【步步高】（江苏专用）高考数学二轮专题突破 专题一 第5讲 导数及其应用 文(1).docVIP

第5讲导数及其应用【高考考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题1 导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2 导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性3 函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值4 四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)cos x.(2)(cos x)sin x.(3)(ax)axln a(a0，且a1)(4)(logax)(a0，且a1)(5)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(6)(g(x)0).考点一导数几何意义的应用例1(1)过点(1,0)作曲线yex的切线，则切线方程为_(2)(2013南京模拟)在平面直角坐标系xoy中，设a是曲线c1：yax31(a0)与曲线c2：x2y2的一个公共点，若c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，则实数a的值是_答案(1)e2xye20(2)4解析(1)设切点为p(x0，ex0)，则切线斜率为ex0，切线方程为yex0ex0(xx0)，又切线经过点(1,0)，所以ex0ex0(1x0)，解得x02，切线方程为ye2e2(x2)，即e2xye20.(2)设a(x0，y0)，则c1在a处的切线的斜率为f(x0)3ax，c2在a处的切线的斜率为，又c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，所以()3ax1，即y03ax，又axy01，所以y0，代入c2：x2y2，得x0，将x0，y0代入yax31(a0)，得a4. (1)求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异，过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上，而在点p处的切线，必以点p为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 (1)直线ykxb与曲线yax22ln x相切于点p(1,4)，则b的值为_(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_.答案(1)1(2)2解析(1)由点p(1,4)在曲线上，可得a122ln 14，解得a2，故y2x22ln x所以y4x.所以曲线在点p处的切线斜率ky|x1415.所以切线的方程为y5xb.由点p在切线上，得451b，解得b1.(2)f(x)sin xxcos x，f()1，即函数f(x)xsin x1在点x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以()11，解得a2.考点二利用导数研究函数的性质例2(2013广东)设函数f(x)x3kx2x(kr)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0，f(x)在r上单调递增(2)当k0时，f(x)3x22kx1，其图象开口向上，对称轴x，且过(0,1)点当4k2124(k)(k)0，即k0，即k时，令f(x)0得x1，x2，且kx2x10，mf(k)k，又f(x2)f(k)xkxx2(k3kk2k)(x2k)(x2k)2k210，mf(k)2k3k.综上，当k0或f(x)1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为6xy80.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题例3(2013陕西)已知函数f(x)ex，xr.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较f与的大小，并说明理由 本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方面的应用，构造函数是解决问题的关键(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x, 设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1.于是在点(1,0)处的切线方程为xy10.(2)证明方法一曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增，(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在r上的最小值为(0)0.(x)0(当且仅当x0时等号成立)，(x)在r上是单调递增的，(x)在r上有唯一的零点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点方法二ex0，x2x10，曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于曲线y与y1公共点的个数，设(x)，则(0)1，即当x0时，两曲线有公共点又(x)0(当且仅当x0时等号成立)，(x)在r上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点(3)解feee(ba)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex2220，u(x)0(当且仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令x，则得ee(ba)0，f. 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考 (2012湖南)已知函数f(x)exax，其中a0.(1)若对一切xr，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)(x1x2)，记直线ab的斜率为k，证明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立(1)解f(x)exa.令f(x)0得xln a.当xln a时，f(x)ln a时，f(x)0，f(x)增调递增故当xln a时，f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是对一切xr，f(x)1恒成立，当且仅当aaln a1.令g(t)ttln t，则g(t)ln t.当0t0，g(t)单调递增当t1时，g(t)0，g(t)单调递减故当t1时，g(t)取最大值g(1)1.因此，当且仅当a1时，式成立综上所述，a的取值集合为1(2)证明由题意知，ka.令(x)f(x)kex，则(x1)ex2x1(x2x1)1，(x2)ex1x2(x1x2)1令f(t)ett1，则f(t)et1.当t0时，f(t)0时，f(t)0，f(t)单调递增故当t0时，f(t)f(0)0，即ett10.从而ex2x1(x2x1)10，ex1x2(x1x2)10.又0，0，所以(x1)0.因为函数y(x)在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立1 函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f(x)0的必要不充分条件2 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.1 已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.2 设函数f(x)x2axln x(ar)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)当a2时，讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意a(2,3)及任意x1，x21,2，恒有maln 2|f(x1)f(x2)|成立，求实数m的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1.令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)极小值f(1)1，无极大值(2)f(x)(1a)xa.当1，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数；当2时，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1，a2时，f(x)在(0，)和(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增(3)由(2)知，当a(2,3)时，f(x)在1,2上单调递减，当x1时，f(x)有最大值，当x2时，f(x)有最小值|f(x1)f(x2)|f(1)f(2)ln 2，maln 2ln 2.而a0经整理得m，由2a3得0，m0.(推荐时间：60分钟)一、填空题1 (2012辽宁改编)函数yx2ln x的单调递减区间为_答案(0,1解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得00)，所以切线斜率为k，所以切线方程为yln x0(xx0)由已知直线ykx是yln x的切线，得0ln x0(0x0)，即x0e，k.3 已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是_当x时，函数f(x)取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时，函数f(x)取得极小值；当x1时，函数f(x)取得极大值答案解析从图象上可以看到，当x(，1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值故只有不正确4 (2012大纲全国改编)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.答案2或2解析利用导数求解y3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)yyc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.5 已知函数f(x) (xr)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则f(x)1解析(x)f(x)，则(x)f(x)0，(x)在r上是减函数(1)f(1)110，(x)f(x)16 设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2(其中xr，a，b为常数)已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l，则a，b的值分别为_答案2,5解析f(x)3x24axb，g(x)2x3，由于曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)g(2)0，f(2)g(2)1，由此解得a2，b5.7 设ar，若函数yexax，xr有大于零的极值点，则a的取值范围为_答案(，1)解析yexa，又函数yexax在xr上有大于零的极值点，即yexa0有正根当exa0时，exa，a1，即a1.8 已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.9 (2013安徽改编)若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是_答案3解析f(x)3x22axb，由已知得x1x2，且若x1x2，如图，同理得方程3(f(x)22af(x)b0有三个不同实根10(2013湖北改编)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案(0，)解析f(x)(ln xax)x(a)ln x12ax(x0)令f(x)0得2a，设(x)，则(x)易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如右图若f(x)有两个极值点，则y2a和y(x)图象有两个交点，02a1，0a0恒成立且x2系数为正，f(x)在r上单调等价于x2(a2)xa20恒成立(a2)24(a2)0，2a2，即a的取值范围是2,2(3)当a时，f(x)ex，f(x)ex，令f(x)0，得x或x1，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x0)当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)只有一个单调递增区间(0，)，没有最值当a0时，f(x)(x0)，若0x，则f(x)，则f(x)0，f(x)在(，)