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文档简介
【状元之路】(新课标,通用版)2015届高考数学一轮复习 10-7抛物线同步检测(2)文一、选择题1直线l过抛物线y22px(p0)的焦点,且与抛物线交于a、b两点,若线段ab的长是8,ab的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()ay212xby28xcy26x dy24x解析:设a(x1,y1)、b(x2,y2),由抛物线定义可得x1x2p8,又ab中点到y 轴的距离为2,x1x24,p4.答案:b22014石家庄质检一若抛物线y22px上一点p(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()ay24x by26xcy28x dy210x解析:由题意,得24,p4,所以抛物线的方程为y28x,故选c.答案:c3以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()ay3x2或y3x2 by3x2cy29x或y3x2 dy3x2或y29x解析:设抛物线方程为x2ay或y2ax(a0),把圆心(1,3)代入方程得a或a9,抛物线方程是y3x2或y29x.答案:d4已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,l与c交于a、b两点,|ab|12,p为c的准线上一点,则abp的面积为()a18 b24c36 d48解析:设抛物线方程为y2 2px,当x时,y2p2,|y|p,p6,又点p到ab的距离始终为6,sabp12636,故选c.答案:c5抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()a. b.c. d3解析:设与直线4x3y80平行且与抛物线相切的直线为4x3yt0,与抛物线yx2联立得3x24xt0,由1612t0,得t,两条平行线的距离为所求最小距离,由两条平行线的距离公式得所求距离为.答案:a6设抛物线y22px(p0)的焦点为f,点a在y轴上,若线段fa的中点b在抛物线上,且点b到抛物线准线的距离为,则点a的坐标为()a(0,2) b(0,2)c(0,4) d(0,4)解析:在aof中,点b为边af的中点,故点b的横坐标为,因此,解得p,故抛物线方程为y22x,可得点b坐标为,故点a的坐标为(0,2)答案:a7已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切,则p的值为()a2 b1c. d.解析:注意到抛物线y22px的准线方程是x,曲线x2y26x70,即(x3)2y216是圆心为(3,0),半径为4的圆于是依题意有|3|4.又p0,因此有34,解得p2.答案:a8已知过抛物线y26x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()a.或 b.或c.或 d.解析:由焦点弦长公式|ab|得12,所以sin,所以或.答案:b9抛物线y22px的焦点为f,点a、b、c在此抛物线上,点a坐标为(1,2)若点f恰为abc的重心,则直线bc的方程为()axy0 bxy0c2xy10 d2xy10解析:点a在抛物线上,42p,p2,抛物线方程为y24x,焦点f(1,0),设点b(x1,y1),点c(x2,y2),则有y4x1,y4x2,由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),得kbc.又0,y1y22,kbc2.又1,x1x22,bc中点为(1,1),则bc所在直线方程为y12(x1),即2xy10.答案:c10过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点,o为坐标原点若|af|3,则aob的面积为()a. b.c. d2解析:如图,设a(x0,y0),不妨设y00,由抛物线方程y24x,可得抛物线焦点f(1,0),抛物线准线方程为x1,故|af|x0(1)3,可得x02,y02,故a(2,2),直线ab的斜率为k2,直线ab的方程为y2x2,联立直线与抛物线方程,可得2x25x20,得x2或x,所以b点的横坐标为,可得|bf|(1),|ab|af|bf|3,o点到直线ab的距离为d,所以saob|ab|d.答案:c二、填空题11已知抛物线c:yx2,则过抛物线焦点f且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为_解析:由题意得l的方程为yx1,即x2(y1)代入抛物线方程得y(y1)2,即y23y10.设线段端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则线段长度为y1y2p5.答案:512过抛物线y22x的焦点f作直线交抛物线于a,b两点,若|ab|,|af|bf|,则|af|_.解析:设|af|x,|bf|y,由抛物线的性质知2,又xy,x,y,即|af|.答案:13已知p,q为抛物线x22y上两点,点p,q的横坐标分别为4,2,过p,q分别作抛物线的切线,两切线交于点a,则点a的纵坐标为_解析:yx,y|x44,y|x22,p(4,8),q(2,2),过p,q的切线方程分别为:y4x8,y2x2,联立方程解得y4.答案:414已知抛物线y22px(p0)上一点m(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线y21的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则正实数a的值为_解析:由抛物线的定义知15,p8,故m4,又左顶点a(a,0),m(1,4),因此直线am的斜率为k,解得a.答案:三、解答题15已知抛物线y24x的焦点为f,直线l过点m(4,0)(1)若点f到直线l的距离为,求直线l的斜率;(2)设a,b为抛物线上两点,且ab不与x轴垂直,若线段ab的垂直平分线恰过点m,求证:线段ab中点的横坐标为定值解析:(1)由已知,x4不合题意设直线l的方程为y k(x4),由已知,抛 物线c的焦点坐标为(1,0),因为点f到直线l的距离为,所以,解得k,所以直线l的斜率为.(2)设线段ab中点的坐标为n(x0,y0),a(x1,y1),b(x2,y2),因为ab不垂直于x轴,则直线mn的斜率为,直线ab的斜率为,直线ab的方程为yy0(xx0)由消去x整理得y2y0yyx0(x04)0,y1y2.n为ab中点,y0,即y0.x02,即线段ab中点的横坐标为定值2.答案:(1);(2)定值为2,证明略162014唐山市期末已知抛物线e:x22py(p0),直线ykx2与e交于a、b两点,且2,其中o为原点(1)求抛物线e的方程;(2)点c坐标为(0,2),记直线ca,cb的斜率分别为k1,k2,证明:kk2k2为定值解析:(1)将ykx2代入x22py,得x22pkx4p0.其中4p2k216p0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x22pk,x1x24p.x1x2y1y2x1x24p4.由已知,4p42,p.所以抛物线e的方程x2y.(2)由(1)知,x1x2k,x1x22.k1x1x2,同理k2x2x1,所以kk2k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.答案:(1)x2y;(2)kk2k216,证明略创新试题教师备选教学积累资源共享12014湖北模拟已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于a、b两点,且oaob,odab于d.若动点d的坐标满足方程x2y24x0,则m()a1b2c3 d4解析:设点d(a,b),则由odab于d,得则b,abk;又动点d的坐标满足方程x2y24x0,即a2b24a0,将abk代入上式,得b2k2b24bk0,即bk2b4k0,4k0,又k0,则(1k2)(4m)0,因此m4.答案:d22014郑州模拟如图,过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a、b,交其准线于点c,若|bc|2|bf|,且|af|3,则此抛物线的方程为()ay29xby26xcy23x dy2x解析:过点b作准线的垂线,垂足为b1,记准线与x轴的交点为f1,则依题意得,所以|bb1|ff1|,由抛物线的定义得|bf|bb1|.过a,b作x轴的垂线,垂足分别为d,e,由befadf得,解得p.所以此抛物线的方程是y23x.答案:c32014乌鲁木齐模拟过抛物线y24x的焦点f的直线交y轴于点a,抛物线上有一点b满足 (o为坐标原点),则bof的面积是_解析:由题可知f(1,0),可设过焦点f的直线方程为yk(x1)(可知k存在),则a(0,k),b(1,k),由点b在抛物线上,得k24,k2,即b(1,2),sbof|of|yb|121.答案:142014广州模拟已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x相交于a,b两点,f为抛物线的焦点,若|fa|2|fb|,则k的值为_解析:直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点f(2,0),由可得ky28y16k0,因为|fa|2|fb|,所以ya2yb,则yayb2ybyb,所以yb,yayb16,所以2y16,即yb2,又k0,故k2.答案:252014宁德检测已知抛物线y24x的焦点为f,准线为l.(1)求经过点f与直线l相切,且圆心在直线xy10上的圆的方程;(2)设过点f且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于a、b两点,线段ab的垂直平分线与x轴交于点m,求点m横坐标的取值范围解析:(1)设圆心为(a,b),由抛物线y24x得其焦点坐标为(1,0),准线l的方程为x1,根据题意得即解得所求圆的方程是(x1)
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