【步步高】高考数学总复习 7.5直接证明与间接证明配套文档 理 新人教B版 (1).DOCVIP

7.5直接证明与间接证明1直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示p0(已知)p1p2p3p4(结论)b(结论)b1b2bna(已知)2. 间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明pq转向证明：綈qrtt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假设；由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式最合适的方法是分析法()2 若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是 ()aac2abb2c.答案b解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3 设alg 2lg 5，bex(xb bab cab dab答案a解析alg 2lg 51，bex，当x0时，0bb.4 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()aa，b，c中至少有两个偶数ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数ca，b，c都是奇数da，b，c都是偶数答案b解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5 如果abab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()0.故abab成立的条件是a0，b0且ab.题型一综合法的应用例1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函数思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论(1)证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.(2)解对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，有f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数思维升华用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱定义：若数列an满足an1a，则称数列an为“平方递推数列”已知数列an中，a12，点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，其中n为正整数，证明：数列2an1是“平方递推数列”证明点(an，an1)在函数f(x)2x22x的图象上，an12a2an，2an114a4an1(2an1)2，2an1是“平方递推数列”题型二分析法的应用例2已知m0，a，br，求证：()2.思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证思维升华分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范已知a，b(0，)，求证：(a3b3)(a2b2).证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，只需证(a3b3)6(a2b2)6，即证(a3b3)2(a2b2)3，即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b33a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3b3)(a2b2).题型三反证法的应用例3已知数列an的前n项和为sn，且满足ansn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列思维启迪(1)先利用snsn1an(n2)两式相减得an和an1的关系，再求an；(2)用反证法证明(1)解当n1时，a1s12a12，则a11.又ansn2，所以an1sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rn)，则2，所以22rq2rp1.又因为pqr，所以rq，rpn.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证思维升华(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：b90.证明假设ba，bc.，相加得，这与矛盾故b90不成立，即b0 ba2b22(ab1)ca23ab2b2 d.答案b解析在b中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立2 在abc中，sin asin ccos acos c，则abc一定是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定答案c解析由sin asin c0，即cos(ac)0，ac是锐角，从而b，故abc必是钝角三角形3 已知m1，a，b，则以下结论正确的是 ()aab ba，即a0，b0，则2的最小值是()a2 b2c4 d5答案c解析因为22 22( )4.当且仅当且 ，即ab1时，取“”5 用反证法证明命题“若a，bn，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ()aa，b都能被3整除 ba，b都不能被3整除cb不能被3整除 da不能被3整除答案b解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”，故选b.二、填空题6. 与2的大小关系为_答案2解析要比较与2的大小，只需比较()2与(2)2的大小，只需比较672与854的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，4240，2.7 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_答案(5,7)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60b与a2解析利用均值不等式，但不能取等号4 已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根即是函数f(x)的一个零点(2)假设0，由0x0，知f()0与f()0矛盾，c