【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题15 解决解析几何中的综合问题.docVIP

专题十五 解决解析几何中的综合问题 【典题导引】例1. 如图，已知是椭圆的右焦点；与轴交于两点，其中是椭圆的左焦点（1）求椭圆的离心率；（2）设圆与轴的正半轴的交点为，点与点关于轴对称，试判断直线与圆的位置关系；xyoefbdfedbxyoag例1图（3）设直线与椭圆交于另一点，若的面积为，求椭圆的标准方程解：(1)圆过椭圆的左焦点，把代入圆的方程，得，故椭圆的离心率；(2) 在方程中令得，可知点为椭圆的上顶点，由(1)知，故，故，在圆的方程中令可得点坐标为，则点为，于是可得直线的斜率，而直线的斜率，,直线与相切；（3）椭圆的方程可化为,由（2）知切线的方程为，解方程组得点的坐标为，而点到直线的距离，由 解得，椭圆的标准方程为.例2. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆交于点、（1）若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右准线于点，求的值；（2）当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，证明：点在定直线上（1）解：设，则解得椭圆的方程为.则直线的方程为，令，可得，联立得，;（2）证明：设，则直线的方程为，令，可得，由可知，整理得，又，联立解得，点在定直线上例3. 在平面直角坐标系中，设椭圆的中心在坐标原点，一条准线方程为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设四边形是矩形,且四条边都与椭圆相切求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；求矩形面积的取值范围解：(1) 椭圆的中心在坐标原点,一条准线方程为有,椭圆的焦点在轴上,于是可设椭圆的方程为.椭圆经过点, 解得故椭圆的方程为；(2)由题意知,矩形是椭圆的外切矩形,(i)若矩形的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去得,于是,化简得.矩形的一组对边所在直线的方程为,即, 则另一组对边所在直线的方程为,于是矩形顶点坐标满足,即,亦即.(ii)若矩形的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足.故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上.当矩形的边与坐标轴不平行时,由知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是矩形的一条边长为,另一条边长为.,令,则,于是.若矩形的边与坐标轴平行,则，故的取值范围是.例4. 设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点设的斜率为，的斜率例4图为，求证：为定值（1）解：圆的方程为，直线与圆相切，即，又，椭圆的方程为：；（2）解：由题意可得：，圆的半径， 的面积为；（3）证明：由题意可知，的斜率为，直线的方程为，由得，其中，则直线的方程为，令，则， 即，直线的方程为，由解得，的斜率 ，（定值）【归类总结】1解析几何中定点定值问题的求解策略：（1）从一般的情形进行论证（2）运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值或点，再论证该特殊值或点对一般情形也成立2解析几何中求最值或求范围问题常见的解法有两种：（1）几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法（2）代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法3探究解析几何