【步步高】高考数学总复习 7.6数学归纳法配套文档 理 新人教A版 (1).DOC

7.6数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()a.1b.2c.3d.0答案c解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.3.若f(n)1(nn)，则f(1)为()a.1b.c.1d.非以上答案答案c解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选c.4.设f(n)，nn*，那么f(n1)f(n)_.答案解析f(n1)f(n)().5.用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_.答案2k解析当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为1k1.左边增加了2k项.题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nn).思维启迪证明时注意等式两边从nk到nk1时的变化.证明当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；假设当nk(kn)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，这就是说当nk1时等式也成立.由可知，对所有nn等式成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.用数学归纳法证明：对任意的nn*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立.(2)假设当nk(kn*)时等式成立，即有 ，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nn*等式都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x，时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nn*，证明：an.思维启迪(1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a；(2)利用数学归纳法证明.(1)解由题意，知f(x)axx2(x)2.又f(x)max，所以f().所以a21.又x，时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立.因为当x(0，)时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立.假设当nk(k2，kn*)时，不等式0ak成立.因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x(0，时，f(x)为增函数.所以由0ak，得0f(ak)f().于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立.根据，知对任何nn*，不等式an均成立.证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立.(2)假设nk(k2，且kn*)时不等式成立，即(1)(1)(1).则当nk1时，(1)(1)(1)1.当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型三归纳猜想证明例3已知数列an的前n项和sn满足：sn1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.思维启迪通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想an的通项公式，然后用数学归纳法证明.(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10).当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20).同理可得a3.猜想an(nn*).(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kn*)时，通项公式成立，即ak.由ak1sk1sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1(an0).即当nk1时，通项公式也成立.由和，可知对所有nn*，an都成立.思维升华(1)猜想an的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；证明ak1时，ak1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系.(2)“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)，试比较与1的大小，并说明理由.解f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21，函数g(x)(x1)21在1，)上单调递增.于是由a11得a2(a11)21221，进而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kn*)时结论成立，即ak2k1.当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立.由知，对任意nn*，都有an2n1，即1an2n，1()n0，f(x)，令a11，an1f(an)，nn*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.思维启迪通过计算a2，a3，a4观察规律猜想an，然后用数学归纳法证明.规范解答(1)解a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).2分猜想an(nn*).4分(2)证明易知，n1时，猜想正确.6分假设nk时猜想正确，即ak，8分则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确.11分由知，对于任何nn*，都有an.12分归纳猜想证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n*)成立.第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn*成立.温馨提醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()a.1b.2c.3d.4答案c解析n1时，211,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立.n的第一个取值应是3.2.用数学归纳法证明“1aa2an1(a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为()a.1b.1ac.1aa2d.1aa2a3答案c3.用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nn)”时，从“nk到nk1”时，左边应增添的式子是()a.2k1b.2k3c.2(2k1)d.2(2k3)答案c解析左边应增添的式子等于2(2k1).4.对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，4时，f(n)_(用n表示).答案5(n1)(n2)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2).三、解答题9.用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立.(2)假设nk(kn*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nn*有12223242(1)n1n2(1)n1.10.已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nn*时，anan1.证明(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kn*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立，根据(1)和(2)，可知anan1对任何nn*都成立.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()a.k21b.(k1)2c.d.(k21)(k22)(k23)(k1)2答案d解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.2.下列代数式(其中kn*)能被9整除的是()a.667kb.27k1c.2(27k1)d.3(27k)答案d解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除.(2)假设当kn(nn*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么当kn1时有3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立.由(1)(2)知，命题对kn*成立.3.已知数列an满足a11，an1an1(nn*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an_.答案解析a11，a2a11，a3a21，a4a31.猜想an.4.已知f(n)1，g(n)，nn*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3