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机器人学导论 空间描述和变换机械臂的运动学 正运动学和逆运动学 机械臂的动力学 每个关节运动所需的力 轨迹的生成机械臂的设计机械臂的控制 第一章空间描述和变换1 1引言 操作臂运动学 正运动学 逆运动学 关节变量 末端执行器位姿 末端执行器位姿 关节变量 杆件参数 杆件参数 1 2描述 位置 姿态和坐标系 位置描述一旦建立坐标系 就能用一个3 1的位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位 因为在世界坐标系中经常还要定义许多坐标系 因此在位置矢量上附加一信息 标明是在哪一坐标系中被定义的 例如 表示矢量P在A坐标系中的表示 表示矢量P在B坐标系中的表示 姿态描述位置描述只能表示空间的点 但对于末端执行器还需要描述其空间的姿态 例如在右图中矢量可确定操作手指端之间的某点 但手的姿态不能确定 所以在右图中 如果已知坐标系B以某种方式固定在物体上 那么B相对于A中的描述就可以表示出物体的姿态 用表示坐标系B主轴方向的单位矢量 当用坐标系A表达时 它们被写成 3个矢量确定一个姿态 旋转矩阵R是坐标系B相对于坐标系A的表达 这里仅仅考虑旋转变换 例题 如右图所示 坐标系B相对于坐标系A绕Z轴旋转30 这里Z轴为由纸内指向纸面外 求 1 坐标系B相对于A的旋转矩阵R 用单位向量表示 2 已知 0 0 2 0 3 0 求 解 坐标系的变换 完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态 机器人学中将此组合叫做坐标系 四个矢量为一组 一个矢量表示位置 另外三个矢量表示姿态 这就可以确定一个坐标系相对于其他坐标系的位姿了 例如 用来描述坐标系B在坐标系A中的表达 其中表示坐标系的原点相对于坐标系A原点的位置 这里坐标系B相对于坐标系A不仅有旋转还有平移变换 图中已知 如何求 首先将变换到一个中间坐标系 这个坐标系和 A 的姿态相同 原点和 B 的原点重合 可由左乘矩阵得到 然后用矢量加法将原点平移 得到 可以写成 定义一个4 4的矩阵算子并使用了4 1位置矢量 这样可写成 例题 右图坐标系 B 绕坐标系 A 的Z轴旋转30 沿 A X轴平移10个单位 再沿Y轴平移5个单位 已知 求 解 第二章操作臂运动学 操作臂运动学研究的是手臂各连杆间的位移关系 速度关系和加速度关系 本章只讨论静止状态下操作臂连杆位置和姿态 PUMA560机器人 2 1连杆参数与连杆坐标系的建立 1 连杆参数的定义 1 连杆长度ai 1从Zi 1轴到Zi轴的距离 沿Xi 1的方向为正 2 扭角 连杆转角 Zi 1轴绕Xi 1按逆时针方向旋转至与Zi轴平行时所转过的角度 注 平行关节轴为O 3 连杆偏距di从公垂线ai 1与关节轴i的交点到公垂线ai与关节轴i的交点的有向距离 沿Zi的方向为正 4 转角 关节角 Xi 1轴绕Zi按逆时针方向旋转至与Xi轴平行时所转过的角度 当关节i为转动关节时 关节角是一个变量 2 建立连杆坐标系的步骤 第1步 确定坐标系的Z轴以关节轴线作为Z轴 指向任意第2步 确定坐标系的原点以Zi 1轴和Zi的公垂线在Zi 1轴的垂足作为 i 1 的原点Oi 1第3步 确定坐标系的X轴以Zi 1轴和Zi的公垂线作为Xi 1轴其方向 由Zi 1轴指向Zi 如果Zi 1轴和Zi相交 规定X轴垂直于Zi 1轴和Zi所在的平面 第4步 按照右手定则确定坐标系的Y轴注意 当第一个关节变量为0时 规定坐标系 0 和 1 重合 对于坐标系 N 其原点和X轴的方向任选 但通常尽量使连杆参数为0 为了确定机器人各连杆之间相对运动关系 在各连杆上分别固接一个坐标系 与基座固接的坐标系记为 0 与连杆i固接的坐标系记为 i 3 连杆坐标系的建立过程 4 连杆变换 图中有5个坐标系 i 1 R Q P i R 由 i 1 绕x轴旋转 i 1得到 Q 由 R 沿x轴方向平移ai 1得到 P 由 R 绕z轴旋转 i得到 i 由 P 沿z轴方向平移di得到 连杆坐标系 i 相对于 i 1 的变换i 1iT称为连杆变换 连杆变换i 1iT可以看成是坐标系 i 经以下四个子变换得到的 尝试分别写出每步的变换过程 例题 下图为一个平面三杆操作臂 三个关节均为转动关节 称为RRR 3R 机构 尝试建立连杆坐标系和D H参数表 由于该操作臂位于一个平面上 因此所有的轴相互平行 没有连杆偏距 即di都为0 所有关节都是旋转关节 因此但转角都为0时 所有的X轴一定在一条直线上 图中所有关节轴都是平行的 因此所有的都为0 由上题的D H表 计算各个连杆的变换矩阵 PUMA560机器人运动学问题 图 PUMA560机械臂运动参数和坐标系分布 建立PUMA560的连杆参数表如下表所示 连杆参数值 mma2 431 8a3 20 32d2 149 09d4 433 07 PUMA560变换矩阵 将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵 什么是机器人运动学正解 什么是机器人运动学反解 操作臂运动学反解的方法可以分为两类 封闭解和数值解 在进行反解时总是力求得到封闭解 因为封闭解的计算速度快 效率高 便于实时控制 而数值法不具有些特点为 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到 代数解和几何解 一般而言 非零连杆参数越多 到达某一目标的方式也越多 即运动学反解的数目也越多 在从多重解中选择解时 应根据具体情况 在避免碰撞的前提下通常按 最短行程 准则来选择 同时还应当兼顾 多移动小关节 少移动大关节 的原则 4PUMA560机器人运动学反解 反变换法 由于交于一点W 点W在基础坐标系中的位置仅与有关 据此 可先解出 再分离出 并逐一求解 1 求 1 有两个可能的解 反解的多解性 5PUMA560运动学反