评述韦达定理的价值.doc

评述韦达定理的价值 1559年，法国数学家韦达提出一个关一元n次方程根与系数关系的定理：设方程a0xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an=0的n个根为想x1，x2，xn，那么x1+x2+xn= x1x2+x1x3+x1xn+xn-1xn=x1x2xn=（1）n 后人称为韦达定理。韦达(Viete,Francois)是法国十六世纪最有影响的数学家之一。1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于法国巴黎。他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这种关系称之为韦达定理(Vietes Theorem)。一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，它既是一个难点，也是一个重点，起到了一个灵魂的作用。其知识脉络贯穿于中学数学的始终。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可进一步研究跟的性质，也可以将一些表面上看上去不是与原二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用非常广泛。它不仅可以解答方程的问题同样也可以解答几何中的问题。韦达定理解答了多方面的问题，涉及的面很广泛，充分发挥了它在数学领域中的价值。下面我们就来看一下他的具体应用。1. 用韦达定理来解决方程或方程组的问题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，从而使这些问题得到顺利的解决。例1 解决方程 。解 因为，而，所以由韦达定理知，和是一元二次方程t2-t+1=0的两个根。由于这个方程的两个根为t1=3,t2=,所以，可得 或 因为与等价，而与等价，所以，我们只需解与即可。分别解这两个方程，得x1=5，x2=-5。经检验知，x1=5和x2=-5是原方程的解。例2 解方程组 解 将原方程组变形为 有韦达定理知，和是方程t2-5t+6=0的两个根,而该方程的两个根是t1=3, t2=2,因此，可得 ，或，。对于，由韦达定理知，x和是方程u2-3u+2=0的两个根，而该方程没有实数解，故方程组 ，没有实数解。经检验知， ， 是原方程组的解。摘自里用韦达定理解方程（组） 王瑞琦2.韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系，应用十分广泛，我们在学习中英领悟定理的本质意义，由浅入深地掌握运用此定理惊醒阶梯的三个层次。（1）根据题目条件，直接用定理若问题要求一元二次方程中字母系数的值，或求与一元二次方程的根有关的代数式的值，或就做符合条件的一元二次方程等，可直接运用韦达定理。例 已知方程2x2+kx+6=0的一个根是2，求方程的另一根及k的值。 解析 设方程的另一个根为x1,由韦达定理：,. 又 ，（2）注意前提条件，准确运用定理韦达定理运用的前提条件是一元二次方程有实数根，即0解题时必须注意这一前提条件，以免造成错解。例 已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0的两实根为x1、x2，且（x1+x2）2-(x1+x2)-12=0,求m的值。 解析 由（x1+x2）2-(x1+x2)-12=0得x1+x2=4或x1+x2=-3， 有根据韦达定理知x1+x2=2(m-1)当2(m-1)-4时，解得m=3当2(m-1)=-3时，解得m=-把m=3代入原方程，得x2-4x+6=0,=16-240.符合题意。综上所述，m的值为-.3.韦达定理在物理学当中也充分的发挥了其本身的价值。 例 1 在 一闭合电路中，电源电动势为E,内电阻为r，当外电阻为R1时，电路中的电流为I1，电源的输出功率为P;当外电阻为R2时，电路中的电流为I2，电源的输出功率仍为P，则下列结论中正确的是( ) (A)R1R2=r2. (B)R1+R2=. (C)I1I2=. (D)I1+I2=分析 根据选项（A）(B)，选择电阻R为自变量，列函数关系式，有闭合电路的欧姆定律及功率公式得 ， P=I2R ， 把式代入式得P= 2 R ， 式化简得PR2+(2rp-E2)R+Pr2=0， 式是关于R的一元二次方程，由韦达定理得再根据选项(C)、(D)，选择I为自变量，列函数关系式。由闭合电路欧姆定律及功率公式得, 把式化为一元二次方程 , 式是关于I的一元二次方程，由韦达定理得 由此可知，(A)、（C）、(D)正确。例 2以初速度V0竖直上抛一物体，已知t,s上升到h高处，在t2s末又回到同一高度h上，试证明 分析 要证明的式子中有时间和、时间积的项，由此就会想到建立关于时间t