【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题四 第三讲推理与证明.DOCVIP

第三讲推理与证明(1)归纳推理的一般步骤：通过观察某些个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(3)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，要求逐步推理，实际上是寻找它的必要条件(4)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止(5)适合用反证法证明的四类数学命题：唯一性命题；结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题；否定性命题；直接证明较繁琐或困难的命题(6)数学归纳法数学归纳法证明的步骤证明当n取第一个值n0(n0n*)时结论成立；假设nk(kn*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立由可知，对任意nn0，且nn*时，结论都成立1 (2013福建)设s，t是r的两个非空子集，如果存在一个从s到t的函数yf(x)满足：(1)tf(x)|xs；(2)对任意x1，x2s，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是()aan*，bnbax|1x3，bx|x8或0x10cax|0x1，brdaz，bq答案d解析对于a，取f(x)x1，满足题意对于b，取f(x)对于c，取f(x)tan(x)，满足题意排除法，选d.2 (2013陕西)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.3 (2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为n(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数n(n,3)n2n，正方形数 n(n,4)n2，五边形数 n(n,5)n2n，六边形数 n(n,6)2n2n可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24)_.答案1 000解析由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，n(n，k)n2n，n(10,24)100101 1001001 000.4(2012陕西)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析归纳观察法观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列第五个不等式为1b0)外，则过p0作椭圆的两条切线的切点为p1，p2，则切点弦p1p2所在直线方程是1.那么对于双曲线则有如下命题：若p0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，则过p0作双曲线的两条切线的切点为p1，p2，则切点弦p1p2所在的直线方程是_审题破题(1)先求数列an的前几项，归纳项的规律，作出猜想；(2)双曲线和椭圆方程相比，形式类似，只要注意到椭圆的切线方程中x2，y2分别换成了x0x，y0y即可答案(1)an(2)1解析(1)a10，当n1时，f1(x)|sin(xa1)|sin x|，x0，a2，又对任意的b0,1)，f1(x)b总有两个不同的根，a2；f2(x)，x，a3，对任意的b0,1)，f2(x)b总有两个不同的根，a33；f3(x)，x3，a4，对任意的b0,1)，f3(x)b总有两个不同的根，a46.由此可得an1ann，an.(2)对于椭圆1，切点弦p1p2所在直线方程1，x2xx0，y2yy0.类比，双曲线1的切点弦p1p2所在直线方程为1.反思归纳应用合情推理应注意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性变式训练1(1)若从点o所作的两条射线om、on上分别有点m1、m2与点n1、n2，则三角形面积之比.如图，若从点o所作的不在同一平面内的三条射线op、oq和or上分别有点p1、p2，点q1、q2和点r1、r2，则类似的结论为_答案解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥p1or1q1及三棱锥p2or2q2的底面面积之比为，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为.(2)已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb (mn，m、nn*)，则amn；现已知等比数列bn (b0，nn*)，bma，bnb (mn，m、nn*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案 解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的 ，故bmn .题型二直接证明与间接证明例2设实数数列an的前n项和sn满足sn1an1sn (nn*)(1)若a1，s2，2a2成等比数列，求s2和a3；(2)求证：对k3有0ak1ak.审题破题(1)根据s2a1a2及s2a2a1从方程的角度求出s2.再由s3a3s2s2a3，求出a3.(2)根据sn1an1sn (nn*)的关系，寻找an1与an的递推关系，再用不等式放缩法、分析法、反证法的思想方法求解(1)解由题意得s2s2，由s2是等比中项知s20.因此s22.由s2a3s3a3s2解得a3.(2)证明由题设条件有snan1an1sn，故sn1，an11且an1，sn，从而对k3有ak.因aak1120且a0，由得ak0.要证ak，由只要证，即证3a4(aak11)，即(ak12)20，此式明显成立因此ak(k3)最后证ak1ak，若不然ak1ak，又因ak0，故1，即(ak1)20.矛盾因此ak1ak (k3)综上，当k3时有0ak1ak.反思归纳综合法与分析法是直接证明中的“姊妹证明”方法通常情况下，运用分析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，然后运用综合法正确推理书写在进行立体几何证明中，我们常从结论出发寻找问题的突破口，但在逆推时也可能碰到障碍，这时再从已知出发顺推找寻中间细节，问题即可得以解决当然，若所证命题从正面难以入手时，不妨使用反证法变式训练2(2013陕西)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列(1)解设an的前n项和为sn，当q1时，sna1a1a1na1；当q1时，sna1a1qa1q2a1qn1.qsna1qa1q2a1q3a1qn，得，(1q)sna1a1qn，sn，sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kn*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列题型三数学归纳法例3已知数列an满足关系式an12，nn*，且a12.(1)求a2，a3，a4；(2)求证：1an1；(3)求证：10.下面用数学归纳法证明：当n1时，a12满足1a11，成立假设当nk (kn*)时，1ak21.ak122.下面用分析法证明：21.欲证21，只需证k1(1)，只需证(k1)20，此式显然成立所以21成立从而ak1221.由可知，对一切kn*，1an1成立(3)证明由(2)知，而，2()，所以2()，所以()()2()2()，所以12()反思归纳在递推数列问题中，如果给出的是形如an1f(an)的递推式，则可以考虑用数学归纳法进行证明，这是因为在设出ak满足的结论后，可以根据an1f(an)得到ak1满足的结论在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明nk1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法，也可以再次使用数学归纳法变式训练3已知f(n)1，g(n)，nn*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明：当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kn*)时，不等式成立，即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)0 (nn*)，试类比等差数列求和的方法，可将tn表示成首项b1、末项bn与项数n的一个关系式，即公式tn_.解析利用等比数列的性质：若mnpq，则bmbnbpbq，利用倒序求积方法有两式相乘得t(b1bn)n，即tn(b1bn) .答案(b1bn)得分技巧合情推理的关键是寻求规律，明确已知结论的性质或特征高考中此类问题的指向性很强，要得到正确结论的归纳或类比阅卷老师提醒(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性1 已知数列an的前n项和snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()a. b.c. d.答案b解析ansnsn1n2an(n1)2an1，(n1)2an1(n1)(n1)an.anan1.由a11知：a2，a3.猜想an，故选b.2 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()aan3n1 ban3ncan3n2n dan3n12n3答案a解析a11，a23，a39，a427，故猜an3n1.3 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()a设数列an的前n项和为sn，由an2n1，求出s112，s222，s332，推断：snn2b由f(x)xcos x满足f(x)f(x)对任意xr都成立，推断：f(x)xcos x为奇函数c由圆x2y2r2的面积sr2，推断：椭圆1(ab0)的面积sabd由(11)221，(21)222，(31)223，推断：对一切nn*，(n1)22n答案a解析注意到，选项a由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前n项和等于snn2，选项d中的推理属于归纳推理，但结论不正确因此选a.4 设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r等于()a. b.c. d.答案c解析本题考查类比推理，用体积分割的方法，可以得出r.5 观察等式：，根据以上规律，第四个等式为_答案6 设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，_，_，成等比数列答案解析等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，成等比数列专题限时规范训练一、选择题1 观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 014的末两位数字为()a01 b43 c07 d49答案d解析因为717,7249,73343,742 401,7516 807,76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期t4.又因为2 01445032，所以72 014的末两位数字与72的末两位数字相同，故选d.2 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：()1*1=1,()(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于()an bn1 cn1 dn2答案a解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*1213 定义a*b，b*c，c*d，d*a的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中的(a)(b)所对应的运算结果可能是()ab*d，a*d bb*d，a*ccb*c，a*d dc*d，a*d答案b解析由(1)(2)(3)(4)图得a表示|，b表示，c表示，d表示，故图(a)(b)表示b*d和a*c.4 已知数列：，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a2 013满足()a0a2 013 b.a2 01310答案a解析数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，由上规律知a2 013.5 给出若干数字按如图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数m，则这个数m是()a2 01222 009b2 01122 010c2 01022 011d2 01022 007答案a解析第一行公差为1；第二行公差为2；第2 010行公差为22 009，第2 011行只有m，发现规律，得m(12 011)22 009.或从第一行为1,2,3及1,2,3,4,5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为(31)21及(51)23，猜一般规律为(n1)2n2.6 设a，b，c，dr，若adbc且|ad|bc|，则有()aadbc badbc dadbc答案c解析|ad|bc|(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，又adbc(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，4adbc.7 已知ab0，且ab1，若0cq bpab1，plogclogclogc0，qp.8 已知定义在r上的函数f(x)，g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列 (nn*)的前n项和等于，则n等于()a4 b5 c6 d7答案b解析令h(x)，则h(x)0，故函数h(x)为减函数，即0a1.再根据，得a，解得a2(舍去)或者a.所以n，数列的前n项和是1，由于1，所以n5.二、填空题9观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析第n个等式是首项为n，公差为1，项数为2n1的等差数列，即n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.10若数列an的通项公式an，记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)_.答案解析f(1)2(1a1)，f(2)2(1a1)(1a2)2，f(3)2(1a1)(1a2)(1a3)2，可猜测f(n).11二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)sr2，观察发现sl；三维空间中球的二维测度(表面积)s4r2，三维测度(体积)vr3，观察发现vs.则四维空间中“超球”的四维测度w2r4，猜想其三维测度v_.答案8r3解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即vw(2r4)8r3.12函数f(x)的定义域为a，若x1，x2a，且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如f(x)2x1 (xr)是单函数，下列命题：函数f(x)x2 (xr)是单函数；指数函数f(x)2x (xr)是单函数，若f(x)为单函数，x1，x2a且x1x2，则f(x1)f(x2)；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)答案解析由xx，未必有x1x2，故不正确；对于f(x)2x，当f(x1)f(x2)时一定有x1x2，故正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)f(x2)x1x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1x2f(x1)f(x2)为真命题，故正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)f(x2)x1x2，故正确三、解答题13(2012福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论