量子力学习题答案.docx

2.1如图所示 U(x) U0左1(x) 右2(x) 0 x设粒子的能量为E，下面就EU0和EU0的情形此时，粒子的波函数x所满足的定态薛定谔方程为d21dx2+k121=0d22dx2+k222=0其中k12=2m2E , k22=2m2(E-U0)其解分别为1x=Aeik1x+Ae-ik1x2x=Beik2x+Be-ik2x（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以B为零由波函数的连续性1x|x=0=2x|x=0得 A+A=B d1dx|x=0=d2dx|x=0得 k1A-k1A=k2B解得A=k1-k2k1+k2AB=2k1k1+k2A由概率流密度公式J=2mi(*-*) 入射J=k1m|A|2JR=k1mA2 ,JT=k2m |B|2反射系数 R=JRJ=AA2=k1-k2k1+k22透射系数 T=JTJ=BA2=k2k12k1k1+k22（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以A为零同理可得两个方程B+B=A k2B-k2B=-k1A解 B=k2-k1k2+k1BA=2k2k2+k1BJ=k2m|B|2JR=k2mB2 ,JT=k1m |A|2反射系数R=BB2=k2-k1k2+k12透射系数T=AB2=k1k22k2k2+k12（二）E0时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为d2dx2+k2=0k2=2m2E其解是x=Asinkx+由波函数连续性条件得Asin=0Asinka+=0=l1 ,ka+=l2 ka=l1-l2=nn=1,2,3,4E=n2222ma2相应的k=nanx=Asinnax+l1=Asinnax因为正负号不影响其幅度特性可直接写成nx=Asinnax由波函数归一化条件得0anx2dx=A20asin2naxdx=A20a1-cos2nax2dx=a2A2=1 A=2a 所以波函数 nx=2asinnax（2） Ux 左l 中 右r -a2 0 a2 x显然l=r=0E0时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为d2dx2+k2=0k2=2m2E其解是x=Asinkx+由波函数连续性条件得Asin-ka2+=0Asinka2+=0-ka2+=l1 ,ka2+=l22=l1+l2=l=l2当l=2m，m为任意整数， =m则ka=2m-l1=2l2-m=2n1, n1=1,2,3当l=2m+1，m为任意整数， =m+2则ka=2m-l1+=2l2-m+1+=2n1+1综合得 ka=n,n=1,2,3E=n2222ma2当n=2n1时， =m，波函数nx=Asinnax归一化后nx=2asinnax当n=2n1+1时， =m+2，波函数nx=Acosnax归一化后nx=2acosnax2.4如图所示 Ux U0 左l 中m 右r 0 a显然l=0在中间和右边粒子的波函数x所满足的定态薛定谔方程为d2mdx2+k12m=0d2rdx2-k22r=0其中 k12=2m2E , k22=2m2(U0-E)其解为 mx=Asink1x+rx=Bek2x+Be-k2x由在右边波函数的有界性得B为零 mx=Asink1x+rx=Be-k2x再由连续性条件，即由lx|x=0=mx|x=0得 Asin=0 则mx=Asink1xmx|x=a=rx|x=a得 Asink1a=Be-k2a (I) dmdx|x=a=drdx|x=a得 Ak1cosk1a=-k2Be-k2a (II) (II)除以(I)得k1cotk1a=-k2k1a=n+cot-1-k2k1再由公式cot-1x=sin-111+x2 ,注意到k12+k22=2m2U0 k1a=n-sin-1k12mU0 令y1=k1a, y1=n-sin-1k12mU0 则k1=-2mU0siny1-n,其中-2y1-n0 不同n对应不同曲线,图中只画出了在y1的取值范围之内的部分 y1 y1=k1a 6 n=6 5 n=5 4 n=4 3 n=3 2 n=2 n=1 0 2mU0 n=0k1 k1只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，k1，k2确定mx=Asink1xrx=Asink1aek2ae-k2x归一化条件得0amx2dx+arx2dx=A20asin2k1xdx+A2sin2k1ae2k2aae-2k2xdx=A20a1-cos2k1x2dx+A2sin2k1a2k2=A2a2-14k1sin2k1a+12k2sin2k1a=A2a2-14k12tank1a1+tan2k1a+12k2tan2k1a1+tan2k1a=A2a2+14k12k1k21+k1k22+12k2k1k221+k1k22=A2a2+12k2=1A=a2+12k2-122.5Ux=12m2x2+2xm2=12m2x+m22-m22=12m2x+m22-122m2则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为d2dx2+2m2E+122m2-12m2x+m22=0令 E=E+122m2 x=x+m2则上式可化成d2dx2+2m2E-12m2x2=0令=x =m =2E则d2d2+-2=0只有当-1=2n有解n=e-122HnEn=En+122m2=n+12nx=Nne-12x2Hnx En=n+12-122m2 n=0,1,2,3 nx=Nne-122x+m22Hnx+m2Nn=2nn!2.6由n=2nn!e-122Hn 和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为H=E即-22m2x2+2y2=E-12m2x2+y2分离变量法，令=x y E=Ex+Ey则有x+2m2Ex-12m2x2x=0 y+2m2Ey-12m2y2y=0 令x=x =m x=2Ex则d2xdx2+x-x2x=0x-1=2nxxnx=Nnxe-12x 2Hnxx Exnx=nx+12 nx=0,1,2,3同理 yny=Nnye-12y 2Hnyy Eyny=ny+12 ny=0,1,2,3令n=nx+ny则En=Exnx+Eyny=nx+ny+1=n+1 n=0,1,2,3nm=NmNn-me-12x 2e-12y 2Hmx Hn-my m=0,1,2n式中Nn=2nn!En能级简并度为 n+13.2角动量算符 L=rp=x+yPx+Py在极坐标系下 L=-i则 H=L22I由能量本征值方程 H=E22+2I2E=0令 k=2I2E其解为=Aeik由周期性0=2得 k=n归一化条件 022d=A22=1则 A=12=12einEn=n222ma23.4H=p22m+Ur=-22m2+Ur由能量本征值方程 H=E-22m2=E-Ur令 r,=RrY,当l=0时 r,=R0rY00,=R0r 令Ur=R0rr 此时Ur 满足的方程为d2Udr2+2m2 E-UrU=00ra 时d2U2dr2+2m2 EU2=0只考虑-U0 E0时 令 k12= 2m2 E+U0 k22= -2m2 E 其解分别为 U1r=Asink1r+ U2r=Bek2r+Be-k2r由波函数有界性 R01r|x=0/ 得 U1r=Asink1r U2r=Be-k2r由波函数连续性R01r|x=a=R02r|x=a得 Asink1a=Be-k2a .(I) R01r|x=a=R02r|x=aAk1acosk1a-Asink1a=-k2aBe-k2a-Be-k2a .(II)II除以I得 k1acotk1a-1=-k2a-1k1cotk1a=-k2k1a=n+cot-1-k2k1再由公式cot-1x=sin-111+x2 ,注意到k12+k22=2m2U0 k1a=n-sin-1k12mU0 令y1=k1a, y1=n-sin-1k12mU0, 则k1=-2mU0siny1-n,其中-2y1-n0 不同n对应不同曲线,图中只画出了在y1的取值范围之内的部分 y1 y1=k1a 6 n=6 5 n=5 4 n=4 3 n=3 2 n=2 n=1 0 2mU0 n=0 k1 k1只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，k1，k2确定U1r=Asink1rU2r=Asink1aek2ae-k2r归一化条件得0aU1rr24r2dr+aU2rr24r2dr=1 可求得A=a8+18k1-12,具体求法见2.43.5记Ylm,=|lm LyLz-LzLy=iLxLx=1iLyLz-LzLyLx=lmLxlm1i-=1iLz-Lz|lm*Lylm=0同理 Ly=0方差算符 Lx2=Lx-Lx2=LxLx=1iLyLz-LzLyLx=1iLyLzLx-1iLzLyLx=1iLyLzLx-LxLz+LxLz-1iLzLyLx=1iLyiLy+LxLz-1iLzLyLx=Ly2+1iLyLxLz-1iLzLyLxLx2=Ly2则 Lx2=Ly2=12Lx2+Ly2=12lmLx2+Ly2lm12=12L2-Lz2=12l2+l-m22由测不准关系Lx2Ly224Lz2代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中 x=ip ，p=p 则 H=p22m-22m22p2代入 H=E 得 2p2+2m22E-p22m=0令 =p , =1m ,=2E得 d2d2+-2=0-1=2nn=e-122Hn 则 En=n+12 n=0,1,2,3 归一化后的 np=Nne-12p2HnpNn=2nn!4.5本征方程的矩阵形式a+E10bba+E20c1c2=Ec1c2=E00Ec1c2a+E10-Ebba+E20-Ec1c2=00上式c1 c2存在非零解的条件是deta+E10-Ebba+E20-E=0即 E2-2a+E10+E20E+a+E10a+E20-b2=0解得E1=2a+E10+E20+2a+E10+E202-4a+E10a+E20+4b22=2a+E10+E20+E10-E202+4b22E2=2a+E10+E20-E10-E202+4b22当 E=E1 c2c1=E1-a-E10b=E20-E10+E10-E202+4b22b再由 c12+c22=1得 c1 c2 =c1c2当 E=E2 ，同样第六章6.3解：在 表象，的矩阵元为其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得 同理可求得 对应于的本征函数为6.1设x在z的表象下的本征函数为x=ab ，本征值为x ，y在z的表象下的本征函数为y=cd ，本征值为y由x在z的表象下的矩阵得0110ab=xab-x11-xab=00方程有非零解的条件为det-x11-x=0，即x1=1,x2=-1 ，x的本征值、本征函数有两个当x1=1时，代入得 a=b 由波函数归一化条件得a2+b2=1有x1=2222同理x2=22-22由x在z的表象下的矩阵得0-ii0ab=yab-y-ii-yab=ab方程有非零解的条件为det-y-ii-y=0，即y1=1,y2=-1 ，y的本征值、本征函数有两个当y1=1时，代入得 a=ib 由波函数归一化条件得a2+b2=1有y1=22i22同理y2=22-i226.3节的证明题在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在L算符与S算符的相乘项）电子的哈密顿量为H=P22me+Ur-MLB-MSB求其本征值时转化为球坐标系下的方程Hr,=E则方程左边可分解为|r|sz三维表象下的三个方程，三个表象下各自的波函数相乘即是H的本征函数。|r表象下是n+l阶连带拉盖尔多项式Rnlr，记作Fr算符的本征值|表象下的方程显示的对的作用关系即是L2算符是球谐函数Ylm，是L2与Lz的共同本征函数|sz表象下是mssz其本征函数为RnlxYlm，mssz主量子数n=1,2,3,4，角量子数l=0,1,2，n-1轨道量子数m=0，1，2，l自旋量子数ms=12（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合电子的哈密顿量为H=P22me+Ur+rLS同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程Hr,=E|r表象下也是n+l阶连带拉盖尔多项式Rnlr|sz表象下的方程显示的对的作用关系即是总动量矩J2算符J=L+S ， L，S 是属于不同自由度的 ，Jx，Jy，Jz分别为其分量类似于在轨道角动量矩的性质J2，Jz具有共同本征函数下面先求Jz的本征函数Jz=Lz+SzLz的本征函数为球谐函数Ylm，本征值为m，m=0，1，2，lSz的本征函数为mssz，本征值为ms，ms=12则Jz的本征函数为Ylm，mssz，本征值为m+ms=mj显然Jz的简并度为2属于本征值mj的本征函数可表示为=aYlmj-12，12sz+bYlmj+12，-12sz,通过J2=J2，确定a，b可得|sz表象下的本征函数J2=Jx2+Jy2+Jz2这是定义类似于L2，不能直接L+S2=Lx+Sx2+Ly+Sy2+Lz+Sz2=Lx2+Ly2+Lz2+Sx2+Sy2+Sz2+2LxSx+LySy+LzSz=L2+S2+2LxSx+LySy+LzSz在|sz表象下=aYlmj-12，bYlmj+12，J2=L2+342+2Lx20110+Ly20-ii0+Lz2100-1=L2+342+LzLx-iLyLx+iLy-Lz由J2=J2求得（以下只要记住就行）J2=l12l12+12=jj+12j=l+12 时ab=l+mj+122l+1l-mj+122l+1j=l-12 时ab=l-mj+122l+1l+mj+122l+1至此该情况下的本征函数为Rnlr 主量子数n=1,2,3,4，角量子数l=0,1,2，n-1磁量子数mj=-l-12, -l+1-12, ,l+12内量子数j=l12量子力学全书重点1. 量子力学三大作用：奠基作用、渗透作用、设计作用2. 量子力学中粒子的特点单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性3. 量子力学的三大原理：态叠加原理：若波函数1，2，n ，是描述粒子的一些可能