【步步高】（广东专用）高考数学二轮复习 专题训练六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 理.docVIP

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf|pm|，点f不在直线l上，pml于m标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e(e1)e1准线x渐近线yx热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1若椭圆c：1的焦点为f1，f2，点p在椭圆c上，且|pf2|4则f1pf2等于()a30 b60 c120 d150(2)已知抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线x2y2的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点p到x轴的距离为m，p到直线l：2xy40的距离为n，则mn的最小值为_思维启迪(1)pf1f2中利用余弦定理求f1pf2；(2)根据抛物线定义得m|pf|1.再利用数形结合求最值答案(1)c(2)1解析(1)由题意得a3，c，所以|pf1|2.在f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf1.又因为cosf2pf1(0，180)，所以f2pf1120.(2)易知x22py(p0)的焦点为f(0,1)，故p2，因此抛物线方程为x24y.根据抛物线的定义可知m|pf|1，设|ph|n(h为点p到直线l所作垂线的垂足)，因此mn|pf|1|ph|.易知当f，p，h三点共线时mn最小，因此其最小值为|fh|111.思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|pf1|pf2|f1f2|，双曲线的定义中要求|pf1|pf2|f1f2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，画出合理草图(1)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a，b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为()ay29xby26xcy23xdy2x答案(1)d(2)c解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.(2)如图，分别过a，b作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知，|af|aa1|，|bf|bb1|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，bcb130，a1af60.连接a1f，则a1af为等边三角形，过f作ff1aa1于f1，则f1为aa1的中点，设l交x轴于n，则|nf|a1f1|aa1|af|，即p，抛物线方程为y23x，故选c.热点二圆锥曲线的几何性质例2(1)已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点f1，f2，p是两曲线的一个公共点，若f1pf2，则e等于()a. b. c. d3(2)设f1，f2分别是椭圆1 (ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点p，使线段pf1的中垂线过点f2，则椭圆的离心率的取值范围是()a. b.c. d.思维启迪(1)在f1f2p中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点p坐标为(，y)，考察y存在的条件答案(1)c(2)d解析(1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|pf1|m，|pf2|n，且不妨设mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又f1pf2，4c2m2n2mna3a，4，即4，解得e，故选c.(2)设p，线段f1p的中点q的坐标为，当存在时，则，由1，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当不存在时，b22c20，y0，此时f2为中点，即c2c，得e，综上，得e0，b0)的右焦点为f，以of为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点a、b，若()0，则双曲线的离心率e为()a2 b3 c. d.(2)(2014课标全国)已知f为双曲线c：x2my23m(m0)的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为()a. b3 c.m d3m答案(1)c(2)a解析(1)设of的中点为c，则2，由题意得，20，acof，aoaf，又oaf90，aof45，即双曲线的渐近线的倾斜角为45，tan 451，则双曲线的离心率e ，故选c.(2)双曲线c的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为y xx，即yx，不妨选取右焦点f(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.故选a.热点三直线与圆锥曲线例3过椭圆1(ab0)的左顶点a作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为b，与y轴的交点为c，已知.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点p，且与直线x4相交于点q，若x轴上存在一定点m(1,0)，使得pmqm，求椭圆的方程思维启迪(1)根据和点b在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线ykxm与椭圆方程，利用0，0求解解(1)a(a,0)，设直线方程为y2(xa)，b(x1，y1)，令x0，则y2a，c(0,2a)，(x1a，y1)，(x1,2ay1)，x1a(x1)，y1(2ay1)，整理得x1a，y1a，点b在椭圆上，()2()21，即1e2，e.(2)，可设b23t，a24t，椭圆的方程为3x24y212t0，由，得(34k2)x28kmx4m212t0，动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点p，0，即64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，设p(x1，y1)则有x1，y1kx1m，p(，)，又m(1,0)，q(4,4km)，x轴上存在一定点m(1,0)，使得pmqm，(1，)(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.椭圆的方程为1.思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，解方程组或利用弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解在平面直角坐标系xoy中，动点p到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点p的轨迹为曲线c，直线l过点e(1,0)且与曲线c交于a，b两点(1)求曲线c的轨迹方程；(2)求aob面积的最大值解(1)由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以(，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线c的方程为y21.(2)因为直线l过点e(1,0)，可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)，则整理得(m24)y22my30.由(2m)212(m24)0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)解得y1，y2.则|y2y1|.因为saob|oe|y2y1|.设g(t)t，t，t.则g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t).所以saob，当且仅当m0时取等号所以saob的最大值为.1对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础2椭圆、双曲线的方程形式上可统一为ax2by21，其中a、b是不等的常数，ab0时，表示焦点在y轴上的椭圆；ba0时，表示焦点在x轴上的椭圆；ab0)的焦点弦，f为抛物线的焦点，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|ab|x1x2p(为弦ab的倾斜角)；(3)saob；(4)为定值；(5)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切真题感悟1(2013广东)已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3,0)，离心率等于，则c的方程是()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由题意知：c3，e，a2.b2c2a2945，故所求双曲线方程为1.2(2014辽宁)已知点a(2,3)在抛物线c：y22px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为()a. b.c. d.答案d解析抛物线y22px的准线为直线x，而点a(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而c：y28x，焦点为f(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点b的坐标为(8,8)，所以直线bf的斜率为.押题精练1已知抛物线y22px的焦点f与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为k，点a在抛物线上且|ak|af|，则afk的面积为()a4 b8c16 d32答案d解析f(，0)，双曲线1的右焦点为(4,0)，4，p8，抛物线方程为y216x，k(4,0)，设a(x，y)，|ak|af|(x4)2y22(x4)22y2，解得x2y224x160，与y216x联立，解得x4，y8，afk的面积为32.2设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为a、b，点p在椭圆上且异于a、b两点，o为坐标原点(1)若直线ap与bp的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|ap|oa|，证明：直线op的斜率k满足|k|.(1)解设点p的坐标为(x0，y0)，y00.由题意，有1.由a(a,0)，b(a,0)，得kap，kbp.由kap kbp，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)证明方法一依题意，直线op的方程为ykx，设点p的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理，得x，由|ap|oa|，a(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.方法二依题意，直线op的方程为ykx，可设点p的坐标为(x0，kx0)由点p在椭圆上，有1.因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2.由|ap|oa|及a(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)3，所以|k|.(推荐时间：60分钟)一、选择题1已知椭圆1(0b0，b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为()a2或 b.或c2或 d.或答案a解析由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30或60，则或.则e 或2.故选a.3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，可设双曲线的方程为x2(0)因为双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以f(6,0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1.故选b.4已知椭圆1 (ab0)，a(4,0)为长轴的一个端点，弦bc过椭圆的中心o，且0，|2|，则其焦距为()a. b.c. d.答案c解析由题意，可知|，且a4，又|2|，所以，|2|.故|.又0，所以.故oac为等腰直角三角形，|2.不妨设点c在第一象限，则点c的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得1，解得b2.所以c2a2b242，c.故其焦距为2c.5设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为()a. b. c. d.答案d解析由已知得焦点坐标为f(，0)，因此直线ab的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程，化简得4y212y90，则ya，b，故|yayb|6.因此soab|of|yayb|6.方法二联立方程得x2x0，则xa，xb，故xaxb.根据抛物线的定义有|ab|xaxbp12，同时原点到直线ab的距离为h，因此soab|ab|h.6椭圆m：1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，p为椭圆m上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆m的离心率e的取值范围是()a， b，c(，1) d，1)答案b解析设p(x，y)，f1(c,0)，f2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2.又x2y2可看作p(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选b.二、填空题7.已知双曲线c的焦点、实轴端点恰好是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线c的渐近线方程是_答案4x3y0解析椭圆1的长轴端点为(5,0)、焦点为(3,0)，所以双曲线的焦点为(5,0)，实轴端点为(3,0)，设双曲线的方程为1，即c5，a3，b4，所以渐近线方程为：yx，即4x3y0.8已知点p(0,2)，抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，线段pf与抛物线c的交点为m，过m作抛物线准线的垂线，垂足为q，若pqf90，则p_.答案解析由抛物线的定义可得|mq|mf|，f(，0)，又pqqf，故m为线段pf的中点，所以m(，1)，把m(，1)，代入抛物线y22px(p0)得，12p，解得p，故答案为.9抛物线c的顶点在原点，焦点f与双曲线1的右焦点重合，过点p(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线c交于a，b两点，则弦ab的中点到抛物线准线的距离为_答案11解析因为双曲线1的右焦点坐标是(3,0)所以3，所以p6.即抛物线的标准方程为y212x.设过点p(2,0)且斜率为1的直线l的方程为yx2，联立y212x消去y可得x216x40，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1,282，则x1x216，所以弦ab的中点到抛物线准线的距离为11.故填11.10已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，点p在双曲线上且不与顶点重合，过f2作f1pf2的角平分线的垂线，垂足为a.若|oa| b，则该双曲线的离心率为_答案解析延长f2a交pf1于b点，则|pb|pf2|，依题意可得|bf1|pf1|pf2|2a.又因为点a是bf2的中点所以得到|oa|bf1|，所以ba.所以ca.所以离心率为.三、解答题11已知曲线c上的动点p(x，y)满足到定点a(1,0)的距离与到定点b(1,0)的距离之比为.(1)求曲线c的方程；(2)过点m(1,2)的直线l与曲线c交于两点m、n，若|mn|4，求直线l的方程解(1)由题意得|pa|pb|故化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以|mn|4，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxk2，由圆心到直线的距离d2，解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.12如图，在平面直角坐标系xoy中，点p(a，b)(ab0)为动点，f1，f2分别为椭圆1的左，右焦点已知f1pf2为等腰三角形(1