湖南大学工程数学试卷及答案.pdfVIP

研究生课程考试命题专用纸 第 1 页 共 13 页 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目 工程数学专业年级 2011 级专业型硕士研究生 考试形式 闭卷 可用计算器 考试时间 120 分钟 注 答题 包括填空题 选择题 必须答在专用答卷纸上 否则无效 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 用 355 113 作为圆周率3 14159265 的近似值时 有位有效数字 2 2 5 xxx 要使迭代法 1 kk xx 局部收敛到 5 x 则 的取值 范围是 3 若 12 21 A 则谱条件数 1 2 2 2 CondAAA 4 设设 01 n xxx为为1n 个互异的插值节点个互异的插值节点 0 1 j i j i ij xx l xin xx 为拉为拉 格朗日插值基函数 则格朗日插值基函数 则 1 0 0 n n ii i lx 5 已知实验数据 i x0123 i y1245 则拟合这组数据的直线为y 6 要使求积公式 1 11 0 1 0 4 f x dxfA f x 具有 2 次代数精度 则 1 x 1 A 二 11 分分 给定方程 32 360 f xxx 1 证明该方程在区间 1 2 内存在唯一实根 x 2 用牛顿迭代法求出 x的近似值 取初值 0 1 5 x 要求 5 1 10 kk xx 三 10 分分 用高斯列主元素消去法解线性方程组 1 2 3 12320 1128 2419 x x x 研究生课程考试命题专用纸 第 2 页 共 13 页 四 10 10 分分 给定线性方程组 1 2 3 2111 1111 1121 x x x 写出求解该方程组的雅可比迭代格式 并分析雅可比迭代法的收敛性 五 13 13 分分 试根据数表 i x 1 02 i y 101416 i y 1 1 构造 Hermite 埃尔米特 插值多项式 H x 六 10 10 分分 求常数 使积分 12 2 0 x exxdx 取最小值 七 16 16 分分 用龙贝格方法求积分 3 1 1 Idx x 的近似值 要求误差不超过 3 10 研究生课程考试命题专用纸 第 3 页 共 13 页 工程数学试题参考答案 一 1 7 2 0 5 1 3 3 4 n n xxx 10 1 5 x4 19 0 6 4 3 3 2 1 1 Ax 二 解 1 因为 2 1 063 014 2 02 1 2 1 2 xxxxfffCxf所以由零 点定理和单调性知原方程在 2 1 内存在唯一实根 x 4 分分 2 牛顿迭代格式为 2 1 0 63 632 63 63 2 23 2 23 1 k xx xx xx xx xx kk kk k kk k kk 7 分分 取初值 5 1 0 x计算结果如下 k01234 k x 1 51 2380951 1968151 1958241 195823 5 434 10 1 195823 xxxx 11 分分 三 解 123202419 11281128 241912320 2 分 2419 57 03 22 549 04 22 4 分 2419 549 04 22 57 03 22 5 分 2419 549 04 22 35175 00 88 7 分 等价的上三角形方程组为 研究生课程考试命题专用纸 第 4 页 共 13 页 123 23 3 249 549 4 22 35175 88 xxx xx x 回代得 321 5 3 1 xxx 10 分分 四 解 雅可比迭代格式为 1 123 1 213 1 312 1 1 2 1 3 1 1 2 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 分 雅可比迭代矩阵 11 0 22 101 11 0 22 J B 5 分 其特征方程 11 0 22 J EB J B的特征值 12 3 1 0 2 8分分 因为谱半径 1 1 2 J B 所以雅可比迭代法收敛 10 分分 五五 列表计算差商 i x i f x一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 110 1101 01443 2161 1 4 3 216 1 10 4 9 10 分分 222 44 10 1 3 1 1 1 2 39 H xxxx xxx x 13 分分 研究生课程考试命题专用纸 第 5 页 共 13 页 六 六 解 取 2 01 x xxxxf xe 定义内积 1 0 0 1 fgf x g x dxf xg xC 则 1 2 00 0 1 3 x dx 1 3 01 0 1 4 x dx 1 0 0 1 x fxe dx 1 4 11 0 1 5 x dx 1 2 1 0 2 x fx e dxe 5 分分 正规方程组为 11 1 34 11 2 45 e 8 分分 解得 537454 222080 903090 416860 ee 10 分分 七七 解解 计算结果见下表 k 0 T k 1 1 T k 2 2 T k 3 3 T k 01 3333333 11 16666671 1111112 21 11666671 10000001 0992593 31 10321071 09872541 09864041 0986306 14 分分 因为 33 32 0 0 0 6287 1010 TT 所以1 0986306 I 16 分分 研究生课程考试命题专用纸 第 6 页 共 13 页 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目 工程数学 A 卷 专业年级 2014 级专业型硕士研究生 考试形式 闭卷 可用计算器 考试时间 120 分钟 注 答题 包括填空题 选择题 必须答在专用答卷纸上 否则无效 三 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 设 xxf 则导数值353101 0 2 f 有位有效数字 2 若 32 01 1 1 Ax则 1 Ax 条件数 CondA 3 设13 2 xxf 则差商 2 1 f 0 1 2 3 f 4 拟合三点 2 2 3 1 1 0 CBA的直线是 y 5 参数 时 求积公式 0 0 2 2 0 hffhhff h dxxf h 的代数精 度达到最高 此时代数精度为 四 12 分 给定方程 2xex 3 证明该方程在区间 1 0 内存在唯一实根 x 4 写出牛顿迭代法求 x的迭代格式 5 若取初值 1 0 x牛顿迭代法是否收敛 若收敛 指出收敛阶数 三 12 分 用三角分解法解线性方程组 3 4 3 112 253 321 3 2 1 x x x 四 16 分 分别给出用雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法解线性方程组 3 2 1 3 2 1 50 10 010 b b b x x x 时 对任意初始向量都收敛的充要条件 五 1 16 6 分 用插值法求一个二次多项式 2 xP使得曲线 2 xPy 在0 x处与曲线 xycos 相切 在 2 x处与xycos 相交 并证明 324 cos max 3 2 2 0 xxP x 研究生课程考试命题专用纸 第 7 页 共 13 页 六 1212 分 求 x xexf 在 1 0 上的一次最佳平方逼近多项式 七 12 12 分 已知函数表 请分别用8 n的复化梯形公式和4 n的复化辛浦生公式计算积分 1 0 dxxf的 近似值 取 7 位浮点数 工程数学试题 A 卷 参考答案 一 1 3 2 5 6 3 0 9 4 2 3 2 1 x 5 3 12 1 二 解 1 因为2 xexf x 在 1 0 上连续 并且 1 0 01 01 1 01 0 xexfeff x 所以由零点定理和单调性知原方程在 1 0 内存在唯一实根 x 4 分分 2 牛顿迭代格式为 2 1 0 1 2 1 k e xe xx k k x k x kk 8 分分 因为 1 0 0 xexf x 0 1 1 f f所以牛顿迭代法收敛 且收敛阶为2 12 分分 三 解 用杜里特尔分解法求解 按紧凑格式计算得 562852 13713 3321 于是得 x00 1250 2500 3750 500 xf 10 99739780 98961580 97672670 9588510 x0 6250 7500 8751 xf 0 93615560 90885160 87719250 8414709 研究生课程考试命题专用纸 第 8 页 共 13 页 56 13 3 2800 710 321 152 013 001 yUL 9 分分 回代求解上三角形线性方程组 Uxy 得原方程组的解为 1 1 2 123 xxx 即 2 1 1 321 xxx 12 分分 四 解 雅可比迭代矩阵 0 5 0 10 0 10 0 10 0 1 ULDBJ 其特征方程为 0 100 3 2 J BE 4 分分 J B的谱半径 10 3 J B 所以 J 法收敛的充要条件是 3 100 8 分分 赛德尔迭代矩阵 50500 0 10100 0 0 10 0 000 00 00 50 010 0010 2 1 1 ULDBG 其特征方程为 0 100 3 2 G BE 12 分分 G B的谱半径 100 3 G B所以 G S 法收敛的充要条件是 3 100 16 分分 五 解 由条件得 0cos 2 0 cos 0 1cos 0 2 2 0 2 0 2 xxx xPxPxP 3 分分 2 0 0 0 0 0 2 2 xfxffxP 6 分分 作差商表 研究生课程考试命题专用纸 第 9 页 共 13 页 k x k xf 一阶差商二阶差商 01 010 2 0 2 2 4 4 1 2 2 2 xxP 9 分分 2 0 26 1 2 3 sin cos 22 2 xxxxxxxP 12 分分 记 2 2 xxxg 令 0 3 xxxg 得 3 0 21 xx所以 54323 max 3 2 2 0 xg x 故 324 cos max 3 2 2 0 xxP x 16 分分 六 解 1 取 1 10 xxx 并设一次最佳平方逼近多项式为 bxay 则 1 2 1 11 1 0 0 1 0 10 1 0 00 dxxefxdxdx x 2 3 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1101 edxexfdxx x 6 分分 正规方程组为 2 1 3 1 2 1 2 1 1 eb a 8 分分 解得 3012 166 eb ea 故所求的最佳平方逼近多项式为 616 3012 exey 12 分分 七 七 解 9767267 09896158 09973978 0 21 16 1 1 0 8 Tdxxf 8414709 0 8771925 09088516 09361556 09588510 0 9456908 0 6 分分 8771925 09361556 09767267 09973978 0 41 24 1 1 0 4 Sdxxf 8414709 0 9088516 09588510 09896158 0 2 9460833 0 12 分分 研究生课程考试命题专用纸 第 10 页 共 13 页 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目 数值分析 A 卷 参考答案专业年级 11 级各专业 考试形式 闭卷 可用计算器 考试时间 120 分钟 注 答题 包括填空题 选择题 必须答在专用答卷纸上 否则无效 一 简答题 20 分 1 避免误差危害的主要原则有哪些 答 1 两个同号相近的数相减 或异号相近的数相减 会丧失有效数字 扩大相对误差 应该尽量 避免 2 分 2 很小的数做分母 或乘法中的大因子 会严重扩大误差 应该尽量避免 3 分 3 几个数相加减时 为了减少误差 应该按照绝对值由大到小的顺序进行 4 分 4 采用稳定的算法 5 分 2 求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元 哪些特殊的线性方程组不用选主元 答 1 若出现小主元 将会严重扩大误差 使计算失真 所以高斯消元法选主元 3 分 2 当系数矩阵是对称正定矩阵时 高斯消元法不用选主元 4 分 3 当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时 高斯消元法不用选主元 5 分 3 求解非线性方程的 Newton 迭代法的收敛性如何 答 1 Newton 迭代法是局部收敛的 即当初值充分靠近根时 迭代是收敛的 2 分 2 用 Newton 迭代法求方程0 xf的单根时 其收敛至少是平方收敛 若求重根 则只有线性 收敛 5 分 4 Newton Cotes 积分公式的稳定性怎么样 答 1 Newton Cotes 积分公式当7 n时 Cotes 系数都为小于 1 的正数 因此是稳定的 3 分 2 当8 n时 出现了绝对值大于 1 的 Cotes 系数 因此是不稳定 5 分 二 10 分 证明函数 xf关于点 k xxx 10 的 k 阶差商 10k xxxf可以写成对应函数值 k yyy 10 的线性组合 即 k j j j k xw y xxxf 0 10 其中节点 10k xxxxxxxw 证明 通过简单计算 可知 0 ij n ji i j xxxw 2 分 Newton 插值多项式为 11010 102100100 nn n xxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfyxN 5 Lagrange 插值多项式为 0011 0 nnn n ii i Lxlx f xl x f xlx f x l x y 研究生课程考试命题专用纸 第 11 页 共 13 页 其中 8 分 由于插值多项式的唯一性 比较两个多项式 n x的系数 他们应该相等 从而 k j j j k xw y xxxf 0 10 10 分 本题也可以用数学归纳法证明 三 10 分 求解非线性方程01sin3 2 xx在区间 0 1 内的根 误差不超过 0 001 简单迭代法和 Newton 迭代法中选一种方法 解 因为0 1 3 1 ff 0 0 xfxf在区间 1 3 1 恒成立 所以取初值 1 3 1 0 x 若0 0 xf 3 分 则 Newton 迭代 cos 6 1 sin 3 2 1 kk kk k k k kk xx xx x xf xf xx 收敛 取 0 x0 8 具体迭代过程如下 7 分 x 0 8 y x 3 x 2 sin x 1 6 x cos x y 0 75061432494672 x y y x 3 x 2 sin x 1 6 x cos x y 0 74844662434814 x y y x 3 x 2 sin x 1 6 x cos x y 0 74844244703132 10 分 注 若是采用简单迭代法 则计分如下 写出迭代格式 3 分 证明格式的收敛性 4 分 计算过程 3 分 共 10 分 四 10 分 求函数 x exf 在区间 1 0 上的一次最佳平方逼近多项式 解 设一次最佳平方逼近多项式为 y a bx 正规方程组为 1 1 3 1 2 1 2 1 1 e b a 7 分 求解方程组 得到 a 0 87312731383618 4e 10 b 1 69030902924573 18 6e 10 分 011 011 1 0 1 2 iin i iiiiin n j ijj j i xxxxxxxx l x xxxxxxxx xx in xx 研究生课程考试命题专用纸 第 12 页 共 13 页 五 10 分 利用三角分解法求解线性方程组 7123 322 5323 31 21 321 xx xx xxx 解 系数矩阵的三角分解 A LU 其中 A 323 220 3012 L 100 2 310 1 31 U 323 02 3 2 003 6 分 求解方程组 Ly b 则 y 5 1 31 8 分 求解方程组 Ux y 则 x 11 21 3 10 分 六 10 分 写出求解线性方程组 115 1184 254105 6510 43 432 321 21 xx xxx xxx xx Gauss Seidel 迭代格式 并判断收敛性 解 Gauss Seidel 迭代格式为 5 11 8 411 10 4525 10 56 1 3 1 4 4 1 2 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 kk kkk kkk kk xx xxx xxx xx 5 分 因为系数矩阵是严格对角占优矩阵 所以 Gauss Seidel 迭代收敛 10 分 七 10 分 已知函数 xfy 的数据如下