A3(第十二章第1、2、3、4节).ppt

2020年1月21日星期二 1 1对弧长的曲线积分 又称第一类曲线积分 第十二章曲线积分与曲面积分 2020年1月21日星期二 2 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 1 引例 求曲线形构件的质量 设一曲线形构件位于xoy平面上的一段曲线弧L上 线密度 x y 为L上的连续函数 求该曲线形构件的质量M 光滑曲线 具有连续转动切线的曲线 2020年1月21日星期二 3 A B 思想方法 1 分割 插入分点 设 每一小弧段长 2 取近似 则小弧段质量 2020年1月21日星期二 4 3 求和 4 取极限 2020年1月21日星期二 5 2 定义 设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段 M1 M2 Mn 1把L分成 若和式的极限 则称此极限值为 f x y 在曲线弧L上对弧长的曲线积分 函数f x y 在L上有界 用L上的任意点 2020年1月21日星期二 6 也称为第一类曲线积分 记作 L 积分弧段 积分路径 ds 弧元素 说明 1 f x y 在L上连续 则曲线积分必存在 2 f x y 虽为二元函数 但点 x y 被限制在L上 变量x y不独立 须满足曲线L的方程 3 若L是光滑闭曲线 常记成 4 推广到空间曲线 有 2020年1月21日星期二 7 3 性质 与定积分性质相仿 3 若L是分段光滑的曲线段 即 2020年1月21日星期二 8 4 设在L上 则 5 积分中值定理 设f x y 在L上连续 则必存在 使得 其中l为L的长度 2020年1月21日星期二 9 第一类曲线积分的对称性 1 如曲线L关于y轴对称 L1是L的部分 2 若交换x y两变量时 L的方程不变 则 轮换对称性 2020年1月21日星期二 10 二 对弧长的曲线积分的计算法 定理 且 L的参数方程为 则曲线积分 存在 且 2020年1月21日星期二 11 说明 ds 弧长元素 弧微分 1 2 2020年1月21日星期二 12 3 4 5 上述所有计算公式中 等式右边的定积分 的积分下限都必须小于上限 2020年1月21日星期二 13 一段弧 如图 例1 A B A 0 a 解 法一 选x为积分变量 L a 2020年1月21日星期二 14 一段弧 如图 法二 选y为积分变量 L A B a 2020年1月21日星期二 15 一段弧 如图 法三 L用参数方程表示 A B a t 2020年1月21日星期二 16 1 2 2 例2 A B 解 o 2020年1月21日星期二 17 例3 解 L 利用极坐标 a 利用对称性 有 2020年1月21日星期二 18 例4 解 因为L关于x轴对称 2xy关于y是奇函数 2020年1月21日星期二 19 课外作业 习题12 1 A 1 3 2 习题12 1 B 1 1 4 2020年1月21日星期二 20 2 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分 一 对坐标的曲线积分的概念与性质 1 引例 求变力沿曲线所作的功 常力作功 变力作功 力f x 的方向与运动方向一致 2020年1月21日星期二 21 思想方法 元素法 x y A B 1 插入分点M1 x1 y1 Mn 1 xn 1 yn 1 n个有向小弧段 M1 Mn 1 Mi 1 Mi 将L任意分成 设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到 的作用 其中P Q在 B 移动过程中 这质点受到变力 L上连续 现计算在上述移动过程中变力所作的功 2020年1月21日星期二 22 x y A B Mi 1 Mi 2 则由常力 近似代替 则 2020年1月21日星期二 23 3 4 取极限 2020年1月21日星期二 24 2 定义 设L为xoy平面上从点A到B的一条有向 光滑曲线 函数P x y Q x y 在L上有界 分成n个有向小弧段 则称此极限值 把L 2020年1月21日星期二 25 为函数P x y 在有向曲线弧L上对坐标x 的曲线积分 记作 同理 则称此极限值为函数Q x y 在有向曲线弧 常用其组合形式 统称为第二类曲线积分 L上对坐标y的曲线积分 记作 2020年1月21日星期二 26 说明 1 P x y Q x y 中的x y受L的限制而相互有关 2 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关 3 前述变力作功 有向弧元素 变号 2020年1月21日星期二 27 4 对空间曲线L 有 5 在L上连续 则此曲线积分必存在 2020年1月21日星期二 28 3 性质 1 设有向曲线L L与L方向相反 则有 2 其余性质类似于对弧长的曲线积分 注 第一类曲线积分没有这一性质 2020年1月21日星期二 29 二 对坐标的曲线积分的计算法 设曲线L由参数方程 一阶连续导数 且 又函数P x y Q x y 在L上连续 L的起点A 终点B 描出有向曲线LAB 2020年1月21日星期二 30 起点A x a 终点B x b f x 在 a b 或 b a 上有连续导数 则 特例 2020年1月21日星期二 31 起点A y c 终点B y d g y 在 c d 或 d c 上有连续导数 则 2020年1月21日星期二 32 空间曲线 起点A 终点B 2020年1月21日星期二 33 例1 1 L 圆心为原点 半径为1 按逆时针方向绕行 的上半圆周 A B 1 1 解 2020年1月21日星期二 34 2 L 直线AB A B 1 1 解 0 2020年1月21日星期二 35 3 L 折线ACB A B C 1 1 解 1 0 0 1 路径不同 值不同 2020年1月21日星期二 36 例2 1 2 A 0 1 0 1 1 2020年1月21日星期二 37 A B 3 0 1 0 1 路径不同 值却相同 2020年1月21日星期二 38 例3 由点 1 1 1 到点 2 3 4 的直线段 解 求 的方程 的方向向量 的方程 其参数式 t 1 d t 1 2t 1 d 2t 1 t 1 2t 1 1 d 3t 1 0 1 2 3 dt 13 2020年1月21日星期二 39 三 两类曲线积分之间的联系 设有向线段L 其中 2020年1月21日星期二 40 类似有 切线向量的方向余弦 2020年1月21日星期二 41 例 解 其方向余弦 曲线上点 x y 处 的切线的方向向量为 2020年1月21日星期二 42 二者夹角为 例 设 曲线段L的长度为s 证明 证 设 在L上连续 2020年1月21日星期二 43 课外作业 习题12 2 B 1 1 2 4 5 2020年1月21日星期二 44 3 格林公式及其应用 一 格林公式 Green1793 1841英 在一元函数积分学中 牛顿 莱布尼茨公式 表示 f x 在区间 a b 上的积分可以用它的原函数 现在要介绍的格林公式 上的二重积分也可以用沿闭区域D的边界曲线 F x 在这个区间端点上的函数值来表达 表示在平面闭区域D L上的曲线积分来表达 2020年1月21日星期二 45 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 平面区域的连通性的分类 2020年1月21日星期二 46 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D内在他附近的那一部分总在他的左边 则他行走的方向就是边界曲线L的正向 2020年1月21日星期二 47 定理1 格林公式 2020年1月21日星期二 48 例1 D 由格林公式 解 2020年1月21日星期二 49 A B D 解 作辅助线 C 用格林公式 非闭曲线 2020年1月21日星期二 50 A B D C 2020年1月21日星期二 51 格林公式的简单应用 2020年1月21日星期二 52 例4 利用曲线积分 求下列曲线所围的图形的 星形线 解 面积A 面积 0 y x 2020年1月21日星期二 53 设函数P x y Q x y 在单连通域G内 二 四个等价命题 定理2 1 2 的值与路径无关 只与起点A与终点B有关 3 4 具有一阶连续偏导数 则下列四命题等价 2020年1月21日星期二 54 证明 设G内闭曲线L由 A B L1 L2 G 即曲线积分与路径无关 只与A B点有关 2020年1月21日星期二 55 积分与路径无关 仅与起点 2020年1月21日星期二 56 P Q有一阶连续偏导数 2020年1月21日星期二 57 对G内任一条闭曲线L 其所围区域 由格林公式 说明 1 常用 4 来判定 1 2 3 的成立 2020年1月21日星期二 58 2 2020年1月21日星期二 59 3 四个等价命题只适用于单连通域 不适用于多连通域 例 在闭区域D上 多连通域 x o y D 在此D上四个命题不再等价 2020年1月21日星期二 60 例1 证明 与路径无关 并求 证 积分与路径无关 x y 1 1 1 1 2020年1月21日星期二 61 例2 计算 积分与路径无关 解 2020年1月21日星期二 62 证 2020年1月21日星期二 63 2020年1月21日星期二 64 例4 其中 1 C1 不包围也不通过原点的任意 无重点闭曲线 2 C2 以原点为中心的正向单位圆 3 C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线 解 除原点外 2020年1月21日星期二 65 1 C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线 即所围闭区域D1为单连通域 在D1上 都有 2 C2 以原点为中心的正向单位圆 D1 D2 1 C1 C2 在 0 0 点 P Q无一阶连续偏导数 不可用等价命题 由定义求 2020年1月21日星期二 66 D3 C2 C3 3 C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线 D3中含有P Q的不连续点 原点 为排除原点 为边界曲线的平面区域 上 恒有 C2为圆周 取如图方向 加辅助线C2 2020年1月21日星期二 67 课外作业 习题12 3 A 4 2 5 2 6 2 1 2 3 3 5 习题12 3 B 2020年1月21日星期二 68 4 对面积的曲面积分 又称第一类曲面积分 一 对面积的曲面积分的概念与性质 1 引例 求曲面型构件的质量 设有一张曲面 其边界曲线是分段光滑的闭曲线 且曲面光滑 面密度 x y z 在 上连续 求曲面 的质量 2020年1月21日星期二 69 x y z 0 1 任分 为n块小曲面 2 任取一点 则小曲面的质量 3 4 2020年1月21日星期二 70 2 定义 1 2 3 4 则称此极限值为f x y z 在曲面 上 对面积的曲面积分 若 2020年1月21日星期二 71 记作 积分曲面 dS 曲面面积元素 可见 曲面形构件的质量 又称为第一类曲面积分 2020年1月21日星期二 72 说明 1 f x y z 虽为三元函数 但点 x y z 被 限制在曲面 上 变量x y z不相互独立 而依赖于曲面 的方程 2 3 若f x y z 在光滑曲面 上连续 则 上述曲面积分存在 4 其性质与第一类曲线积分相仿 特别 若 是闭曲面 则记作 2020年1月21日星期二 73 二 对面积的曲面积分的计算法 设曲面 z z x y 1 2 3 z z x y 在Dxy上具有连续偏导数 f x y z 在光滑曲面 上连续 2020年1月21日星期二 74 同理 2020年1月21日星期二 75 例1 内部的部分 把 1投影到xoy平面 解 2020年1月21日星期二 76 内部的部分 解 把 2投影到xoy平面 例1 2020年1月21日星期二 77 所围区 解 域的边界曲面 例1 2020年1月21日星期二 78 例2 1 1 1 z x