【全程复习方略】（福建专用）高考数学 分类题库考点28 空间的角（）理 人教版(1).docVIP

考点28 空间的角 一、填空题1.（2012大纲版全国卷高考文科16）已知正方体中，e、f分别为,的中点，那么异面直线ae与所成角的余弦值为_.【解题指南】采用两种办法，一是常规求解，二是向量法.常规求解：连结,，利用平行关系将异面直线ae与所成角转化为求直线与所成角；向量法：以所在的直线为轴建立空间直角坐标系.【解析】方法一：连结,则为平行四边形，则，异面直线ae与所成角为设正方体的棱长为1.则方法二：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为1，则,【答案】二、解答题2.（2012四川高考文科19）如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上.（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小.【解析】解法一：（）连接oc. 由已知，所成的角设ab的中点为d，连接pd、cd.因为ab=bc=ca,所以cdab.因为等边三角形，不妨设pa=2，则od=1，op=, ab=4.所以cd=2，oc=.在rttan .（）过d作de于e，连接ce.由已知可得，cd平面pab. 据三垂线定理可知，cepa，所以，.由（）知，de=，在rtcde中，tan故. 解法二 ：（）设的中点为，连接因为在上，且为在平面上的射影，所以.所以，且由,知设为中点，则,从而如图，以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系. 不妨设,所以.所以,而为平面的一个法向量.设为直线与平面所成的角，则故直线与平面所成的角为（ii）由（i）有，设平面的一个法向量为则从而取则所以.设二面角的平面角为，易知为锐角.而平面的一个法向量为，则，故二面角的大小为3.（2012四川高考理科19）如图，在三棱锥中，平面平面.（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小.【解析】方法一（）设ab的中点为d,ad的中点为o,连结po、co、cd.由已知，为等边三角形.所以又平面平面，平面平面所以.所以所成的角.不妨设,则在中， .所以在rttan.故直线pc与平面abc所成的角的大小为（ii）过作于，连接.由已知可得，cd平面pab.根据三垂线定理可知，cepa，所以，.由（i）易知，de=在rtcde中，tan故方法二（）设的中点为，作于点,连结因为平面平面，平面平面所以.所以由,知设为中点，则,从而如图，以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系不妨设,所以.所以,而为平面的一个法向量.设为直线与平面所成的角，则故直线与平面所成的角的大小为（ii）由（i）有，设平面的一个法向量为则从而取则所以.设二面角的平面角为，易知为锐角.而面的一个法向量为，则，故二面角的大小为4.（2012大纲版全国卷高考理科18）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，,，是上的一点，.（）证明平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小.【解析】（）为菱形，底面,由三垂线定理得，设，连结,，又,，,.又, 平面.（）解法1：在平面内过点作，为垂足，因为二面角为，所以平面平面.又平面平面.，故平面,与平面的两条交线，都垂直，所以平面.则有,所以底面是正方形.,设到平面的距离为.因为,且平面,平面,故平面.两点到平面的距离相等，即.设与平面所成角为，则.即与平面所成角为.解法2：过点作,垂足为，过点作，垂足为，连结.底