ah 3 ch 1 由旋转 知 ehf bhd ahc 90 eh ah 3 fh dh ch 1 eha fhc eah c tan eah tanc 3 如图 过点h作hp ae于点p hp 3ap ae 2ap 在rt ahp中 ap2 hp2 ah2 ap2 3ap 2 9 ef 2gh 理由如下 设ah与cg交于点q 由 知 aeh和 fhc都为等腰三角形 又 旋转角为30 fhd bhe 30 eha fhc 120 hcg gah 30 agq chq agq chq 90 又 gqh aqc gqh aqc 3 教材改编题 1 问题发现 如图1 acb和 dce均为等边三角形 点a d e在同一直线上 连接be 则 aeb的度数为 线段ad be之间的关系为 2 拓展探究 如图2 acb和 dce均为等腰直角三角形 acb dce 90 点a d e在同一直线上 cm为 dce中de边上的高 连接be 请判断 aeb的度数 并说明理由 当cm 5时 ac比be的长度多6时 求ae的长 解 1 60 相等 2 aeb 90 理由如下 acb和 dce均为等腰直角三角形 ca cb cd ce acb dce 90 acd bce 在 acd和 bce中 acd bce sas ad be adc bec dce为等腰直角三角形 cde ced 45 点a d e在同一直线上 adc 135 bec 135 aeb bec ced 90 在等腰rt dce中 dce 90 cm de 则有dm cm me 5 在rt acm中 am2 cm2 ac2 设be ad x 则ac 6 x x 5 2 52 x 6 2 解得x 7 ae ad dm me 17 例2 2017 长春中考 再现 如图1 在 abc中 点d e分别是ab ac的中点 可以得到 de bc 且de 不需要证明 探究 如图2 在四边形abcd中 点e f g h分别是ab bc cd da的中点 判断四边形efgh的形状 并加以证明 应用 1 在 探究 的条件下 四边形abcd中 满足什么条件时 四边形efgh是菱形 你添加的条件是 只添加一个条件 2 如图3 在四边形abcd中 点e f g h分别是ab bc cd da的中点 对角线ac bd相交于点o 若ao oc 四边形abcd面积为5 则阴影部分图形的面积和为 类型2关于四边形的变式拓展问题 思路分析 探究 利用三角形的中位线定理可得出ef hg ef gh 继而可判断出四边形efgh的形状 应用 1 同 探究 的方法判断出即可判断出ef fg 即可得出结论 2 先判断出s bcd 4s cfg 同理 s abd 4s aeh 进而得出再判断出om on 进而得出 解 探究 四边形efgh是平行四边形 证明 如图1 连接ac e是ab的中点 f是bc的中点 ef ac 综上 ef hg ef hg 故四边形efgh是平行四边形 应用 1 添加ac bd 理由 连接ac bd ac bd ef fg 又 四边形efgh是平行四边形 efgh是菱形 故答案为 ac bd 2 如图2 由 探究 得四边形efgh是平行四边形 f g分别是bc cd的中点 s bcd 4s cfg 同理 s abd 4s aeh 四边形abcd面积为5 设ac与fg eh相交于点m n ef与bd相交于点p oa oc om on 易知 四边形enop fmop是面积相等的平行四边形 满分技法 此题是四边形综合题 主要考查了三角形的中位线定理 平行四边形的判定 菱形的判定 相似三角形的判定和性质 解 探究 的关键是判断出解 应用 的关键是判断出是一道基础题目 满分必练 4 2016 兰州中考 阅读下面材料 在数学课上 老师请同学思考如下问题 如图1 我们把一个四边形abcd的四边中点e f g h依次连接起来得到的四边形efgh是平行四边形吗 小敏在思考问题时 有如下思路 连接ac 结合小敏的思路作答 1 若只改变图1中四边形abcd的形状 如图2 则四边形efgh还是平行四边形吗 说明理由 参考小敏思考问题方法解决一下问题 2 如图2 在 1 的条件下 若连接ac bd 当ac与bd满足什么条件时 四边形efgh是菱形 写出结论并证明 当ac与bd满足什么条件时 四边形efgh是矩形 直接写出结论 解 1 四边形efgh是平行四边形 理由如下 如图 连接ac e是ab的中点 f是bc的中点 ef hg ef hg 故四边形efgh是平行四边形 2 当ac bd时 四边形efgh为菱形 理由如下 由 1 知 四边形efgh是平行四边形 当ac bd时 fg hg efgh是菱形 当ac bd时 四边形efgh为矩形 5 2017 兰州中考 如图1 将一张矩形纸片abcd沿着对角线bd向上折叠 顶点c落到点e处 be交ad于点f 1 求证 bdf是等腰三角形 2 如图2 过点d作dg be 交bc于点g 连接fg交bd于点o 判断四边形bfdg的形状 并说明理由 若ab 6 ad 8 求fg的长 解 1 证明 根据折叠的性质 得 dbc dbe 又ad bc dbc adb dbe adb df bf bdf是等腰三角形 2 四边形abcd是矩形 ad bc fd bg 又 dg be 即dg bf 四边形bfdg是平行四边形 df bf 四边形bfdg是菱形 ab 6 ad 8 假设df bf x af ad df 8 x 在rt abf中 ab2 af2 bf2 即62 8 x 2 x2 6 2016 临沂中考 如图1 在正方形abcd中 点e f分别是边bc ab上的点 且ce bf 连接de 过点e作eg de 使eg de 连接fg fc 1 请判断 fg与ce的数量关系是 位置关系是 2 如图2 若点e f分别是边cb ba延长线上的点 其他条件不变 1 中结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明 3 如图3 若点e f分别是边bc ab延长线上的点 其他条件不变 1 中结论是否仍然成立 请直接写出你的判断 解 1 fg cefg ce 2 成立 证明 如图 过点g作gh cb的延长线于点h eg de geh dec 90 geh hge 90 dec hge 在 hge与 ced中 hge ced aas gh ce he cd ce bf gh bf gh bf 四边形ghbf是平行四边形 fg bh fg ch fg ce 四边形abcd是正方形 cd bc he bc he eb bc eb bh ec fg ec 3 仍然成立 例3 如图1至图4中 两平行线ab cd间的距离均为6 点m为ab上一定点 思考如图1 圆心为o的半圆形纸片在ab cd之间 包括ab cd 其直径mn在ab上 mn 8 点p为半圆上一点 设 mop 当 度时 点p到cd的距离最小 最小值为 探究一在图1的基础上 以点m为旋转中心 在ab cd之间顺时针旋转该半圆纸片 直到不能再转动为止 如图2 得到最大旋转角 bmo 度 此时点n到cd的距离是 探究二将图1中的扇形纸片nop按下面对 的要求剪掉 使扇形纸片mop绕点m在ab cd之间顺时针旋转 1 如图3 当 60 时 求在旋转过程中 点p到cd的最小距离 并请指出旋转角 bmo的最大值 2 如图4 在扇形纸片mop旋转过程中 要保证点p能落在直线cd上 请确定 的取值范围 类型3关于圆的变式拓展问题 思路分析 在 思考 的图1中 当op cd时 点p到cd的距离最小 在 探究一 的图2中 半圆形纸片不能再转动时 o与cd相切于点y 在 探究二 的图3中 当pm ab时 点p到cd的距离最小 当与ab相切时 旋转角 bmo的度数最大 图4中 当弦mp 6时 取最小值 当与cd相切于点p时 即半径op cd于点p时 取最大值 解 思考 根据两平行线之间垂线段最短 直接得出答案 当 90度时 点p到cd的距离最小 mn 8 op 4 点p到cd的距离最小值为6 4 2 故答案为 90 2 探究一 以点m为旋转中心 在ab cd之间顺时针旋转该半圆形纸片 直到不能再转动为止 如图1 mn 8 mo 4 oy 4 uo 2 得到最大旋转角 bmo 30度 此时点n到cd的距离是2 故答案为 30 2 探究二 1 由已知得m与p的距离为4 当mp ab时 点p到ab的最大距离为4 从而点p到cd的最小距离为6 4 2 当扇形mop在ab cd之间旋转到不能再转时 与ab相切 此时旋转角最大 bmo的最大值为90 2 如图2 由探究一可知 点p是与cd的切点时 达到最大 即op cd 此时延长po交ab于点h 最大值为 omh 图1 ohm 30 90 120 如图3 当点p在cd上且与ab距离最小时 mp cd 达到最小 连接mp 作oh mp于点h 由垂径定理 得mh 3 在rt moh中 mo 4 moh 49 2 moh 98 最小为98 的取值范围是98 120 图2 满分技法 在拓展变化的图形中求最值 比如最大 小 距离 角的最大 小 度数 线段的最大 小 长度等 关键是确定相关图形的特殊位置 确定几何图形中角度的取值范围 要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况 另外 几何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的 本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来 是很困难的 比如 思考 中 为什么op ab时 图3 点p到cd的距离最小 探究一 中 怎样说明半圆形纸片不能再转动时 o与cd相切于点p 探究二 1 中 为什么mp ab时点p到cd的距离最小 为什么当与cd相切于点p时 旋转角 bmo的度数最大 2 中 为什么当弦mp 6时 取最小值 为什么当半径op cd于点p时 取最大值 对于这些问题 在考场上是没有时间 也没有必要深究的 其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验 满分必练 7 2017 宝应一模 如图1 水平放置一个三角板和一个量角器 三角板的边ab和量角器的直径de在一条直线上 acb 90 bac 30 od 3cm 开始的时候bd 1cm 现在三角板以2cm s的速度向右移动 1 当点b与点o重合时 求三角板运动的时间 2 三角板继续向右运动 当b点和e点重合时 ac与半圆相切于点f 连接ef 如图2所示 求证 ef平分 aec 求ef的长 解 1 当点b与点o重合时 bo od bd 4 cm 三角板运动的时间为2s 2 证明 如图 连接点o与切点f 则of ac ace 90 ec ac of ce ofe cef of oe ofe oef oef cef 即ef平分 aec 由 知 of ac afo是直角三角形 bac 30 of od 3cm 8 2017 裕华区模拟 如图所示 点a为半圆o直径mn所在直线上一点 射线ab垂直于mn 垂足为a 半圆绕m点顺时针转动 转过的角度记作 设半圆o的半径为r am的长度为m 回答下列问题 探究 1 若r 2 m 1 如图1 当旋转30 时 圆心o 到射线ab的距离是 如图2 当 时 半圆o与射线ab相切 2 如图3 在 1 的条件下 为了使得半圆o转动30 即能与射线ab相切 在保持线段am长度不变的条件下 调整半径r的大小 请你求出满足要求的r 并说明理由 发现 3 如图4 在0 90 时 为了对任意旋转角都保证半圆o与射线ab能够相切 小明探究了cos 与r m两个量的关系 请你帮助他直接写出这个关系 cos 用含有r m的代数式表示 拓展 4 如图5 若r m 当半圆弧线与射线ab有两个交点时 的取值范围是 并求出在这个变化过程中阴影部分 弓形 面积的最大值 用m表示 解 1 如图1 作o e ab于点e mf o e于点f 则四边形amfe是矩形 ef am 1 在rt mfo 中 mo f 30 mo 2 如图2 设切点为f 连接o f 作o e oa于点e 则四边形o eaf是矩形 ae o f 2 am 1 em 1 2 如图3 设切点为p 连接o p 作mq o p 则四边形apqm是矩形 在rt o mq中 o m r mo q 30 3 如图4 设切点为p 连接o p 作mq o p 则四边形apqm是矩形 在rt o qm中 o q r cos qp m o p r r cos m r 4 如图5 当半圆与射线ab相切时 此时 90 之后开始出现两个交点 当n 落在ab上时 为半圆与ab有两个交点的最后时刻 此时 mn 2am amn 60 120 当半圆弧线与射线ab有两个交点时 的取值范围是90 120 故答案为 90 120 当n 落在ab上时 阴影部分面积最大 9 如图1至图5 o均作无滑动滚动 o1 o2 o3 o4均表示 o与线段ab或bc相切于端点时刻的位置 o的周长为c 阅读理解 1 如图1 o从 o1的位置出发 沿ab滚动到 o2的位置 当ab c时 o恰好自转1周 2 如图2 abc相邻的补角是n o在 abc外部沿a b c滚动 在点b处 必须由 o1的位置旋转到 o2的位置 o绕点b旋转的角 o1bo2 n o在点b处自 实践应用 1 在阅读理解的 1 中 若ab 2c 则 o自转周 若ab l 则 o自转周 在阅读理解的 2 中 若 abc 120 则 o在点b处自转周 若 abc 60 则 o在点b处自转周 2 如图3 abc 90 o从 o1的位置出发 在 abc外部沿a b c滚动到 o4的位置 o自转周 拓展联想 1 如图4 abc的周长为l o从与ab相切于点d的位置出发 在 abc外部 按顺时针方向沿三角形滚动 又回到与ab相切于点d的位置 o自转了多少周 请说明理由 2 如图5 多边形的周长为l