三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件.ppt

5 3等比数列及其前n项和 一 等比数列的有关概念1 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 通常用字母q表示 定义的表达式为 q n n 2 如果a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 且g 3 等比数列的通项公式为an 和an 4 等比数列的公比公式为qn 1 和qn m a1qn 1 amqn m 5 等比数列的前n项和公式sn 二 等比数列性质及应用已知等比数列 an 的前n项和为sn c c 1 数列 c an c 0 an an bn bn 也是等比数列 等也是等比数列 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 若m n p q 则 特别地 若m n 2p 则am an am an ap aq 5 数列sm s2m sm s3m s2m 仍是等比数列 此时 an 的公比q 1 4 a1an a2an 1 aman m 1 6 当n是偶数时 s偶 s奇 q 当n是奇数时 s奇 a1 s偶 q 7 若 an 是等差数列 则 c为非零常数 是等比数列 若 an 是各项为正的等比数列 则 logcan c 0 c 1 是等差数列 1 已知等比数列 an 的前三项依次为a 2 a 2 a 8 则an a 8 b 8 c 8 d 8 答案c因为 an 为等比数列 所以 a 2 2 a 2 a 8 解得a 10 a1 a 2 8 q an a1qn 1 8 故选c c 2 如果数列 an 满足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为1 公比为2的等比数列 那么an等于 a 2n 1 1b 2n 1c 2n 1d 2n 1答案ban an 1 a1qn 1 2n 1 即相加得an a1 2 22 2n 1 2n 2 故an a1 2n 2 2n 1 故选b c 3 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 a n 2n 1 b n 1 2c n2d n 1 2答案c a5 a2n 5 22n 且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 5 2n 1 n2 c 4 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3等于 a 1 2b 2 3c 3 4d 1 3答案c解法一 s6 s3 1 2 an 的公比q 1 由 得q3 解法二 因为 an 是等比数列 所以s3 s6 s3 s9 s6也成等比数列 即 s6 s3 2 s3 s9 s6 将s6 s3代入上式可得 故选c c 5 已知 an 为等比数列 a3 2 a2 a4 则 an 的通项公式为 答案an 2 33 n或an 2 3n 3解析解法一 设等比数列 an 的公比为q 则q 0 a2 a4 a3q 2q 所以 2q 解得q1 q2 3 当q 时 a1 18 所以an 18 2 33 n 当q 3时 a1 所以an 3n 1 2 3n 3 所以an 2 33 n或an 2 3n 3 c 解法二 由a3 2 得a2a4 4 又a2 a4 则a2 a4为方程x2 x 4 0的两根 解得或 当a2 时 q 3 an a3 qn 3 2 3n 3 当a2 6时 q an 2 33 n 所以an 2 3n 3或an 2 33 n 6 已知数列 an 和数列 bn 均为正项等比数列 其前n项之积分别为pn qn 且 则 答案解析 p9 a1a2a3 a9 q9 b1b2b3 b9 c 等比数列的判定与证明典例1 1 2014重庆 2 5分 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 a a1 a3 a9成等比数列b a2 a3 a6成等比数列c a2 a4 a8成等比数列d a3 a6 a9成等比数列 2 2014课标 17 12分 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 证明 b均不正确 又 q6 a2 a8 q8 同理 c不正确 由 q10 a3 a9 q10 知d正确 2 由an 1 3an 1得an 1 3 又a1 所以是首项为 公比为3的等比数列 答案 1 d解析 1 不妨设公比为q 则 q4 a1 a9 q8 a2 a6 q6 当q 1时 a 所以an 因此 an 的通项公式为an 证明 由 知 因为当n 1时 3n 1 2 3n 1 所以 于是 1 所以 等比数列的判定与证明方法 1 定义法 若 q q为非零常数 n n 或 q q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 2 等比中项法 若数列 an 中 an 0且 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 1 1 2015浙江名校 衢州二中 交流卷二 20 已知数列 an 满足a1 1 a2 an 1 an an 1 0 n 2 n n 1 求证 数列是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 设sn 求证 sn 2 解析 1 证明 an 1 an an 1 0 an 1 an 2 n 2 n n 数列是首项为a2 a1 2 公比为2的等比数列 2 由 1 知 an 1 an 2n 两边同除以2n 1 得 c 令bn 则bn 1 bn 即bn 1 是首项为 公比为的等比数列 bn an 2nbn 3 证明 2 2 n 2时 an a1 2n 1a1 2n 1 即有n 2时 sn 1 2 2 等比数列的基本运算典例2 1 2015湖南 14 5分 设sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3s1 2s2 s3成等差数列 则an 2 2013江苏 14 5分 在正项等比数列 an 中 a5 a6 a7 3 则满足a1 a2 an a1a2 an的最大正整数n的值为 答案 1 3n 1 2 12解析 1 设等比数列 an 的公比为q q 0 依题意得a2 a1 q q a3 a1q2 q2 s1 a1 1 s2 1 q s3 1 q q2 又3s1 2s2 s3成等差数列 所以4s2 3s1 s3 即4 1 q 3 1 q q2 所以q 3 q 0舍去 所以an a1qn 1 3n 1 2 设等比数列的公比为q 则q 0 c 由得a1 q 2 由a1 a2 an a1a2 an 得2n 1 检验知n 12时 212 1 211 n 13时 213 1a1a2 an的最大正整数n的值是12 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个基本量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 2 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 2 1 2015浙江模拟评估测试卷二 11 4分 已知数列 an 和数列 bn 均为正项等比数列 其前n项之积分别为pn qn 且 则 答案解析 a1 a2 a3 an a2n 3 a2n 2 a2n 1 p2n 1 同理 q2n 1 故 得 2 2 2014江苏 7 5分 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6的值是 c 解析由a8 a6 2a4 两边都除以a4 得q4 q2 2 即q4 q2 2 0 q2 2 q2 1 0 q2 2 a2 1 a6 a2q4 1 22 4 答案4 等比数列的性质典例3 1 2014大纲全国文 8 5分 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3 s4 15 则s6 a 31b 32c 63d 64 2 2014大纲全国理 10 5分 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则数列 lgan 的前8项和等于 a 6b 5c 4d 3 答案 1 c 2 c解析 1 由等比数列的性质得 s4 s2 2 s2 s6 s4 即122 3 s6 15 解得s6 63 故选c 2 由题意知a1 a8 a2 a7 a3 a6 a4 a5 10 数列 lgan 的前8项和等于lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a4 a5 4 4lg a4 a5 4lg10 4 故选c 等比数列性质与等差数列性质的比较 应用等比数列与等差数列的通项公式和性质有许多相似之处 其中等差数列中的 和 倍数 可以与等比数列中的 积 幂 相类比 3 1 2015浙江绍兴一中月考 4 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s10 s5 1 2 则 a b c d 答案d解析设s10 k 则s5 2k 由s5 s10 s5 s15 s10成等比数列可得s15 k 所以原式 3 2 2015宁波一模 10 6分 若正项等比数列 an 满足a2 a4 3 a3a5 1 则公比q an c 答案 解析由等比数列性质可知 a3a5 1 因为an 0 故a4 1 又a2 a4 3 故a2 2 则q a1 2 故an a1qn 1 2 3 3 2014广东 13 5分 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 答案50解析因为等比数列 an 中 a10 a11 a9 a12 所以由a10a11 a9a12 2e5 可得a10 a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1 a2 a20 ln a10 a11 10 10ln a10 a11 10 lne5 50 c 等比数列的综合问题典例4 2015浙江高考冲刺卷 一 19 已知在递减的等比数列 an 中 a1 3a2 a3 2成等比数列 且4a2 a3 1 4a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 问是否存在正整数k 使得sn sn k sn 2k成等差数列 若存在 请求出正整数k的值 若不存在 请说明理由 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 由题意知所以 c 解得或因为数列 an 是递减的等比数列 所以所以数列 an 的通项公式为an 7分 2 不存在 由 1 知sn 2 则sn sn 2k 2sn k 4 2 对于正整数k 有2k 1 0 则sn sn 2k 2sn k 0 故不存在正整数k 使得sn sn k sn 2k成等差数列 15分 4 1 2015嘉兴测试二 19 15分 如图 在平面直角坐标系xoy中 有一组圆心在x轴正半轴上的圆an n 1 2 与x轴的交点分别为a0 1 0 和an 1 an 1 0 a1 2 圆an 1的半径是圆an的直径 过圆心an作垂直于x轴的直线ln 在第一象限与圆an交于点bn an bn 1 试求数列 an 的通项公式 2 设曲边形