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文档简介
一类带分段线性NCP函数的新lagrangian乘子法王汝锋 尚有林 濮定国(河南科技大学 数学与统计学院 洛阳 471003)摘要:本文提出一类带分段线性NCP函数的新的lagrangian乘子法,在一定条件下证明了原问题(NLP)的KKT点、局部极小解、整体极小解与增广lagrangian乘子函数的平稳点、局部极小点、整体极小点是对应的。这样原问题(NLP)就可以通过无约束问题求解。关键词:约束最优化;KKT点;非线性互补0 引言考虑如下的约束非线性优化问题(NLP) (1)其中是二次连续可微函数。定义约束非线性优化问题(NLP)的可行域为 (2)约束非线性优化问题(NLP)的lagrangian乘子函数, (3)其中和是乘子向量,为方便起见,用表示列向量。 KKT条件:,若点满足KKT条件,则称为问题(NLP)的KKT点。约束非线性优化问题(NLP)的增广lagrangian乘子函数,其中是正参数,当取某个值的时候,增广lagrangian乘子函数的最小值与NLP的解和相应的乘子是对应的。Dpillo和Grippo已经证明1-4,然而,这些方法用到一个求最大值的函数,这个函数在无限多个点处并不是可微的。为了克服以上缺点,濮定国在2004年提出了一类带新NCP函数的乘子法,该方法在增广lagrangian函数和原问题之间存在很好的等价性;本文定义了一个带线性NCP函数的增广lagrangian乘子函数,并在一定条件下证明了原问题(NLP)的KKT点、局部极小解、整体极小解与增广lagrangian乘子函数的平稳点、局部极小点、整体极小点是对应的。这样原问题(NLP)就可以通过无约束问题求解。1 预备知识严格互补条件:称为互补条件;若同时有,则称严格互补条件成立。强二阶充分条件:若点满足以下条件1. 满足一阶KKT条件;2. 对于任意,有。这里。则称满足强二阶充分条件。NCP函数NCP对 如果,则称数对是一个 NCP对.NCP函数 如果二元函数,当且仅当是一个NCP对,则称是一个NCP 函数(非线性规划互补函数)线性NCP函数如下定义:为了研究方便令,我们得到(创新点)对于函数,以下结论成立:1.是个NCP函数,即;2. 是连续可微的; 3. 除了在原点是强半光滑的,其他点处处连续可微,4. 对于所有的,或者对所有的,有?!令 ,这里:当且仅当对于任意的,有及。记 显然,KKT条件等价于,及。2 新的增广lagrangian乘子函数本文构造的增广laganrian乘子函数如下:给出以下假设A1: 和是二次Lipschitz连续可微的。A2 任,当时,有线性无关。A3 在原问题(NLP)的KKT点处,严格互补条件成立。A4: 和是三次Lipschitz连续可微的。A5 在原问题(NLP)的KKT点处,强二阶充分条件成立。下面的定理表明原问题(NLP)的KKT点、局部极小解、整体极小解与的稳定点、局部极小点、整体极小点与在以上假设成立的条件下是对应的。首先给出(NLP)的KKT点和增广Lagrangian乘子函数的平稳点之间的关系定理2.1:若是原问题(NLP)的KKT点,则对于任意的,有;若对于充分大的,有,则是原问题(NLP)的KKT点。证:记 ;.根据的定义,对任意的,有,及,结论显然成立;对任意的,当是原问题(NLP)的KKT点, (2.1)又 (2.2)将(2.2)代入(2.1)得 (2.3)又根据严格互补条件 (2.4) (2.5)又 (2.6)将(2.6)式带入(2.5)得 (2.7)又根据严格互补条件 (2.8)则的梯度为: (2.9) (2.10) (2.11)若是原问题(NLP)的KKT点,则,对于任意的,(2.9),(2.10),(2.11)显然为0,故当时,(2.12)将(2.2)式带入(2.12)式计算可得 (2.13)当充分大时根据(2.11)可以得到 (2.14)又根据A2可知线性无关,可以得到 (2.15)同时可以推出,对于任意的,有 (2.16)否则,不妨设,则对任意,都有与矛盾。由(2.10)和(2.15)可以得到 (2.17)将,代入(2.9)可得到(2.18)又因为线性无关,可以得到故可以得到是原(NLP)的KKT点。定理2.2 :当C充分大时,若是 的局部极小点,则是原问题(NLP)的一个局部极小解.证明:当C充分大时,若是 的局部极小点,则存在,使得对任意的,有 (2.19)由是的局部极小点可知,。根据定理2.1,是原问题(NLP)的KKT点。故,即 (2.20)则又根据假设A2任,当时,有线性无关,则是非奇异的。又根据假设A1,存在,使得任意的,线性无关,则非奇异。因此可以通过下式求得:很显然,当且时,必有。即当充分小时,对任意的,存在满足。由是原问题(NLP)的KKT点可得。另一方面,任意的,存在使得,?!(因为即),则有 (2.21)得证。以下引理均在假设A2-A5下得出。下面证明原问题(NLP)的整体极小解和增广Lagrangian乘子函数 的整体极小点之间的关系定理2.3 :若 是原问题(NLP)的KKT点,则当C充分大时,在处强凸。定理2.4:设 是一个紧集。若是原问题(NLP)的KKT点,且是(NLP)在紧集X上唯一的整体极小解,则当C充分大时,是在整体极小点。证:由可知,存在,使则假设A2-A5在成立。根据定理2.1,;根据定理2.3,当充分大时,在处强凸。则存在,是在上的唯一极小点。假设结论不成立,则在上存在另外一个极小点且根据定理2.1,是原问题(NCP)的KKT点。则有又是(NLP)在紧集X上唯一的全局极小点,故,。令则当充分大时,且是原问题(NLP)的KKT点。则由此可知,不是在上的唯一极小点。故得出矛盾,得证。3 结束语本文证明了函数的稳定点,局部极小点及整体极小点与原问题(NLP)的KKT点,局部极小解及整体极小解是对应的1 Pillo G D, Grippo L. A new class of augmented Lagrangians in nonlinear J . S IAM J Cont ralOpt, 1979, 17: 616.2 Pillo G D, Grippo L. An augmented Lagrangian for inequality constraints in nonlinear programming problems J . J Optimizat ionT heorem and Applicat ions, 1982, 36: 495.3 Pillo G D. Exact penalty method M /In Algorithms for Continuous Optimization: the state of the art . Boston: Kluw er Ac Press,1994: 1- 45.4 Pillo G D, Lucidi S . On exact augment ed Lagrangian functions in nonlinear programming probl
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