《中考聚焦：圆的有关计算与证明》.docVIP

中考聚焦：圆的有关计算与证明教学设计任课教师：薛芊【教学目标】1知识目标：结合模拟考试，梳理圆中的概念、性质和定理； 再次掌握垂径定理，圆周角、圆心角定理，圆切线的性质和判定，并会用来解决有关的证明与计算问题； 掌握辅助线的作法，以及直角三角形、相似在解决圆问题中的作用。2能力目标：通过对圆类型题目的探究和归纳，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：通过归纳，找到做题的突破口，树立自信，从而发现数学的美； 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用，圆周角、圆心角定理及其应用，圆切线的性质判定及其应用。【教学难点】在圆中构造直角三角形、在圆中利用相似解决问题。【教学方法】探究发现法。【教具准备】多媒体课件、三角板、圆规等。【教学设计】一、垂径定理及其推论命题角度：1. 垂径定理的应用；2. 垂径定理的推论的应用 例1 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EFCD16厘米，则球的半径为_厘米 解析 首先找到EF的中点M，作MNAD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连结OF，设OFx， 则OM16x，MF8. 在直角三角形OMF中，OM2MF2OF2， 即(16x)282x2， 解得x10.二、圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系例2 如图，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD. (1)求证：BDCD； (2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？说明理由 解析 (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DBDEDC.解：(1)证明：AD为直径，ADBC， BDCD.BDCD. (2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BDCD，BADCBD. DBECBDCBE，DEBBADABE， CBEABE， DBEDEB.DBDE. 由(1)知：BDCD，DBDEDC. B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.三、圆周角定理及推论命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算例3 如图，点B，A，C，D在O上，OABC，AOB50，则ADC_.解析 连结OC，OABC，ABAC，AOCAOB50，ADCAOC25.四、圆的切线的性质命题角度：1. 已知圆的切线得出结论；2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明例4 如图，已知点E在直角ABC的斜边AB上，以AE为直径的O与直角边BC相切于点D. (1)求证：AD平分BAC； (2)若BE2，BD4，求O的半径 (3)求AC.解析 (1)连结OD，则ODBC，且ACBC，再由平行进行证明； (2)设圆的半径为R，在RtBOD中利用勾股定理即可求出半径 (3)在圆与直角三角形同时出现求线段长度的时候，还要考虑通过证明特殊三角形相似来解决问题.解：(1)证明： 连结OD， BC与O相切于点D，ODBC. 又C90，ODAC， ODADAC.而ODOA， ODAOAD，OADDAC， 即AD平分BAC. (2)设圆的半径为R，在RtBOD中，BO2 BD2 OD2， BE2，BD4, (BEOE)2 BD2 OD2， 即(2R)242R2，解得R3， 故O的半径为3. (3)由RtBODRtBAC，得BO/AB=OD/AC, 即AC=83/5=4.8 五、圆的切线的判定方法命题角度：1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线例5 如图，点A、B、C分别是O上的点，B60，AC3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且APAC. (1)求证：AP是O的切线； (2)求PD的长解析 (1)首先连结OA，利用圆周角定理，即可求得AOC的度数，利用等边对等角求得PAO90，则可证得AP是O的切线； (2)由CD是O的直径，即可得DAC90，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长解：(1)证明：连结OA. B60，AOC2B120.又OAOC, ACPCAO30.AOP60.又ACAP, PACP30.OAP90.OAAP, 故AP是O的切线(2)连结AD. CD是O的直径，CAD90.ADACtan303.ADCB60，PADADCP603030，PPAD，PDAD.六、小结