【步步高】高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）9.5 椭圆文档专练 文 新人教A版(1).DOCVIP

9.5椭圆1.椭圆的概念在平面内与两定点f1、f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合p为椭圆；(2)若ac，则集合p为线段；(3)若ab0)1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0) b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a) b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点p与两焦点f1，f2构成pf1f2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆1的离心率为，则m的值是()a.b.c.d.答案d解析由题意知a2m，b22，c2m2.e，m.3.(2013广东)已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0)，离心率等于，则c的方程是()a.1b.1c.1d.1答案d解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，焦点在y轴上，2，即k0，0kb0)的两焦点为f1、f2，以f1f2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.答案1解析设过左焦点f1的正三角形的边交椭圆于a，则|af1|c，|af2|c，有2a(1)c，e1.题型一椭圆的定义及标准方程例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为m，设a为圆上任一点，且点n(2,0)，线段an的垂直平分线交ma于点p，则动点p的轨迹是()a.圆b.椭圆c.双曲线d.抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点p(3,0)，则椭圆的方程为_.(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1(，1)、p2(，)，则椭圆的方程为_.思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义；(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；(3)可以用待定系数法求解.答案(1)b(2)y21或1(3)1解析(1)点p在线段an的垂直平分线上，故|pa|pn|，又am是圆的半径，|pm|pn|pm|pa|am|6|mn|，由椭圆定义知，p的轨迹是椭圆.(2)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过p(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0).椭圆过点p(3,0).1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn).椭圆经过p1、p2点，p1、p2点坐标适合椭圆方程. 则、两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|f1f2|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.(1)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.(2)已知p是椭圆1上一点，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，若f1pf260，则pf1f2的面积为_.答案(1)1(2)12解析(1)方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.方法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.(2)根据椭圆的定义，得|pf1|pf2|20，在pf1f2中，由余弦定理，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60256.2得|pf1|pf2|48.spf1f2|pf1|pf2|sin 6012.题型二椭圆的几何性质例2(1)在rtabc中，abac1，如果一个椭圆通过a，b两点，它的一个焦点为点c，另一个焦点在ab上，求这个椭圆的离心率.(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，f，a分别是椭圆的一个焦点和顶点，p是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值.思维启迪本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出，根据椭圆的性质确定变量的取值范围.解(1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为f，如图所示，abac1，abc为直角三角形，114a，则a.设fax，x，1()24c2，c，e.(2)设p点坐标为(x0，y0).由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又f(1,0)，a(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.思维升华(1)求椭圆的离心率的方法直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值.构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb,0eb0)的一个顶点为b(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于m，n两点.(1)若直线l的方程为yx4，求弦mn的长.(2)如果bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f，求直线l方程的一般式.思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|mn|x2x1|.(2)椭圆右焦点f的坐标为(2,0)，设线段mn的中点为q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又b(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得q的坐标为(3，2).设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kmn，故直线mn的方程为y2(x3)，即6x5y280.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab| (k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.已知椭圆g：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0).斜率为1的直线l与椭圆g交于a，b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p(3,2).(1)求椭圆g的方程；(2)求pab的面积.解(1)由已知得c2，解得a2.又b2a2c24，所以椭圆g的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由消去y得4x26mx3m2120.设a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的左焦点为f1， 上顶点为b2，右顶点为a2，过点a2作x轴的垂线交直线f1b2于点p，若|pa2|3b，则椭圆c的离心率为_.(2)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1(c,0)、 f2(c,0)，若椭圆上存在点p使，则该椭圆的离心率的取值范围为_.思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可.若得到的关系式含b，可利用a2b2c2转化为只含a，c的关系式.解析(1)由题设知，e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到p不与f1f2共线)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1eb0)上点的坐标为p(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点p有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知椭圆c的短轴长为6，离心率为，则椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为()a.9b.1c.1或9d.以上都不对答案c解析，解得a5，b3，c4.椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.2.设f1、f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上一点，m是f1p的中点，|om|3，则p点到椭圆左焦点的距离为()a.4b.3c.2d.5答案a解析由题意知|om|pf2|3，|pf2|6，|pf1|2564.3.已知椭圆1的焦距为4，则m等于()a.4b.8 c.4或8d.以上均不对答案c解析由，得2mb0)的左、右顶点分别是a、b，左、右焦点分别是f1、f2，若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为()a.b.c.d.2答案b解析由题意知|af1|ac，|f1f2|2c，|f1b|ac，且三者成等比数列，则|f1f2|2|af1|f1b|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.5.已知圆m：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆c：1的左焦点为f(c,0)，若垂直于x轴且经过f点的直线l与圆m相切，则a的值为()a.b.1 c.2d.4答案c解析圆m的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(mb0)的左，右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_.答案1解析由直线方程为y(xc)，知mf1f260，又mf1f22mf2f1，所以mf2f130，mf1mf2，所以|mf1|c，|mf2|c所以|mf1|mf2|cc2a.即e1.7.已知椭圆1 (ab0)的离心率等于，其焦点分别为a、b，c为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在abc中，的值等于_.答案3解析在abc中，由正弦定理得，因为点c在椭圆上，所以由椭圆定义知|ca|cb|2a，而|ab|2c，所以3.8.椭圆y21的左，右焦点分别为f1，f2，点p为椭圆上一动点，若f1pf2为钝角，则点p的横坐标的取值范围是_.答案(，)解析设椭圆上一点p的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y).f1pf2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的离心率为，其中左焦点f(2,0).(1)求椭圆c的方程；(2)若直线yxm与椭圆c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点m在圆x2y21上，求m的值.解(1)由题意，得解得椭圆c的方程为1.(2)设点a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2mb0)的左，右焦点分别为f1，f2.点p(a，b)满足|pf2|f1f2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点.若直线pf2与圆(x1)2(y)216相交于m，n两点，且|mn|ab|，求椭圆的方程.解(1)设f1(c,0)，f2(c,0)(c0)，因为|pf2|f1f2|，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线pf2的方程为y(xc).a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设a(c，c)，b(0，c)，所以|ab| c.于是|mn|ab|2c.圆心(1，)到直线pf2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.(2013四川)从椭圆1(ab0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且abop(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()a.b.c.d.答案c解析由题意可设p(c，y0)(c为半焦距)，kop，kab，由于opab，y0，把p代入椭圆方程得1，而2，e.选c.2.已知f1、f2是椭圆的两个焦点，满足0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()a.(0,1)b.(0，c.(0，)d.，1)答案c解析满足0的点m在圆x2y2c2上，圆x2y2c2在椭圆内部，即cb，c2b2a2c2,2c2a2，e2b0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆c的方程为1.