【步步高】高考数学总复习 1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式配套文档 理 新人教B版 (1).DOCVIP

1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1 充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的充要条件(2)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价2 命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x3b，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“同位角相等”的逆命题其中真命题的个数是()a0 b1 c2 d3(2)已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是 ()a否命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”是真命题b逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题c逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题d逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪(2)利用定义判断命题的四种形式是否正确，利用四种命题的关系判断命题是否为真答案(1)b(2)d解析(2)命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例(1)命题“若，则cos ”的逆命题是()a若，则cos b若，则cos c若cos ，则d若cos ，则(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()a若xy是偶数，则x与y不都是偶数b若xy是偶数，则x与y都不是偶数c若xy不是偶数，则x与y不都是偶数d若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)c(2)c解析(1)命题“若，则cos ”的逆命题是“若cos ，则”(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选c.题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点bp：1；q：yf(x)是偶函数cp：cos cos ；q：tan tan dp：aba；q：au，bu，ubua思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案d解析对于a，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件；对于b，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于c，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于d，由aba，知ab，所以ubua；反之，由ubua，知ab，即aba.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是d.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件(1)(2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()ax bx1cx5 dx0(2)设集合axr|x20，bxr|x0，则“xab”是“xc”的 ()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案(1)d(2)c解析(1)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.(2)因为ax|x20x|x2(2，)，bx|x0x|x2(，0)(2，)即abc.故“xab”是“xc”的充要条件. 题型三充分条件与必要条件的应用例3(1)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()aa0 b0ac.a1(2)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()a. b.c(，0 d(，0)思维启迪(1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系答案(1)a(2)a解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系a|a1，答案选a.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0a.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_(2)已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案(1)1(2)解析(1)由x21，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.(2)由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1my，则x|y|”的逆命题b命题“若x1，则x21”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题d命题“若x20，则x1”的逆否命题答案a解析对于a，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于b，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于c，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，x2x20，所以是假命题；对于d，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选a.3 已知集合mx|0x1，集合nx|2x0.则命题“p綈q”是假命题；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是3；命题“若x23x20，则x1”的逆否命题：“若x1，则x23x20”其中正确结论的序号为_答案解析中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p綈q为假命题，故正确；当ba0时，有l1l2，故不正确；正确所以正确结论的序号为.10“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题11“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的_条件答案充分不必要解析若a(x2,1)与b(2,2x)共线，则有(x2)(2x)2，解得x，所以“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的充分不必要条件12若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或，0m2.b组专项能力提升(时间：15分钟)1 若集合ax|2x3，bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析当a1时，bx|2x1，满足ab；反之，若ab，只需a2即可，故“a1”是“ab”的充分不必要条件2 “0，即2n12对任意的nn都成立，于是可得32，即.注意到由1可得；但反过来，由不能得到1，故“1”是“数列ann22n(nn)是递增数列”的充分不必要条件3 下列结论正确的个数是()命题p：“x0r，x20”的否定为綈p：“xr，x22n”是“mn”的充分不必要条件a0 b1 c2 d3答案c解析对于，易知是正确的；对于，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p是綈q的充分条件，正确；对于，由mn不能得到mn，因此是错误的故选c.4 “m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件答案充分不必要解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件5 已知集合a，bx|1xm1，xr，若xb成立的一个充分不必要的条件是xa，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析ax|1x3，即m2.6 下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在abc中，“ab2ac2bc2”是“abc为直角三角形”