山东省聊城市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2设集合a=x|x22x30，b=y|y=ex，xr，则ab=（）a（0，3）b（0，2）c（0，1）d（1，2）3下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）af（x）=x3bf（x）=x1cf（x）=log2xdf（x）=2x4已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面，有如下命题：若l，m，l，m，则；若l，l，=m，则lm；若，l，则l，其中正确命题的个数是（）a3b2c1d05函数的图象的大致形状是（）abcd6利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示在这些用户中，用电量落在区间150，250内的户数为（）a46b48c50d527已知直线ax+y1=0与圆c：（x1）2+（y+a）2=1相交于a，b两点，且abc为等腰直角三角形，则实数a的值为（）ab1c1或1d18将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）a80b120c140d509a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（）a4或1b1c4d4或110已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d9二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11abc中，已知，则cosc=12已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为13执行如图所示的程序框图，若输入的t=1，a=2，则输出的t的值为14记集合a=（x，y）|（x1）2+y21，b=（x，y）|，构成的平面区域分别为m，n，现随机地向m中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入n中的概率为15已知函数f（x）=x33ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）16设abc的内角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知a=，a=bcosc（）求角c的大小；（）如图，在abc的外角acd内取一点p，使pc=2，过点p作pmca于m，pncd于n，设线段pm，pn的长分别为m，n，pcm=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值17如图，某快递公司送货员从公司a处准备开车送货到某单位b处，有acdb，aefb两条路线若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如acd算作两个路段；路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）（）请你为其选择一条由a到b的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（）若记路线aefb中遇到堵车路段的个数为，求的分布列及其数学期望e（）18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90pa=pd=ad=2bc=2，cd=，q是ad的中点，m是棱pc上的点，且pm=3mc（）求证：平面pad底面abcd；（）求二面角mbqc的大小19已知数列an的前n项和是sn，且sn=2ann（nn*）（）证明：数列an+1是等比数列；（）记bn=，求数列bn的前n项和tn20已知函数（）当a=1时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（）求函数f（x）的单调区间21已知椭圆e的中心在坐标原点o，它的长轴长，短轴长分别为2a，2，右焦点f（c，0），直线l：cxa2=0与x轴相交于点a，过点a的直线m与椭圆e交于p，q两点（）求椭圆e的方程；（）若以线段pq为直径的圆过原点o，求直线m的方程；（）设，过点p且平行于直线l的直线与椭圆e相交于另一点m，求证：2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案【解答】解：由=，z在复平面内对应的点的坐标为（），在第三象限角故选：c【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2设集合a=x|x22x30，b=y|y=ex，xr，则ab=（）a（0，3）b（0，2）c（0，1）d（1，2）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出a中不等式的解集确定出a，求出b中y的范围确定出b，找出两集合的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即a=（1，3），由b中y=ex0，得到b=（0，+），则ab=（0，3），故选：a【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）af（x）=x3bf（x）=x1cf（x）=log2xdf（x）=2x【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可【解答】解：af（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件bf（x）f（y）=x1（y1）=（xy）1，f（xy）=（xy）1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立cf（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立df（xy）2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立故选：a【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键比较基础4已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面，有如下命题：若l，m，l，m，则；若l，l，=m，则lm；若，l，则l，其中正确命题的个数是（）a3b2c1d0【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答【解答】解：对于，若l，m，l，m，则与可能相交；故错误；对于，若l，l，=m，满足线面平行的性质定理，故lm；故正确；对于，若，l，如果l，则l；故错误；故选c【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答5函数的图象的大致形状是（）abcd【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案【解答】解：y=当x0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a1，所以是增函数的形状，当x0时，其图象是函数y=ax在y轴左侧的部分，因为a1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，c符合题意故选c【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题6利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示在这些用户中，用电量落在区间150，250内的户数为（）a46b48c50d52【考点】频率分布直方图【专题】计算题；概率与统计【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可【解答】解：这些用户中，用电量落在区间150，250内的频率为1（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.52用电量落在区间150，250内的户数为1000.52=52故选：d【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目7已知直线ax+y1=0与圆c：（x1）2+（y+a）2=1相交于a，b两点，且abc为等腰直角三角形，则实数a的值为（）ab1c1或1d1【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】由题意可得abc是等腰直角三角形，可得圆心c（1，a）到直线ax+y1=0的距离等于rsin45，再利用点到直线的距离公式求得a的值【解答】解：由题意可得abc是等腰直角三角形，圆心c（1，a）到直线ax+y1=0的距离等于rsin45=，再利用点到直线的距离公式可得=，a=1，故选：c【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题8将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）a80b120c140d50【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有c52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有c32a22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列【解答】解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有c52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有c32a22=6种结果，根据分步计数原理知共有106=60，当甲中有三个人时，有c53a22=20种结果共有60+20=80种结果故选a【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素9a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（）a4或1b1c4d4或1【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；压轴题【分析】先利用等差数列通项公式分别表示出a2，a3，a4，进而分别看a1、a2、a3成等比数列，a1、a2、a4成等比数列和a1、a3、a4成等比数列时，利用等比中项的性质，得a22=a1a3和a22=a1a4和a32=a1a4，进而求得a1和d的关系【解答】解：a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d若a1、a2、a3成等比数列，则a22=a1a3（a1+d）2=a1（a1+2d）a12+2a1d+d2=a12+2a1dd2=0d=0 与条件d0矛盾若a1、a2、a4成等比数列，则a22=a1a4（a1+d）2=a1（a1+3d）a12+2a1d+d2=a12+3a1dd2=a1dd0d=a1则=1若a1、a3、a4成等比数列，则a32=a1a4（a1+2d）2=a1（a1+3d）a12+4a1d+4d2=a12+3a1d4d2=a1dd04d=a1则=4若a2、a3、a4成等比数列，则a32=a2a4（a1+2d）2=（a1+d）（a1+3d）a12+4a1d+4d2=a12+4a1d+3d2d2=0d=0 与条件d0矛盾综上所述： =1 或=4故选a【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用10已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosbac=2bc=4，故sabc=x+y+=bcsina=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选b【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算要注意灵活利用y=ax+的形式二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11abc中，已知，则cosc=【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数【专题】计算题【分析】先根据条件判断a、b都是锐角，利用同角三角函数的基本关系求出cosa和sinb 的值，由cosc=cos（a+b）=cosa cosb+sina sinb 运算求得结果【解答】解：abc中，已知，则sinb=，且b为锐角；则有sinbsina，则ba；故a、b都是锐角，且cosa=，sinb=，则cosc=cos（a+b）=cosa cosb+sina sinb=+=，故答案为【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosa和sinb 的值，是解题的关键12已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的焦点坐标，得到双曲线的右焦点为f（4，0），得a2+b2=16，结合双曲线的离心率为2解出a、b之值，即可算出双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为f（4，0），双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f（4，0），可得a2+b2=c2=16，又双曲线的离心率为2，得a=2，从而得出b=2，双曲线的渐近线方程为y=，即y=故答案为：y=【点评】本题给出双曲线与已知抛物线有相同焦点，在已知双曲线的离心率的情况下求其渐近线方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题13执行如图所示的程序框图，若输入的t=1，a=2，则输出的t的值为3【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的t，a的值，当a=8时不满足条件a6，退出循环，输出t的值，由换底公式计算即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得t=1，a=2t=，a=4满足条件a6，t=，a=6满足条件a6，t=，a=8不满足条件a6，退出循环，输出t的值，由于t=3故答案为：3【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了换底公式的应用，属于基础题14记集合a=（x，y）|（x1）2+y21，b=（x，y）|，构成的平面区域分别为m，n，现随机地向m中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入n中的概率为【考点】几何概型【专题】应用题；概率与统计【分析】求出集合a=（x，y）|（x1）2+y21，b=（x，y）|，表示的区域的面积，即可求得豆子落入n中的概率【解答】解：集合a=（x，y）|（x1）2+y21，表示的区域的面积为；b=（x，y）|，表示的区域的面积为=，该豆子落入n中的概率为故答案为：【点评】本题考查概率的计算，正确求出面积是关键15已知函数f（x）=x33ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是（，1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用【分析】求导f（x）=3x26ax=3x（x2a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可【解答】解：f（x）=x33ax2+4，f（x）=3x26ax=3x（x2a）；当a=0时，f（x）=x33ax2+4在r上是增函数，故f（x）存在唯一的零点；当a0时，f（x）=x33ax2+4在（，2a）上是增函数，（2a，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数；而且f（0）=4，f（x）存在唯一的零点；当a0时，f（x）=x33ax2+4在（，0）上是增函数，（0，2a）上是减函数，在（2a，+）上是增函数；而且f（0）=4，故只需使f（2a）=8a312a3+40，解得，a1；综上所述，实数a的取值范围是（，1）【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）16设abc的内角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知a=，a=bcosc（）求角c的大小；（）如图，在abc的外角acd内取一点p，使pc=2，过点p作pmca于m，pncd于n，设线段pm，pn的长分别为m，n，pcm=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（）用正弦定理把a=bcosc化为sina=sinbcosc，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出c的值；（）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x）的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值【解答】解：（）abc中，a=，a=bcosc，sina=sinbcosc，即sin（b+c）=sinbcosc，sinbcosc+cosbsinc=sinbcosc，cosbsinc=0；又b、c（0，），sinc0，cosb=0，b=，c=；（）abc的外角acd=，pc=2，且pmca，pncd，pm=m，pn=n，pcm=x，；m=2sinx，n=2sin（x），f（x）=mn=4sinxsin（x）=4sinx（sincosxcossinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1；x，2x，2x，sin（2x）1，f（x）2+1=3，当2x=，即x=时，f（x）取得最大值3【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目17如图，某快递公司送货员从公司a处准备开车送货到某单位b处，有acdb，aefb两条路线若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如acd算作两个路段；路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）（）请你为其选择一条由a到b的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；（）若记路线aefb中遇到堵车路段的个数为，求的分布列及其数学期望e（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【专题】应用题；概率与统计【分析】（1）由对立事件概率计算公式，分别计算路线aefb途中堵车概率、路线acdb途中堵车概率，由此能求出选择路线路线aefb的途中发生堵车的概率最小（2）由题意，可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望e【解答】解：（1）由已知得：路线aefb途中堵车概率为：1=，路线acdb途中堵车概率为：1=，所以选择路线路线aefb的途中发生堵车的概率最小；由题意，可能取值为0，1，2，3p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=的分布列为 0 1 2 3 pe=0+1+2+3=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查学生的计算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，adc=90pa=pd=ad=2bc=2，cd=，q是ad的中点，m是棱pc上的点，且pm=3mc（）求证：平面pad底面abcd；（）求二面角mbqc的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）连结bq，易得pqad，利用勾股定理可得pqbq，通过面面垂直的判定定理即得结论；（）以q为原点，分别以qa、qb、qp为x、y、z轴建立坐标系如图，通过题意可得q（0，0，0），b（0，0），m（，），则所求二面角即为平面mbq的一个法向量与平面bcq的一个法向量的夹角，计算即可【解答】（）证明：连结bq，四边形abcd是直角梯形，adbc，ad=2bc，q为ad的中点，四边形abdq为平行四边形，又cd=，qb=，pad是边长为2的正三角形，q是ad的中点，pqad，pq=，在pqb中，qb=，pb=，有pq2+bq2=pb2，pqbq，adbq=q，ad、bq平面abcd，pq平面abcd，又pq平面pad，平面pad底面abcd；（）解：由（i）可知能以q为原点，分别以qa、qb、qp为x、y、z轴建立坐标系如图，则q（0，0，0），b（0，0），bc=1，cd=，q是ad的中点，pq=，qc=2，pc=，又pm=3mc，m（，），=（0，0），=（，），设平面mbq的一个法向量为=（x，y，z），由，即，令z=，得=（1，0，），又=（0，0，1）为平面bcq的一个法向量，=，二面角mbqc为【点评】本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题19已知数列an的前n项和是sn，且sn=2ann（nn*）（）证明：数列an+1是等比数列；（）记bn=，求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）由sn=2ann（nn*），可得当n=1时，a1=2a11，解得a1=1；由递推式化为an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1）利用等比数列的定义即可证明；（ii）由（i）可得：an=2n1可得bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】（i）证明：sn=2ann（nn*），当n=1时，a1=2a11，解得a1=1；sn+1=2an+1（n+1），sn+1sn=2an+1（n+1）（2ann），化为an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1），数列an+1是等比数列，首项为2，公比为2；（ii）解：由（i）可得：an=2n1bn=，数列bn的前n项和tn=+=1【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数（）当a=1时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（）求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】分类讨论；导数的综合应用【分析】（）求出当a=1时，f（x）的导数，判断符号，进而得到是否存在极值；（）求出f9x）的导数，对a讨论，当a0时，当a1时，当0a1时，判断导数的符号，求出单调区间，即可得到【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x2lnx，x0，f（x）=1+=0，即有f（x）在（0，+）递增，函数f（x）不存在极值；（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=a（1+）=，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递减；当a0时，x0，f（x）=0和方程ax22x+a=0由相同的实根，=44a2，当0a1时，0，x1=，x2=，且x1x2，x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）递减；x（0，x1）（x2，+）时，f（x）0，f（x）递增当a1时，0，f（x）0，f（x）递增综上可得，当a0时，f（x）的单调减区