解析几何_第四版_课后答案(吕林根_许子道)(第一章—第五章)(免费交流).pdf

第 1 章 矢量与坐标 第 1 章 矢量与坐标 1 1 矢量的概念矢量的概念 1 下列情形中的矢量终点各构成什么图形 1 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点 2 把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点 3 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点 4 把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点 解 1 单位球面 2 单位圆 3 直线 4 相距为 2 的两点 2 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 在矢量OA OB OC OD OE OF AB BC CD DE EF 和FA中 哪些矢量是相等的 解 如图 1 1 在正六边形 ABCDEF 中 相等的矢量对是 图 1 1 A F B E C O DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和 和 和 和 和 3 设在平面上给了一个四边形 ABCD 点 K L M N 分别是边 的中点 求证 KL NM 当 ABCD 是空间四边形时 这等式是否也成立 证明 如图 1 2 连结 AC 则在 BAC 中 KL 2 1 AC KL与AC方向相同 在 DAC 中 NM 2 1 AC NM与AC方向相同 从而 KL NM 且KL与NM方向相同 所以KL NM 4 如图 1 3 设 ABCD EFGH 是一个平行六面 体 在下列各对矢量中 找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量 1 AB CD 2 AE CG 3 AC EG 4 AD GF CH BE 5 解 相等的矢量对是 2 3 和 5 互为反矢量的矢量对是 1 和 4 1 3 数量乘矢量数量乘矢量 图 1 3 D E ba 应满足什么条件 1 要使矢量下列各式成立 baba baba 2 1 bab baba 4 a 3 5 bba a 解 baba ba的直垂直时有 所在线 1 baba ba 2 同向时有 baba b且 3 ba 有a 反向时 ba 反向时有 4 baba 5 ba 时有 baba ba 同向 且 AL BM CN2 设 L M N 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 的中点 证明 三中线矢量 可 以构成一个三角形 证明 2 1 ACABAL 2 1 BCBABM 2 1 CBCACN 0 1 2 CBA 从而三中线矢量 CBCBAACABCNBMAL CNBMAL 构成一个三角形 N 是 ABC 的三边的中点 O 是任意一点 证明 3 设 L M OBOA OC OL OM ON LAOLOA 证明 MBOMOB NCONOC LAOCOBOA NCMBONOMOL ONOMOL CNBMAL 由上题结论知 0 CNBMAL ONOMOLOCOBOA 4 用矢量法证明 平行四边行的对角线互相平分 证明 如图 1 4 在平行四边形 ABCD 中 O 是对角线 AC BD 的交点 但 OBODOCOA OBOCOAOD BCAD OBOCBC OAODAD 图 1 4 OCOA AC ODOB BD不平行于BD而AC 由于 0 OBODOCOA 从而 OA OC OB OD M行四边形 ABCD 的中心 O 是任意一点 证明 5 如图 1 5 设是平 OA OB OC OD 4OM OM 证明 因为 2 1 OA OC OM 图 1 5 2 1 OB OD 所以 2OM 2 1 OA OC ODOB 所以 OA OB OC OD 4OM 6 设点 O 是平面上正多边形 A1A2 An的中心 证明 0 1 OA 2 OA n OA 证明 因为 3 OA 2 OA 1 OA 2 OA 4 OA 3 OA 1 n 1 OAO n A OA n OA 2 A O 1 OA 21 OA OA 所以 2 n OA 1 OA 2 OA n OA 0 1 OA 2 OA n OA所以 2 显然 2 即 2 0 所以 1 OA 2 OA n A 0 O 1 矢量的线性关系与矢量的分解矢量的线性关系与矢量的分解 4 1 设一直线上三点 A B PAP PB 1 O 是空间任意一点 求证 满足 OBOA OP 1 证明 如图 1因 7 为 OPOA AP OBOPPB OA OBOP OP 所以 OA OB OP 1 图 1 7 OBOA OP从而 1 AC 1 2 eABe2 在 ABC 中 设 AT 是角 A 的平 它BCAT分解为 1 e 2 e分线 与交于 T 点 试将 图 1 8 的线性 组合 解 因为 e TC BT 1 1 e 且 BT与TC方向相同 所以 1 e BTTC 2 e 由上题结论有 AT 1 2 e 1 1 e e 2 2 1 e e e 2112 eeee 21 ee 3 用矢量法证明 P ABC充要条件是 图 1 9 是重心的 PC 0 PA PB 证明 P 的重心 则 若为ABC CP 2PAPE P B 从而 PA PB CP 0 即 PA PB PC 0 若 PA PB PC 0 PC CP PA PB则 取 E G 分别为 ABF BC CA 之中点 则有 PE 1 PA 2 PB 从而CP 2PE PG BP 2AP 2PF 故 P同理可 证为 ABC 的重心 4 证明三个矢量a 1 e3 2 e 2 3 e b c 4 1 e 6 2 e 2 3 e 12 2 e 3 1 e 11 3 e共面 其中a能否用b c性示如能表 写出线表示关系式 线表 示性 1 e 2 e 3 e不共面 即它们线性无关 证明 由于矢量 考表式虑达 a b v c 0 即 3 2 e 6 2 e 12 2 e 1 e 2 3 e 4 1 e 2 3 e v 3 1 e 11 3 e 或 4 3v 0 0 1 e 3 6 12v 2 e 2 2 11v 3 e 1 e 2 e 3 e由于线性无关 故有 解得 10 1 v 2 0 所以 01122 0 034 v v v 1263 a 由于 10能用b c 线性表示 b a 5 1 c 1 10 是三个两两不共线的矢量 且OCOBOA OC OA OB5 如图 1 10 试证 A B C 三点共线 证明 B共线 从而有 的充要条件是 1 图 1 10 因为 A C CB AC CB AC且有 1 使m m OC m OB OC OA OBOCOA m 1 m OC m 1 1 OA m m OB 1 但已知OC OA O OBOAB 由OC对 分解的唯一性可得 m 1 1 m m 从而 1 m m m 1 1 1 1 设 1 则有OC OB 1 OB OA OA OB OB OA OC OB OB OA 所以 BC BA BC BA 从而 故 A B C 三点共线 1 5 标架与坐标标架与坐标 1 在空间直角坐标系 O kji 下 求 P 2 3 1 M a b c 关于 的坐标 解 称点坐标为 a b c cx坐标为 a b c b 类似考虑 P 1 即可 2 已知矢量 1 坐标平面 2 坐标轴 3 坐标原点的各个对称点 M a b c 关于 xOy 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 yOz 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 xOz 平面的对 M a b 关于轴平面的对称点 M a b c 关于 y 轴的对称点的坐标为 a b c M a c 关于 z 轴的对称点的坐标为 a b c 2 3 a b c的分量如下 a b 0 2 c 1 2 1 1 0 1 2 4 2 a 1 2 3 b 2 1 0 c 0 5 6 试判别它 c表成a b的线性组合 表示们是否共面能否将若能 写出表示式 解 1 因为 121 420 210 cab 0 所以 三矢量共面 又因为a b的对应坐标成比例 即a b 但ca c成a b的线性组合 故不能将表 321 a b c三矢量共面 012 0 所以 2 因为 650 a b的对应坐标不成比例 即ab又因为 故可以将c表成a b的线性组合 设 亦即 0 5 6 1 2 3 2 1 0 a b c 从而 63 02 02 解得 2 1 b 所以 2a c 3 证明 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点 且这点到顶点的距离是它到对面重 心距把交点坐标表示出来 证明 设四面体 A1A2 4 Ai对面重心为 Gi 欲证 AiGi交于一点 i 2 3 4 在 AiGi上取一点 P 离的三倍 用四面体的顶点坐标 A3A1 31 3 ii OGOA iiP A 3 iiG P 从而 i OP i 使 设 Ai xi yi zi i 1 2 3 4 则 3 3 3 432432432 zzzyyyxxx G1 3 3 3 431431431 zzzyyyxxx G2 G3 3 3 3 421421421 zzzyyyxxx G4 3 3 3 3213 x 32121 zzzyyyxx 所以 P1 31 3 3 432 1 xxx x 31 3 3 432 1 yyy y 31 3 3 432 1 zzz z P1 4 321 xxx 4 x 4 4321 yyyy 4 4321 zzzz P4GP 三倍 矢量在轴上的射影矢量在轴上的射影 同理得 P2 P3 P1 所以 Ai i交于一点 且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的 1 6 的夹角为 且 15010 ABABeABe与射影ABe1 已知矢量与单位矢量 求射影矢量 又如果ee 求射影矢量AB e 与射影AB e ABe 35150 10 cos COSABeAB 解 射影 ABe e35 射影矢量 ABee 30 180 ABee 35 10 s COSAe 30co BAB 射影AB e e AB e 35 射影矢量 2 2 试证明 射影l 1 a 2 a n n a 2 a 2 射影l 1射影l 1 a n a n射影l 证明数学归纳法来证 用 当 n 2 时 有 1 1 a 2 2 a 射影l 22a 射影l 1 1a 射影l 1射影l 1 a 2射影l 2 a 假设当 n k 时等式成立 即有 射影 kka a 11 a l k a l 1 1 l 射影 射影 k 欲证当k 1 时亦然 事实上 影 n 11 射 l 11kk kk a 射影l aa kka a 11 1 k a 1 k kka a 11 射影l 1 k a 1 k 射影l 1 a 影l k a k 1射影l 1 k a k射 1射影l 故等式对自数 1 7 两矢量的数性积两矢量的数性积 1 证明 证明面上如 果 然n 成立 b i m b 在平 1 m 2 m 且a i m i 1 2 则有a 证明 因为 m 12 m c 1 m 2 m 所以 对该平面上任意矢量 a b c b 1 m 2 m a b m1 a 2 m ab a 1 m b b 1 m a 2 m 2 m 0 故 a b c b 0 由的任意性知 c a b a从而 的夹角都是 且 603 2 1 cbaba 与ba 互相垂直 矢量c2 已知矢量计算 22 2 4 3 23 3 2 1 cbacbbabababa 解 1132 52021 2 1 2 22 2 bbaaba 40cos32co32 444 2 4 2 2 6460s1 2 7 6 321 2 2 2 22 2 2 22 2 60cos32660cos 3 98 92 3 3 23 3 ccb ca bbaba 3 用矢量法证明以下各题 1 角余定理 a2 b2c2 2bccosA 三角形边的垂直 平分线共点且这点到各 等距 证明 1 ABC bcabaacba a cbabbcbba 三形的弦 2 各 顶点 图 1 11 1 如图 21 b ACAB 中 设 c BC a 且 a b b b caca 则c b a 2 c 2 b 2 c 2 b 2 c b 2 2 c 2 b c cosA 此即 a b2 c2 2bccosA 2 如图 1 22 设 AB BC边的垂 PE 相交于 为 AB B CA中 设 2 直平分线 PD 图 1 12 P D E FC的点PA a PB b b PCc acABBC 则 b CA a c PD 2 1 ab PE 2 1 c b BC PD AB PE因为 所以 2 1 a b b a 2 1 b 22 a 0 b 2 1 c c b 2 b 2 1 c 2 0 从而有 a b 22 c 即 2 a b 2 2 c 2 所以 1 2 c a a c 1 a 2 c 2 0 2 所以 PF CA 且 a b c 1 证明 故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距 1 8 两矢量的失性积两矢量的失性积 a b 2 a 2 b 2 说在什并明么情形下等号成立 证明 a b 2 a b 2 a 2 b 2sin2 a b a 2 b 2 2 b 2 a sin2 a b 1 从而 sin a b 要使等号成立 必须 1 故 a b b 2 即当a 时 等号成立 2 证明如果a b c 0 那么a b b c c a 并说明它的几何意义 由 证明 a b c 0 有 a b 0 c 0 0 c c但 c c b c于是 a c 0 所以 b c c a 同理 由 a b a b 0 c 有 c aa a b b c c a 从而 其几何意义是以三角形的任二边为邻积相等 3 如 边构成的平行四边形的面 2 r 那么 1 r 2 r 3 r i r i 1 2 3 满足 321 rrr 2 r 3 r 1 r 3 r 1 r果非零矢量是彼此 垂直的单位矢量 并且按这次序构成右手系 证明 由矢性积的定义易知 1 r 2 r 3 它们均为单矢量 r彼此垂直 且构成右手系 下证位 因为 1323 1 r 2 r r r rr 所以 123 r r r 2 r 3 r 1 r 所以 1 r 3 r 2 1 r 由于 图 1 13 1 r 从而0 3 r 1 2 3 r 1 同理可证 21 r 1 r 1 1 r 2 r 3 r从而都是单位矢量 4 用矢量方法证明 1 三角形的正弦定理 Asin a B b sin C c sin 2 三斜求积公式 2 p p a p b p c 式中 p 角形面积的海伦 Heron 公式 即三 2 b 1 a c 是三角形的半周长 为三角形的面积 证明 1 1 C 1 如图3 在AB中 设BC a CA b c AB 且 a a b b c c 则 a b c 0 从而有 b c c aa b 所以 b c c a a b 于是 bcsinA casinB absinC a sin A Bsin b Cin c s 2 同上题图 ABC 的面积为 b 2 1 a 所以 2 4 1 ab 2 因为 a b 2 a b 2 a 2b 2 4 1 a 2b 2 b 2 所以 2 a 由于 a b c 0 从而 a b c ab 2 c 2 b 所以 a 2 1 c 2 a 2 b 2 1 2 c 2 a2 b2 故有 2 4 1 a b2 2 4 c2 2 b 2 1 a 2 16 1 2aba ab 2 2 b2 2 c 2 ca2 b2 16 1 c2 c 2 a b 2 a b 2 16 a b c b c c 1 a ab c a b 16 1 2p2c 2 2p 2a 2p p 2b 所以 2 p p a p b p c 或 pp cpbpa 1 9 三矢量的混合积三矢量的混合积 1 设 a b c为三个非零矢量 证明 1c a b a b a b c 2 b c a 2 a b ca b c 证明 ab a bc 1 左端 a b c a b ab b a a b c a b a a b b a b c a b a a b b a b c 右端 2 左端 b c ca b a b cb a c a a b b c a b a a c a a b c b b a b c a b bcba b cc a a 2 右端 2 设径矢 1 rOA 2 rOB 3 rOC 21 rr 32 rr 13 rr 证明 R 垂直于平面 证明 由于 ABC RAB 12 rr 133221 rrrrrr 1313212111323 22212 rrrrrrrrrrrrrrrrrr 0 321321 rrrrrr RAB 所以 RAC 同理可证 R所以 平面 ABC 3 u 11e a 21e b 31e c 12e av 22e b 32e c w 13e a 23e b 33e c 试证明 wvu 333 222 111 cba cba cba 1 e 2 e 3 e 证明 u v 22 11 ba ba 1 e 2 e 22 11 cb cb 2 e 3 e 22 11 ac ac 3 e 1 e wvu u v w 22 11 ba ba c3 1 e 2 e 3 e 22 11 cb cb a3 2 e 3 e 1 e 22 11 ac ac b3 3 e 1 e 2 e 3 22 11 3 22 11 3 22 11 b ac ac a cb cb c ba ba 1 e 2 e 3 e 333 222 111 cba cba cba 1 e 2 e 3 e 第第 2 章章 曲面与空间曲线的方程曲面与空间曲线的方程 2 1 曲面的方程 1 一动点移动时 与 0 0 4 A及xoy平面等距离 求该动点的轨迹方程 解 设在给定的坐标系下 动点 所求的轨迹为C zyxM 则zMACzyxM 亦即zzyx 222 4 0 4 22 yx 由于上述变形为同解变形 从而所求的轨迹方程为 0 4 22 yx 2 在空间 选取适当的坐标系 求下列点的轨迹方程 1 到两定点距离之比为常数的点的轨迹 2 到两定点的距离之和为常数的点的轨迹 3 到两定点的距离之差为常数的点的轨迹 4 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹 解 1 取二定点的连线为x轴 二定点连接线段的中点作为坐标原点 且令两距离之比的 常数为 二定点的距离为 则二定点的坐标为ma2 0 0 0 0 aa 设动点 所求的轨迹为C 则 zyxM 222222 zyaxmzyaxCzyxM 亦即 2222222 zyaxmzyax 经同解变形得 0 1 1 2 1 2222222 amxmazyxm 上式即为所要求的动点的轨迹方程 2 建立坐标系如 1 但设两定点的距离为 距离之和常数为 设动点 要求的轨迹为C c2a2 zyxM 则azycxzycxCzyxM2 222222 亦即 222222 2 zycxazycx 两边平方且整理后 得 1 2222222222 caazayaxca 222 cabca 令 从而 1 为 22222222 bazayaxb 即 22222222 bazayaxb 由于上述过程为同解变形 所以 3 即为所求的轨迹方程 3 建立如 2 的坐标系 设动点 所求的轨迹为C zyxM 则azycxzycxCzyxM2 222222 类似于 2 上式经同解变形为 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 其中 222 acacb 即为所求的轨迹的方程 4 取定平面为xoy面 并让定点在z轴上 从而定点的坐标为 再令距离之比为 0 0 c m 设动点 所求的轨迹为 则 zyxMC zmzyxCzyxM 222 将上述方程经同解化简为 02 1 22222 cczzmyx 即为所要求的轨迹方程 2 求下列各球面的方程 1 中心 半径为 3 1 2 6 R 2 中心在原点 且经过点 3 2 6 3 一条直径的两端点是 3 1 4 5 32 与 4 通过原点与 4 0 0 0 3 1 0 0 4 解 1 由本节例 5 知 所求的球面方程为 36 3 1 2 222 zyx 2 由已知 球面半径73 2 6 222 R 所以类似上题 得球面方程为 49 222 zyx 3 由已知 球面的球心坐标1 2 35 1 2 13 3 2 42 cba 球的半径 21 35 31 24 2 1 222 R 所以球面方程为 21 1 1 3 222 zyx 4 设所求的球面方程为 0222 222 lkzhygxzyx 因该球面经过点 4 0 0 0 3 1 0 0 4 0 0 0 所以 0816 06210 0816 0 k hg g l 1 解 1 有 2 2 1 0 k g h l 所求的球面方程为 0424 222 zyxzyx 2 2 母线平行于坐标轴的柱面方程 1 画出下列方程所表示的曲面的图形 1 3694 22 yx 解 各题的图形如下 1 3694 22 yx O z y x 2 3 空间曲线的方程 1 平面cx 与的公共点组成怎样的轨迹 02 22 xyx 解 上述二图形的公共点的坐标满足 cx ccy cx xyx 2 02 222 从而 当时 公共点的轨迹为 20 c0 c时 两图形无公共点 2 指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线 1 2 6416 222 zyx64164 222 zyx 3 4 64164 222 zyxzyx169 22 解 1 曲面与xoy面的交线为 0 64 0 6416 22222 z yx z zyx 此曲线是圆心在原点 半径且处在8 Rxoy面上的圆 同理可求出曲面与6416 222 zyxyoz面 0 x及面zox 0 y的交线分别为 0 6416 22 x zy 0 6416 22 y zx 它们分别是中心在原点 长轴在y上 且处在y轴oz面上的椭圆 以及中心在原点 长轴在 x轴上 且处在zo上的椭圆 x面 2 由面与64164 222 zyxxoy面 0 z yoz面 0 x zox面的交线 分别为 0 y 0 64164 222 z zyx 0 64164 222 x zyx 0 64164 222 y zyx 亦即 0 644 22 z yx 0 164 22 x zy 0 6416 22 y zx 即为中心在原点 长轴在x轴上 且处在xoy面上的椭圆 中心在原点 实轴在轴 且处 在 y yoz面上的双曲线 以及中心在原点 实轴在x轴 且处在面上的双曲线 zox 3 曲面与64164 222 zyxxoy面 0 z yoz面 0 x zox面的交线 分别为 0 y 0 64164 222 z zyx 0 64164 222 x zyx 0 64164 222 y zyx 亦即 0 644 22 z yx 0 64164 22 x zy 0 6416 22 y zx 即为中心在原点 实轴在x轴 且处在xoy面上的双曲线 无轨迹以及中心在原点 实轴在 x轴上 且处在面上的双曲线 zox 4 曲面与zyx169 22 xoy面 0 z yoz面 0 x 面的交线分别 为 zox 0 y 0 169 22 z zyx 0 169 22 x zyx 0 169 22 y zyx 亦即 0 09 22 z yx 0 169 2 x zy 0 16 2 y zx 即为坐标原点 顶点在原点以z轴为对称轴 且处在yoz面上的抛物线 以及顶点在原点 以轴为对称轴 且处在面上的抛物线 zzox 3 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程 1 2 1 0 22 xz zyx 01 003323 22 zy zxyzzx 3 4 71023 562 zyx zyx 1 1 1 1 222 222 zyx zyx 解 1 从方程组 1 0 22 xz zyx 分别消去变量zyx 得 0 1 22 zyz 亦即 013 22 zyz 01 xz 01 22 xyx 是原曲线对yoz平面的射影柱面方程 是原曲线对平面的射影柱面方程 zox 是原曲线对xoy平面的射影柱面方程 2 按照与 1 同样的方法可得原曲线 对yoz平面的射影柱面方程 01 zy 对平面的射影柱面方程 zox03622 22 zxzx 对xoy平面的射影柱面方程 01222 22 yxyx 3 原曲线对yoz平面的射影柱面方程 0272 zy 原曲线对平面的射影柱面方程 zox03 zx 原曲线对xoy平面的射影柱面方程 02327 yx 4 原曲线对yoz平面的射影柱面方程 01 zy 原曲线对平面的射影柱面方程 zox022 22 zzx 原曲线对xoy平面的射影柱面方程 022 22 yyx 第第3章 平面与空间直线章 平面与空间直线 3 1 平面的方程平面的方程 1 求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程 1 通过点和点 1 1 3 1 M 0 1 1 2 M且平行于矢量 2 0 1 的平面 2 通过点 和且垂直于 1 5 1 1 M 2 2 3 2 Mxoy坐标面的平面 3 已知四点 求通过直线 AB 且平行于直线 CD 的平面 并求通过直线 AB 且与 3 1 5 A 2 6 1 B 4 0 5 C ABC 6 0 4 D 平面垂直的平面 解 解 1 1 2 2 21 MM 又矢量 2 0 1 平行于所求平面 故所求的平面方程为 vuz uy vux 21 21 23 一般方程为 07234 zyx 2 由于平面垂直于xoy面 所以它平行于z轴 即与所求的平面平行 又 1 0 0 3 7 2 21 MM 平行于所求的平面 所以要求的平面的参数方程为 vuz uy ux 31 75 21 一般方程为 即0 5 2 1 7 yx01727 yx 3 设平面 通过直线 AB 且平行于直线 CD 1 5 4 AB 2 0 1 CD 从而 的参数方程为 vuz uy vux 23 51 45 一般方程为 0745910 zyx 设平面 通过直线 AB 且垂直于ABC 所在的平面 1 5 4 AB 1 1 1 4 4 4 4 1 1 0 1 5 4 ACAB 均与 平行 所以 的参数式方程为 vuz vuy vux 3 51 45 一般方程为 0232 zyx 2 化一般方程为截距式与参数式 042 zyx 解 解 与三个坐标轴的交点为 4 0 0 0 20 0 0 4 所以 它的截距式方程为 1 424 zyx 又与所给平面方程平行的矢量为 4 0 4 0 2 4 所求平面的参数式方程为 vz uy vux24 3 证 明 矢 量 ZYXv 平 行 与 平 面0 DCzByAx的 充 要 条 件 为 0 CZBYAX 证明 证明 不妨设0 A 则平面的参数式方程为 0 DCzByAx vz uy v A C u A B A D x 故其方位矢量为 1 0 0 1 A C A B 从而v平行于平面0 DCzByAx的充要条件为 v 1 0 0 1 A C A B 共面 0 10 01 A C A B ZYX 0 CZBYAX 4 已知 连接两点的线段平行于平面 12 0 5 10 3 zBA 0147 zyx 求B里的 坐标 z 解 解 5 2 3 zAB 而AB平行于 0147 zyx 由题 3 知 0 5 427 3 z 从而 18 z 3 2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 1 计算下列点和平面间的离差和距离 1 3 4 2 M 0322 zyx 2 3 2 1 M 0435 zyx 解 解 将 的方程法式化 得 01 3 2 3 1 3 2 zyx 故离差为 3 1 13 3 2 4 3 1 2 3 2 M M到 的距离 3 1 Md 2 类似 1 可求得 0 35 4 35 3 35 6 35 5 M M到 的距离 0 Md 2 求下列各点的坐标 1 在轴上且到平面y02222 zy的距离等于 4 个单位的点 2 在z轴上且到点与到平面 0 2 1 M09623 zyx距离相等的点 3 在 x 轴上且到平面01151612 zyx和0122 zyx距离相等的点 解 解 1 设要求的点为则由题意 0 0 0 yM 4 9 22 0 y 61 0 y 或 7 5 0 y 即所求的点为 0 5 0 及 0 7 0 2 设所求的点为则由题意知 0 0 0 z 7 96 21 02 0 22 z z 由此 或 82 13 2 0 z 故 要求的点为及 2 0 0 13 82 0 0 3 设所求的点为 由题意知 0 0 0 x 3 12 25 1012 0 x 由此解得 或 11 43 2 0 x 所求点即 2 0 0 及 11 43 0 0 3 已知四面体的四个顶点为 4 1 1 5 11 2 3 5 3 4 6 0 CBAS 计算从顶点向底 面 ABC 所引的高 S 解 解 地面 ABC 的方程为 0522 zyx 所以 高3 3 5426 h 4 求中心在且与平面 2 5 3 C01132 zyx相切的球面方程 解 球面的半径为 C 到平面 01132 zyx的距离 它为 142 14 28 14 116532 R 所以 要求的球面的方程为 56 2 5 3 222 zyx 即 0184106 222 zyxzyx 3 3 两平面的相关位置两平面的相关位置 1 判别下列各对直线的相关位置 1 与0142 zyx03 24 z yx 2 与0522 zyx013 zyx 3 05426 zyx与0 2 9 639 zyx 解 解 1 1 2 1 4 1 4 2 1 1 中的两平面平行 不重合 2 1 3 1 2 1 2 2 中两平面相交 3 6 3 9 4 2 6 3 中两平面平行 不重合 2 分别在下列条件下确定的值 nml 1 使08 3 1 3 znymxl和016 3 9 3 zlynxm表 示同一平面 2 使与0532 zmyx0266 zylx表示二平行平面 3 使013 zylx与027 zyx表示二互相垂直的平面 解 解 1 欲使所给的二方程表示同一平面 则 16 8 3 3 9 1 3 3 l n n m m l 即 092 072 032 nl mn lm 从而 9 7 l 9 13 m 9 37 n 2 欲使所给的二方程表示二平行平面 则 6 3 6 2 m l 所以 4 l3 m 3 欲使所给的二方程表示二垂直平面 则 0327 l 所以 7 1 l 3 求下列两平行平面间的距离 1 0218419 zyx0428419 zyx 2 07263 zyx 014263 zyx 解 解 1 将所给的方程化为 01 21 8 21 4 21 19 zyx 02 21 8 21 4 21 19 zyx 所以两平面间的距离为 2 1 1 2 同 1 可求得两平行平面间的距离为 1 2 3 4 求下列个组平面成的角 1 011 yx083 x 2 012632 zyx 0722 zyx 解 1 设 1 011 yx 2 083 x 2 2 32 3 cos 21 4 21 或 4 3 2 设 1 012632 zyx 2 0722 zyx 21 8 37 1262 cos 21 21 81 cos 1 21 或 21 81 cos 1 21 3 4 空间直线的方程空间直线的方程 1 求下列各直线的方程 1 通过点和点的直线 1 0 3 A 1 5 2 B 2 通过点且平行于两相交平面 0000 zyxM i 0 iiii DzCyBxA 2 1 i的直线 3 通过点且与 3 51 Mzyx 三轴分别成的直线 120 45 60 4 通过点 2 0 1 M且与两直线 1 1 11 1 zyx 和 0 1 1 1 1 zyx 垂直的直线 5 通过点 5 3 2 M且与平面02536 zyx垂直的直线 解 解 1 由本节 3 4 6 式 得所求的直线方程为 0 1 532 3 zyx 即 0 1 55 3 zyx 亦即 0 1 11 3 zyx 2 欲求直线的方向矢量为 22 11 22 11 22 11 BA BA AC AC CB CB 所以 直线方程为 22 11 0 22 11 0 22 11 0 BA BA zz AC AC yy CB CB xx 3 欲求的直线的方向矢量为 2 1 2 2 2 1 120cos 45cos 60cos 故直线方程为 1 3 2 5 1 1 zyx 欲求直线的方向矢量为 2 1 10 1 11 1 1 所以 直线方程为 2 2 11 1 zyx 欲求的直线的方向矢量为 5 3 6 所以直线方程为 5 5 3 3 6 2 zyx 求以下各点的坐标 在直线 3 8 1 8 2 1 zyx 上与原点相距 个单位的点 关于直线与点 0322 0124 zyx zyx 1 0 2 P对称的点 解 解 设所求的点为 则 zyxM tz ty tx 38 8 21 又 2222 25 zyx 即 2222 25 38 8 21 ttt 解得 或4 t 7 62 所以要求的点的坐标为 7 130 7 6 7 117 20 12 9 已知直线的方向矢量为 3 6 62 1 24 1 1 或为 1 2 2 过P垂直与已知直线的平面为 0 1 2 2 2 zyx 即0322 zyx 该平面与已知直线的交点为 所以若令 3 1 1 zyx P 为 P 的对称点 则 2 2 1 x 2 0 1 y 2 1 3 z 7 2 0 zyx 即 7 2 0 P 求下列各平面的方程 通过点 且又通过直线 1 0 2 p 3 2 12 1 zyx 的平面 通过直线 1 1 5 3 1 2 zyx 且与直线 052 032 zyx zyx 平行的平面 通过直线 2 2 3 2 2 1 zyx 且与平面0523 zyx垂直的平面 通过直线向三坐标面所引的三个射影平面 0142 09385 zyx zyx 解 解 因为所求的平面过点 1 0 2 p和 2 0 1 p 且它平行于矢量 所以要 求的平面方程为 3 1 2 0 303 312 12 zyx 即 015 zyx 已知直线的方向矢量为 5 3 11 2 11 1 2 平面方程为 0 531 151 132 zyx 即 015211 zyx 要求平面的法矢量为 13 8 11 2 32 3 2 平面的方程为 0 2 13 2 8 1 zyx 即09138 zyx 4 由已知方程 0142 09385 zyx zyx 分别消去x yz得到 0231136 zy 079 zx 06411 yx 此即为三个射影平面的方程 4 化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程 并求出直线的方向余弦 1 2 0323 012 zyx zyx 0642 06 zyx zx 3 2 0 x zyx 解 解 1 直线的方向数为 5 1 3 13 12 32 21 21 11 射影式方程为 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx 即 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx 标准方程为 z yx 5 1 5 9 5 3 5 2 方向余弦为 35 3 5 35 5 3 cos 35 1 5 35 5 1 cos 35 5 5 35 1 cos 2 已知直线的方向数为 4 3 4 42 01 21 11 14 10 射影式方程为 4 18 4 3 4 24 4 4 zy zx 即 2 9 4 3 6 zy zx 标准方程为 z y x 4 3 2 9 1 6 方向余弦为 41 4 4 41 1 cos 41 3 4 41 4 3 cos 41 4 4 41 1 cos 3 已知直线的方向数为 1 1 0 1 1 0 01 11 10 11 00 11 射影式方程为 2 2 zy x 标准式方程为 z yx 1 2 0 2 方向余弦为 0cos 2 1 cos 2 1 cos 3 5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置 1 判别下列直线与平面的相关位置 1 37 4 2 3zyx 与3224 zyx 2 723 zyx 与8723 zyx 3 与 012 05235 zyx zyx 07734 zyx 4 与 49 92 tz ty tx 010743 zyx 解 解 1 0 2 3 2 7 4 2 而017302 4 234 所以 直线与平面平行 2 0717 2 233 所以 直线与平面相交 且因为 7 7 2 2 3 3 直线与平面垂直 3 直线的方向矢量为 1 9 51 1 22 3 5 0179354 而点在直线上 又 0 5 2 M07 5 3 2 4 所以 直线在平面上 4 直线的方向矢量为 9 2 1 097 2 413 直线与平面相交 2 试验证直线 l 2 1 1 1 1 zyx 与平面 032 zyx相交 并求出它的交点 和交角 解 解 032111 1 2 直线与平面相交 又直线的坐标式参数方程为 tz ty tx 21 1 设交点处对应的参数为 0 t 03 21 1 2 000 ttt 1 0 t 从而交点为 1 0 1 又设直线l与平面 的交角为 则 2 1 66 2111 1 2 sin 6 3 确定的值 使 ml 1 直线 13 2 4 1zyx 与平面0153 zylx平行 2 直线与平面 13 54 22 tz ty tx 076 zmylx垂直 解 解 1 欲使所给直线与平面平行 则须 015334 l 即 1 l 2 欲使所给直线与平面垂直 则须 3 6 42 ml 所以 8 4 ml 4 决定直线和平面 0 0 222 111 zCyBxA zCyBxA 0 212121 zCCyBBxAA的相 互位置 解 在直线上任取 有 1111 zyxM 0 0 121212 111111 zCyBxA zCyBxA 0 121121121 zCCyBBxAA 这表明在平面上 所以已给的直线处在已给的平面上 1 M 3 6 空间直线的相关位置空间直线的相关位置 1 直线方程的系数满足什么条件才能使 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 1 直线与x轴相交 2 直线与x轴平行 3 直线与x轴重合 解 解 1 所给直线与x轴相交 使 0 x 0 101 DxA且0 202 DxA 0 22 11 DA DA 且 不全为零 1 A 2 A 2 x轴与平面0 1111 DzCyBxA平行 0001 111 CBA0 1 A 又x轴与平面0 2222 DzCyBxA平行 所以 0001 221 CBA0 2 A 即 但直线不与0 21 AAx轴重合 不全为零 21 D D 3 参照 2 有 且0 21 AA0 21 DD 2 确定 值使下列两直线相交 1 与 0154 0623 zyx zyx z轴 2 1 2 1 1 1 zyx 与zyx 11 解 1 若所给直线相交 则有 类似题 1 0 15 62 从而 5 2 若所给二直线相交 则 0 111 21 11111 从而 4 5 3 判别下列各对直线的相互位置 如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面 如果是 异面直线 求出它们之间的距离 1 与 0623 022 yx zyx 0142 0112 zx zyx 2 1 3 1 8 3 3 zyx 与 4 6 2 7 3 3 zyx 3 与 2 12 tz ty tx 5 2 17 4 4 1 zyx 解 解 1 将所给的直线方程化为标准式 为 43 4 3 2 2 3 z yx 43 2 2 7 zyx 2 3 4 2 3 4 二直线平行 又点 0 4 3 2 3 与点 7 2 0 在二直线上 矢量 0 4 5 2 11 0 4 3 2 2 3 7平行于二直线所确定的平面 该平面的法矢量为 19 22 5 0 4 5 2 11 4 3 2 从而平面方程为 0 0 19 2 22 7 5 zyx 即 0919225 zyx 2 因为0270 423 113 637833 二直线是异面的 二直线的距离 303270 3156 270 4 2 31 1 3 423 113 3156 222 d 3 因为0 574 121 031 但是 1 2 1 4 7 5 所以 两直线相交 二直线所决定的平面的法矢量为 1 1 35 7 412 1 平面的方程为 33 zyx 4 给定两异面直线 0 1 12 3 zyx 与 10 2 1 1zyx 试求它们的公垂线方程 解 因为 1 2 11 0 10 1 2 公垂线方程为 0 121 101 21 0 121 012 13 zyx zyx 即 02222 0852 zyx zyx 亦即 01 0852 zyx zyx 3 7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置 1 直线通过原点的条件是什么 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 解 解 已知直线通过原点 0000 0000 2222 1111 DCBA DCBA 0 0 2 1 D D 故条件为0 21 DD 2 求点到直线的距离 1 3 2 p 017223 0322 zyx zyx 解 直线的标准方程为 2 25 12 11 zyx 所以 p 到直线的距离为 15 3 45 3 2025 2 12 12 39 22 924 21 243 222 222 d 3 8 平面束平面束 1 求通过平面和0134 zyx025 zyx的交线且满足下列条件之一的平面 1 通过原点 2 与轴平行 y 3 与平面0352 zyx垂直 解 解 1 设所求的平面为 0 25 134 zyxzyx 欲使平面通过原点 则须 021 即 2 1 故所求的平面方程为 0 25 134 2 zyxzyx 即 0539 zyx 2 同 1 中所设 可求出 5 1 故所求的平面方程为 0 25 134 5 zyxzyx 即 031421 zx 3 如 1 所设 欲使所求平面与平面0352 zyx垂直 则须 0 3 5 51 4 2 从而 3 所以所求平面方程为 05147 yx 2 求平面束0 42 53 zyxyx 在yx 两轴上截距相等的平面 解 解 所给的方程截距式为 1 2 45 3 45 1 45 zyx 据要求 3 45 1 45 1 所以 所求的平面为 01222 zyx 3 求通过直线且与平面 04 05 zx zyx 01284 zyx成 4 角的平面 解 解 设所求的平面为 0 4 5 zxzyx 则 2 2 8 4 1 5 8 4 5 222222 从而 1 0 或 3 4 所以所求平面为 04 zx 或012720 zyx 4 求通过直线 32 2 0 1 zyx 且与点的距离等于 3 的平面 2 1 4 p 解 直线的一般方程为 0223 01 zy x 设所求的平面的方程为0 223 1 zyx 据要求 有 3 49 2434 222 有 908125 13 9 2222 1 6 或 8 3 即所求平面为 0 223 1 6 zyx 或 0 223 8 1 3 zyx 即 或04236 zyx01916243 zyx 第 4 章 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲面 4 1 柱面 1 已知柱面的准线为 02 25 2 3 1 222 zyx zyx 且 1 母线平行于x轴 2 母线平行于直线czyx 试求这些柱面的方程 解 1 从方程 02 25 2 3 1 222 zyx zyx 中消去x 得到 25 2 3 3 222 zyyz 即 0 2 3