编拟数学竞赛题的若干方法.pdfVIP

缩掇数学竞赛题的若千方法 口王剑明 数学竞赛命题是数学竞赛研究的重要方面 命题对 数学竞赛活动的开展带有指导作用 题目出得好坏是数 学竞赛成败的关键 那么怎样的题才算好题 怎样的试卷 才算是一份好的试卷 二十多年来 笔者为浙江省数学竞 赛 全国初中 高中联赛提供了大量的题目 其中被省级 以上竞赛选用并正式作为考题有近2 0 个 数学竞赛命题 的实践 不断地促使笔者对命题的理论思考 本文拟对数 学竞赛的命题方法作些探讨 会解题的人不一定会出题 会命题的人肯定会解题 因为编题的过程不仅是解题的过程 而且还是一个把解 题引向深入的研究过程 一般说来编拟数学题需要深厚 的数学功底 良好的思维素质 熟练的编题技巧 笔者认为 命题的方法主要有 成题改编法 名题再生法 演绎深化 法 新解衍生法 触类旁通法等 衰1 钠与酸溶液的反应现象 金属酸酸的浓度反应速率主要反应现象 在钠球运动的轨迹上 0 1 m o l L 较快出现红色 随后红色变 浅 搅拌后褪色 在钠球运动的轨迹上 硫酸 l m o l L 快 未出现红色 加入酚酞 溶液呈棕黄 色 加入钠后出现火 9 8 剧烈反应 焰 有大量无色刺激性 气体生成 在钠球运动的轨迹上 0 1 m o l L反应较慢 出现红色 搅拌后褪色 l m o l L较快 在钠球运动的轨迹上 钠盐酸未出现红色 加入酚酞 溶液未变 3 6 6 更快色 加入钠生成有刺激 性气味的白雾 在钠运动过的轨迹上 0 1 m 0 1 L 较慢出现红色 搅拌后颜色 消失 在钠球运动的轨迹上 硝酸 l m 0 1 L 较快 未出现红色 加入酚酞 溶液变黄 6 9 十分剧烈加入钠后 有红棕色气 体生成 在钠运动的轨迹上有 0 1 m o l L 较慢 淡红色出现 磷酸 在钠球运动的轨迹上 1 m o l i 较慢 未出现红色 8 5 很慢 钠表面缓慢有气泡冒出 分析以上实验结果 只有稀酸溶液与钠反应时才会 有淡红色出现 而当浓度稍大时就看不到出现淡红色了 是否只有在稀酸溶液中钠会与水反应 还是在反应 6 2 时与水生成的o H 迅速与溶液中的H 饭应而来不及使 酚酞变红 实验2 取一块厚度均匀的钠块 用细的空心玻璃管 垂直往钠块上分别戳三个洞 然后用细铁丝分别将其取 出后放入O 1 m o l LH C l 溶液 O 1 m 0 1 LN a O H 溶液 纯水 中 用秒表记录钠块与它们的反应时间 结果如表2 同 l 一玻璃管 表2 钠粒与不同溶液的反应时间 l 反应试剂 0 1 m o l LH C l0 1 m o l LN a o HH 2 0 f 反应时间4 5 秒4 5 秒4 6 秒 在与钠反应的三种试剂中 H 咱g 浓度分别为1 0 t m o l L 1 0 m o l L 1 0 T m o l L 分别相差1 0 6 倍 而反应的时间却几 乎相同 说明此反应的反应速率与H 的浓度无明显关系 反之也证明钠必与水分子直接发生了反应 3 问题探究的结论和思索 把钠投入酸溶液中 并非先与酸反应后与水反应 从 实验事实分析 酸溶液中的水直接与钠发生了反应 所以 对许多的化学问题我们不能凭主观感觉去臆想得到结 论 化学是一门实验科学 更多时候我们应该运用实验的 手段来作亲自验证 否则可能得到的结论是错误的甚至 是荒谬的 以上实验探究的过程还不能说明钠是与水和H 离子 同时发生反应或是先与水分子反应再与H 离子反应 限 于实验室的条件 无法加以确定 恳与各位同行交流 浙江省杭州外国语学校3 t 0 0 2 3 簟 髫引驯引 獭吲 蛾稚wm嘲k 万方数据 一 成题改编法 对成题加以改编 由此构选出大同小异或面目全非 的新题 这是拟造试题的一种重要方法 笔者曾将1 9 7 9 年一道全俄竞赛题改变数据 得到下题 例1 已知三个数8 9 1 2 3 作以下运算 取其中任意 两个数 求其和再除以 丁 同时求其差 再除以 虿 试 问 能否经过若干步运算 得到三个数9 0 1 0 1 4 7 证明你 的结论 该题被1 9 9 0 年浙江省初中数学竞赛决赛所采用 题 中的数据隐含着竞赛的时间 简析设三个数为G b c 经过一次运算后三个数为 口 6c l 6 万 了f 一 抖6 2 c 警 旦坠 2 旦苎 2 c 2 所以三个数的平方 V2 2 和在运算后保持不变 又8 9 2 1 2 2 3 2 8 0 7 4 9 0 2 1 0 2 1 4 2 8 3 9 6 注意到 8 0 7 4 8 3 9 6 从而可知不管经过多少步运算 不可能得到 三个数9 0 l O 1 4 二 历史名题再生法 数学历史名题是人类文明的宝贵财富 它之所以有 名 常常是因为它与深刻的数学内容 经典的解题方法或 著名的数学大师相联系 对它们作技术处理常可产生富 有新意的赛题 有名题稍作一点变形 如第3 2 届I M O 第5 题 实质 上是厄尔多斯一摩德尔定理 有名题作一些深化 如 1 9 9 0 年冬令选拔赛 从圆中 蝴蝶定理 派生出 筝形蝴蝶 定理 笔者利用祖咂原理新编一道立体几何与解析几何 交汇题 例2 曲线矿 4 y 戈生 嘶 刎 卫 4 围成的图形绕 Y 轴旋转一周所得旋转体的体积为矿 满足石2 严 1 6 妒 r 2 2 1 4 矿 y 2 2 I 4 的点 戈 组成的图形绕y 轴旋 转一周所得旋转体的体积为y 则 1q A V r V 2B y 1 V 2 C y l y 2D V 2 V 2 I y 0 4 珑 4 五 l Y 惫 4 憋谬岍 4 漂亮的图案和祖国文化的底蕴引起联赛组委会的好 感 成为2 0 0 2 年全国高中数学联赛最后一道选择题 简析如题图 两图形绕 轴旋转所得旋转体夹在两 6 3 童 塞熊曼 剖 一 相距为8 的平行平面之间 用任意一个与Y 轴垂直的平面 截这两个旋转体 设截面与原点距离为圳 则所得截面面 积 s 剐 4 q b l s f 邓 4 t 妒 百 扣 2 b 1 2 r r 4 2 4 b I 所以S 2 由祖陋原理知 两几何体体积相等 因此 V I V 故选C 三 演绎深化法 从一个基本问题或基本定理或基本公式或基本图形 或一组条件出发 进行逻辑推理 从易到难 逐步演绎深 化成一个较难的问题解题中的观察 联想 类比 化归 变 换 赋值 放缩 构造 一般化 特殊化 数形结合等方法 均 可用于演绎深化命题之中 所不同的是 命题着眼于扩大 条件与结论之间的距离 力图掩盖条件与结论之间联系 的痕迹 而解题则反之 有一常见题 用4 种不同的颜色对图中编号为A B C D 的四个小正方形中进行涂色 要求每个小正方形只 涂一种颜色 且有公共边的两个正方 形颜色不同 则共有几种不同的涂 法 本题关键考虑对角所涂颜色相同 与不同进行分类讨论 可得8 4 种涂法 笔者把这一常见题的正方形演绎深化 AB CD 到正六边形 成为2 0 0 1 年全国高中数学联赛最后一道填 空题 例3 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如 图 要求同一场块中种同一种植物 相邻的两块种不同 的植物 现有4 种不同的植物可供选择 则有一种栽种方 案 利用数列递推的方法可得到一般性的答案 如不用数 列递推 对学生来说如何从正方形的对角所涂颜色相同 与不同进行分类受到启发 是一个挑战 简析本题关键考虑A C E 所种植物相同与不同 从 而分成三类 1 A C E 种同一种植物有 4 x 3 x 3 x 3 1 0 8 种方法 2 A C E 种二种植物有3 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 4 3 2 种方法 3 A C E 种三种植物有4 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 1 9 2 种方法 故总共有1 0 8 4 3 2 1 9 2 7 3 2 种方法 四 新解衍生法 已知问题的新解往往蕴含着新的思路 新的途径 时 常能衍生出新的问题 第二十三届 1 9 9 1 年 加拿大数学奥林匹克题4 从数 集 0 1 2 1 4 中选出不同的数 填入下图中1 0 个小圆 霎吲纛叫雌噱沁嘲 i 万方数据 教l 学1 月l 鞠l 斓獭粉 中 学 堇 版瞎 第 期 上 盛意塞熊墨 中 使得由线段连结的两个数之差的绝对值均不相同 这 可能吗 请证明你的结论 解 不可能 用反证法证明 如果能按题中要求从 0 1 1 4 选出1 0 个数填人图中圆中 使由线段连结的 两个数之差的绝对值都不同 那么这1 4 个差的绝对值应 恰好是1 2 1 4 其中有7 个奇数 7 个偶数 因而它们 的和 s 是奇数 另一方面 小圆中的每个数在S 中出现偶数次 每个 小圆引出偶数条线段 所以S 应当是偶数 以上矛盾即证 明了我们的论断 我们可考虑 s 取最小值或取最大值时的概率 并将 1 5 个数减少到9 个数 放置到一个圆周上 形成了2 0 0 5 年高中数学联赛试题第1 4 题 例4 将编号为1 2 9 的九个小球随机放置在圆 周的九个等分点上 每个等分点上各有一个小球 设圆周 上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 s 求使S 达到 最小值的放法的概率 注 如果某种放法 经旋转或镜面 反射后可与另一种放法重合 则认为是相同的放法 简析九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点 上 每点放一个 相当于九个不同元素在圆周上的一个圆 形排列 故共有81 种放法 考虑到翻转因素 则本质不同 的放法有掣种 下求使S 达到最小值的放法数 在圆周上 从l 到9 有优弧与劣弧两条路径 对其中任一条路径 设轧 以是依次排列于这段弧上的小球号码 则1 1 t I k 广戈 I L l l x t 一9 l 1 x z 叫 L 缸 9 I I l 9 同 上式取 等号当且仅当1 屯 屯2 屯 3 可从最后两盘中各取1 个放入第l 盘 连 续操作a k 次 则上述各盘糖块数变为 a x 2 a t a 2 诹 q H 嘞 0 继续采用这种作法 直至最后只有两盘有糖块 设糖块数为 o b 如果b O 则目的已经达到 2 如果b I 2 则作如下操作 a b 0 0 一 d b 1 2 0 一 俨l 6 2 l 2 一 口一 l b 0 1 一 o 1 6 一l 0 0 重复进行这样的操作 便可使 第二盘中糖块数减少为1 直至为 口 1 0 0 3 如果b l 则作如下操作 a 1 0 0 一 a 1 0 2 0 一 a 2 2 l 0 一 a 一 3 2 0 2 卜 护l 1 0 1 一 a l 0 0 0 从而可将糖块集中到第一个盘子中去 总之 命题是一项十分艰苦 复杂的创造性劳动 从理 论上讲 命题是有法可循的 这里所说的方法是常见的编 题技巧 具体操作上必须具体问题具体分析 灵活机动 边干边想边创造 要有 题