4.5三角形中位线.doc

4.4三角形的中位线教学目标1、了解三角形的中位线的概念；2、了解三角形的中位线的性质“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半”和定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”；3、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力；4、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。教学重点、难点：重点是三角形的中位线定理。三角形的中位线定理的证明，因为其中添加辅助线的方法和思想学生比易掌握，是本节教学的难点。教学设想：结合教材编写思路，首先要创造性使用教材中的问题情景，把教材中不动的问题情景转化为学生互动的问题情景，使学生在互动中去感受。而有关的一些知识，都是在教师的引导下，经过学生充分的思考、讨论，并结合大量特例，由学生自己归纳、总结发现。此外，还要根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展，真正把课堂还给学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者。教学过程一、创设情境，引入新课情境1、如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？情境2、如图，如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，证明BE=EF=FD。首先要让学生叙述上述两个问题的类似之处：在三角形中都有两边的中点（隐含三角形的中位线）。在让学生口述清净2中问题的证明思路。在这里，只需要分析思路即可：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等。如要证BE=EF=FD，只要BE=EF和EF=FD即可。因此要首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后结合定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”证出。（在后面补充介绍）。二、合作学习，发展能力：2、动手操作：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形，剪痕的位置有什么要求？（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？3、引导学生概括出中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。三角形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路。）问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。并结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在ABC中，画出中线、中位线4、猜想：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）三、师生互动，探究新知1、证明你的猜想（引导学生写出已知，求证，并启发分析）已知：ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DEBC。启发1：证明直线平行的方法有哪些？（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）启发2：证明线段的倍分的方法有哪些？（截长或补短）学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强调有其他证法。证明：如图，以点E为旋转中心，把ADE绕点E，按顺时针方向旋转180，得到CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且ADECFE。ADE=F，AD=CF，ABCF。又BD=AD=CF，四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），DFBC（根据什么？），DEBC。2、进行题后小结：对于一些没能直接进行证明的问题，我们通常采用的思想是将它转化为我们熟悉的图形，如上面的证明方法，就是将三角形的中位线（新知识）转化为平行四边形和全等三角形（旧知识），进行证明的，当然这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线。可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明。如右图中的辅助线等。我们可以发现：主要思路还是进行适当的转化。l）延长DE到F，使EF=DE，连结CF，由ADECFE，可得ADFC。（2）延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得ADFC。（3）过点C作CFAB，与DE延长线交于F，通过证ADECFE，可得ADFC。3、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半三角形中位线定理。为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析三角形中位线定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（也可以单独用其中结论）。四、学以致用、落实新知1、练一练：已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？2、想一想：如果ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则DEF的周长是多少？例1、已知：如图 ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点 （1）指出图中有几个平行四边形（2）图中与DEF全等的三角形有哪几个（3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为_cm（4）若ABC周长为6cm,面积为12cm2,则DEF的周长是 _cm,面积是_cm例2、已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形。若学生在此时一时间找不到思路，则可进行如下的启发：启发1：由E，F分别是AB，BC的中点，你会联想到什么图形？启发2：要使EF成为三角的中位线，应如何添加辅助线？应用三角形的中位线定理，能得到什么？你能得出EFGH吗？为什么？证明：如图，连接AC。EF是ABC的中位线，EFAC（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边一半）。同理，HGAC。EFHG。四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）挑战：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边中点得到一个四边形，继续作下去你能得出什么结论？五、学生练习，巩固新知1、请回答引例中的问题（1）2、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC， BD的中点。求证：PNM=PMN。3、拓展：如图，