行测-容斥原理与牛吃草问题.docx

容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。1.容斥原理1两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：公式：AB=A+B-AB总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数A，语文得满分人数B，数学、语文都是满分人数AB，至少有一门得满分人数AB。AB=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。2.容斥原理2三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如图所示，灰色部分AB-ABC、BC-ABC、CA-ABC都被重复计算了1次，黑色部分ABC被重复计算了2次，因此总数ABC=A+B+C-(AB-ABC)-(BC-ABC)-(CA-ABC)-2ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC。即得到：公式：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?参加足球队A，参加排球队B，参加游泳队C，足球、排球都参加的AB，足球、游泳都参加的CA，排球、游泳都参加的BC，三项都参加的ABC。三项都参加的有ABC=ABC-A-B-C+AB+BC+CA=45-25-22-24+12+9+8=3人。3.用文氏图解题文氏图又称韦恩图，能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述3个集合的情况。【例3】某班有50 位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15 人，数学不及格的有19 人，英文和数学都及格的有21 人。那么英文和数学都不及格的有( )人。A.4 B.5 C.13 D.17解析：如图所示，按英文及格、数学及格画2个圆圈，根据题干条件确定它们重叠。二、抽屉原理能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少，才能保证”字样。抽屉原理1将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。(至少有2件物品在同一个抽屉)抽屉原理2将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。(至少有m+1件物品在同一个抽屉)下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。【例1】将5件物品放到3个抽屉里，要想保证任一个抽屉的物品最少，只能每个抽屉放一件，有5件物品，放了3件，还剩5-31=2件，这两件只能分别放入两个抽屉中，这样物品最多的抽屉中也只有2件物品中公.教育版权。即当物品数比抽屉数多时，不管怎么放，总有一个抽屉至少有2件物品。【例2】将10件物品放到3个抽屉里呢?将22件物品放到5个抽屉里呢?同样，按照前面的思路，要想保证任一个抽屉的物品数都最少，那么只能先平均放。103=31，则先每个抽屉放3件，还剩余10-33=1件，随便放入一个抽屉中，则这个抽屉中的物品数为3+1=4件。225=42，则先每个抽屉放4件，还剩余22-45=2件，分别放入两个抽屉中，则这两个抽屉中的物品数为4+1=5件。即如果物体数大于抽屉数的m倍，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1。1.利用抽屉原理解题一般来说，求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理，其解题流程如下：(1)找出题干中物品对应的量;(2)合理构造抽屉(简单问题中抽屉明显，找出即可);(3)利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。【例题1】外国讲星座，中国传统讲属相。请问在任意的37个中国人中至少有几个人的属相相同?A.3 B.4 C.5 D.6解析： 属相有12种，看成12个抽屉，则至少有一个抽屉有不少于=4个人，即至少有4个人属相相同，选B。2.考虑最差(最不利)情况抽屉问题所求多为极端情况，即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉，要有(取)多少件物品，才能保证至少有一个抽屉中有m个物体”，即求物品总数时，考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下：最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品，因此只能将物品均匀放入n个抽屉中。当物品总数=n(m-1)时，每个抽屉中均有m-1个物品，此时再多1个，即可保证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n(m-1)+1。【例题2】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同?A.21 B.22 C.23 D.24解析：此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王;红桃、方块、黑桃、梅花各13张。至少抽出多少张牌求取物品的件数，考虑最差情况中公.教育版权。要求6张牌的花色相同，最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张，再加上大王、小王，此时共取出了45+2=22张，此时若再取一张，则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？摘录条件：27头6天原有草+6天生长草23头9天原有草+9天生长草21头？天原有草+？天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为1，由条件可知，前后两次青草的问题相差为239-276=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）3天生长出来的，所以每天生长的青草为453=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量276=162第二次吃草量239=207每天生长草量453=15原有草量（27-15）6=72或162-156=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么726=12（天）初中解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。那么可以列方程：x+6y=276x+9y=239解得x=72,y=15若放21头牛，设n天可以吃完，则：72+15n=21nn=12例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台20天原有水+20天入库量6台15天原有水+15天入库量？台6天原有水+6天入库量小学解答：设1台1天抽水量为1，第一次总量为520=100，第二次总量为615=90每天入库量(100-90)(20-15)=220天