【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 5.4平面向量的应用 理 新人教A版.DOCVIP

5.4平面向量的应用2014高考会这样考1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题复习备考要这样做1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用1 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)2 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力f与位移s的数量积即wfs|f|s|cos (为f与s的夹角)3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质难点正本疑点清源1 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2 要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题1 一质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知f1，f2成120角，且f1，f2的大小分别为1和2，则f1与f3所成的角为_答案90解析如图，f3(f1f2)在oacb中，|oa|1，|ac|2，oac60，|oc|，aoc90，即，f1f3.2 平面上有三个点a(2，y)，b，c(x，y)，若，则动点c的轨迹方程为_答案y28x (x0)解析由题意得，又，0，即0，化简得y28x (x0)3 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_答案2 m/s解析如图所示小船在静水中的速度为2 m/s.4 已知a、b是以c为圆心，半径为的圆上的两点，且|，则等于()a b. c0 d.答案a解析|r，acb60，|cosacbcos 60.5 a，b为非零向量，“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析因为f(x)(xab)(xba)(ab)x2(|b|2|a|2)xab.当f(x)为一次函数时，必须满足即故f(x)为一次函数时一定有ab.当ab且|a|b|时，f(x)为常函数，所以“ab”不是“f(x)为一次函数”的充分条件，故选b.题型一应用平面向量的几何意义解题例1平面上的两个向量，满足|a，|b，且，a2b24.向量xy (x，yr)，且a22b221.(1)如果点m为线段ab的中点，求证：；(2)求|的最大值，并求此时四边形oapb面积的最大值思维启迪：对第(1)问，可先求，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点m为线段ab的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定p，o，a，b四点共圆，结论即可得到(1)证明因为点m为线段ab的中点，所以.所以(xy).(2)解设点m为线段ab的中点，则由，知|1.又由(1)及a22b221，得|2|222222a22b21.所以|1.故p，o，a，b四点都在以m为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当op为圆m的直径时，|max2. 这时四边形oapb为矩形，则s四边形oapb|ab2，当且仅当ab时，四边形oapb的面积最大，最大值为2.探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点m为线段ab的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|的最大值问题 在abc所在平面上有一点p，满足，则pab与abc的面积之比是 ()a. b. c. d.答案a解析由已知可得2，p是线段ac的三等分点(靠近点a)，易知spabsabc，即spabsabc13.题型二平面向量在物理计算题中的应用例2质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知f1，f2成60角，且f1，f2的大小分别为2和4，则f3的大小为_答案2解析方法一由已知条件f1f2f30，则f3f1f2，fff2|f1|f2|cos 6028.因此，|f3|2.方法二如图，|2|f1|2|f2|22|f1|f2|cos 6012，则|2|2|2，即of1f2为直角，|f3|22. 如图所示，已知力f与水平方向的夹角为30(斜向上)，f的大小为50 n，f拉着一个重80 n的木块在摩擦因数0.02的水平平面上运动了20 m，问f、摩擦力f所做的功分别为多少？解设木块的位移为s，则fs|f|s|cos 305020500 (j)，f在竖直方向上的分力大小为|f|sin 305025(n)，所以摩擦力f的大小为|f|(8025)0.021.1(n)，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22(j)f，f所做的功分别为500 j，22 j.题型三平面向量与三角函数的交汇例3已知在锐角abc中，两向量p(22sin a，cos asin a)，q(sin acos a,1sin a)，且p与q是共线向量(1)求a的大小；(2)求函数y2sin2bcos取最大值时，b的大小解(1)pq，(22sin a)(1sin a)(cos asin a)(sin acos a)0，sin2a，sin a，abc为锐角三角形，a60.(2)y2sin2bcos2sin2bcos2sin2bcos(2b60)1cos 2bcos(2b60)1cos 2bcos 2bcos 60sin 2bsin 601cos 2bsin 2b1sin(2b30)，当2b3090，即b60时，函数取最大值2.探究提高向量与三角函数的结合往往是简单的组合如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单 abc的三个内角a，b，c所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin c)，n(ac，sin bsin a)，若mn，则角b的大小为_答案解析mn，(ab)(sin bsin a)sin c(ac)0，又，则化简得a2c2b2ac，cos b，0b，b.题型四平面向量与解析几何的综合问题例4已知平面上一定点c(2,0)和直线l：x8，p为该平面上一动点，作pql，垂足为q，且0.(1)求动点p的轨迹方程；(2)若ef为圆n：x2(y1)21的任一条直径，求的最小值解(1)设p(x，y)，则q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点p在椭圆上，其方程为1.(2)因()()()()()2221，p是椭圆1上的任意一点，设p(x0，y0)，则有1，即x16，又n(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y02时，2取得最小值(21)2134，(此时x00)，故的最小值为124.探究提高本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法坐标法在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算 已知圆c：(x3)2(y3)24及点a(1,1)，m是圆c上的任意一点，点n在线段ma的延长线上，且2，求点n的轨迹方程解设m(x0，y0)、n(x，y)由2得(1x0,1y0)2(x1，y1)，点m(x0，y0)在圆c上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求点n的轨迹方程是x2y21.利用平面向量解三角形典例：(12分)已知角a，b，c是abc的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m，n，mn.(1)求角a的大小；(2)若a2，cos b，求b的长审题视角先根据mn，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题规范解答解(1)已知mn，所以mnsin a(cos a1)0，2分即sin acos a1，即sin，4分因为0a，所以a，所以a，所以a.6分(2)在abc中，a，a2，cos b，sin b，由正弦定理知：，9分所以ba，所以b.12分答题模板利用向量解三角形问题的一般步骤为第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答温馨提醒解三角形问题要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，灵活进行变形向量只是题目的载体，三角形中的条件及转化才是解题关键.方法与技巧1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系4解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题失误与防范1注意向量夹角和三角形内角的关系：两者并不等价2注意向量的共线和直线平行的关系3构造向量解题：要根据题目需要灵活构造向量a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 在abc中，已知向量与满足0且，则abc为()a等边三角形 b直角三角形c等腰非等边三角形 d三边均不相等的三角形答案a解析因为非零向量与满足0，所以bac的平分线垂直于bc，所以abac.又cosbac，所以bac.所以abc为等边三角形2 已知|a|2|b|，|b|0且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 ()a b c. d.答案d解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|b|cos 0，cos ，又0，.3 已知p是abc所在平面内一点，若，其中r，则点p一定在()aabc的内部 bac边所在直线上cab边所在直线上 dbc边所在直线上答案b解析由题意知：，即，即与共线，点p在ac边所在直线上4已知点a(2,0)、b(3,0)，动点p(x，y)满足x2，则点p的轨迹是()a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线答案d解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.二、填空题(每小题5分，共15分)5 在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若1，那么c_.答案解析由题意知2，即()22c|.6 已知在平面直角坐标系中，o(0,0)，m(1,1)，n(0,1)，q(2,3)，动点p(x，y)满足不等式01,01，则z的最大值为_答案3解析(x，y)，(1,1)，(0,1)，xy，y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识，当x0，y1时，zmax3.7 已知在abc中，a，b，ab0，sabc，|a|3，|b|5，则bac_.答案150解析0，bac为钝角，又sabc|a|b|sinbac.sinbac，bac150.三、解答题(共22分)8 (10分)已知abc中，c是直角，cacb，d是cb的中点，e是ab上一点，且ae2eb，求证：adce.证明建立如图所示的直角坐标系，设a(a,0)，则b(0，a)，e(x，y)d是bc的中点，d.又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得x，ya.(a,0)，(a)aa2a20.，即adce.9 (12分)已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，c(1,0)(1)若x，求向量a与c的夹角；(2)当x时，求函数f(x)2ab1的最大值，并求此时x的值解(1)设a与c的夹角为，当x时，a，cos .0，.(2)f(x)2(cos2xsin xcos x)1sin 2xcos 2xsin.又x，2x.当2x，即x时，f(x)的最大值为1.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 平面上o，a，b三点不共线，设a，b，则oab的面积等于()a.b.c.d.答案c解析设aob，那么cos ，则sin ，那么oab的面积s|a|b|sin |a|b|.2. 如图，abc的外接圆的圆心为o，ab2，ac3，bc，则等于()a. b.c2 d3答案b解析()，因为oaob，所以在上的投影为|，所以|2，同理|，故2.3 已知向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在abc中，mn，m3n，d为bc边的中点，则|等于 ()a1 b2 c3 d4答案a解析由题意知：|2m2n|mn|1.二、填空题(每小题5分，共15分)4. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yr，则xy的最大值是_答案2解析依题意