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文档简介

快乐学习，尽在中小学教育网证线段不等的十种方法王永会在证明线段不等关系时，对于初学几何的同学来说可能摸不着头绪，找不到切入点，为了帮助同学们学习，现提供十种方法仅供参考。一. 平移法平移法是指在遇不相邻等线段的情况下通过平移三角形使问题得以解决。例1. 如图1，已知，在中，ACBC，AD=BE，求证：CD+CECD+CE二. 对称法对称法是指通过轴对称变换可使某些几何元素集中，关系更密切，更明朗，易于找到解题途径。例2. 如图2，已知中，ABAC，AD是BC边上的高，E是AD延长线上的一点，且DEAB-AC。图2证明：由，作E点关于BC的轴对称点E，则又作点C关于AE的轴对称点C，则设，设与相交于点，因为，所以，所以所以即EB-ECAB-AC。三. 旋转法旋转法是指一般在遇到相邻等线段时，旋转某个含有等线段中的一条的三角形，使其到与另一条线段重合的位置，从而把要求证的结论与原三角形联系起来。例3. 如图3，已知中，AB=AC，P是内一点，且。求证：PCPB。图3证明：把绕点A旋转到的位置，因，故AC和AB重合，因为，又所以所以所以，又因为，所以PCPB四. 延长法延长法是指延长某条线段可以使要求证的线段联系起来，从而利用有关联的三角形中的不等关系来达到证明的目的。例4. 如图4，已知P为内一点，求证：AB+ACPB+PC。证明：延长BP交AC于D。图4在中，AB+ADBP+PD，在中，CD+PDPC，所以AB+AD+CD+PDBP+PD+PC，所以AB+ACPB+PC五. 截补法截补法是指在证明线段的和或差不等时，截长补短，然后依和差关系来达到求证的目的。例5. 如图5，已知中，ABAC，P是角平分线AD上的点。求证：PBPC。图5证明：由ABAC，可在AB上截取AE=AC。连结EP，则，所以因为，即，所以PBPE，即PBPC六. 面积法例6. 如图6，中，G为重心，EF过G与AB、AC分别交于E、F。求证：。图6证明：连结AG，再连结BG并延长交AC于D点，E在AB上，F必在CD上。因为G是重心，所以BG=2GD，所以，故。七. 反证法例7. 如图7，在凸四边形ABCD中，已知。求证：ABDC，所以AB+BDAC+CD这与已知条件相矛盾，所以ABAC，BD，CE分别是AC，AB边上的高。求证：AB+CEAC+BD图8证明：在中，所以，A为锐角，所以，所以，又ABAC，两边都乘以正数，得，所以，所以九. 传递法根据不等式的传递性进行证明。欲证，只需要证得即可。例9. 已知BC为的最大边，D、E分别是AB、AC上的任意两点，求证：。图9证明：如图9，连结BE，则，因BC为的最大边，故。又，故，所以。由与，可得到。十. 化直法先将曲线化为折线，再把折线化为直线（段）然后加以证明，可简喻为化直法。这种方法充分反映了“静止”与“运动”间的对立统一。例10. 已知为正三角形，为它的内接三角形，顶点D、E、F分别在BC、CA、AB
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