【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 第13讲 二次函数及其图象教学案.doc

第13讲二次函数及其图象陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1二次函数的定义及解析式会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)2k的形式考点2二次函数的图象及性质1.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；2.会利用二次函数的图象估计相应的一元二次方程的解的大致范围；3.能由表达式ya(xh)2k得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴2014选择题103二次函数的图象与系数的关系解答题2410二次函数与平行四边形结合求二次函数的解析式及点的坐标，并对抛物线进行平移，判断结论2013选择题103二次函数图象性质的应用及对称性的考查解答题2410二次函数与相似三角形结合，求抛物线的对称轴及解析式2012选择题103二次函数图象的平移解答题2410二次函数与三角形的判定结合，涉及存在性问题10.8%陕西近三年中考对本节内容的考查主要考查二次函数图象与性质，每年都考查2道题，固定在选择题的第10题和解答题的第24题第10题主要考查二次函数的图象与性质与抛物线的平移，第24题考查的综合性较强，主要涉及三种考查形式，如二次函数与平行四边形的性质结合、二次函数与三角形相似结合、二次函数与三角形的判定结合解决此类题，主要是利用数形结合和分类讨论思想，将函数的有关问题与相关图形联系起来预计在2015年的中考仍会延续以往命题特点进行考查本节是陕西中考的重心所在，考生在复习时应熟练掌握本节的考点，通过做习题多加训练，以便从容应考1定义：形如函数_yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0)_叫做二次函数2利用配方，可以把二次函数yax2bxc表示成_ya(x)2_3图象与性质二次函数的图象是抛物线，当_a0_时抛物线的开口_向上_，这时当_x_时，y的值随x的增大而_减小_；当_x_时，y的值随x的增大而_增大_；当x_时，y有_最小值_当_a0_时抛物线的开口_向下_，这时当x时，y的值随x的增大而_增大_；当_x_时，y的值随x的增大而_减小_；当x_时，y有_最大值_抛物线的对称轴是直线x_，抛物线的顶点是_(，)_4图象的平移(1)ya(xh)2k是由yax2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为_(h，k)_，其平移规律是：“h左加右减，k上加下减”(2)yax2(a0)的图象ya(xh)2的图象ya(xh)2k的图象二次函数的三种解析式(1)一般式yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；(2)交点式ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)；(3)顶点式ya(xh)2k(a，h，k是常数，a0)(4)三种解析式之间的关系：顶点式一般式交点式(5)解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件：已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比较方便抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反二次函数与二次方程间的关系已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0，求自变量x的值二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况1(2014陕西)二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( c )ac1bb0c2ab0 d9ac3b2(2013陕西)已知两点a(5，y1)，b(3，y2)均在抛物线yax2bxc(a0)上，点c(x0，y0)是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是( b )ax05 bx01c5x01 d2x033(2012陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( b )a1b2c3d64(2014陕西)已知抛物线c：yx2bxc经过a(3，0)和b(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为m，它的对称轴与x轴的交点记为n.(1)求抛物线c的表达式；(2)求点m的坐标；(3)将抛物线c平移到c，抛物线c的顶点记为m，它的对称轴与x轴的交点记为n.如果以点m、n、m、n为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线c怎样平移？为什么？解：(1)抛物线yx2bxc经过a(3，0)和b(0，3)两点，解得故此抛物线的解析式为：yx22x3(2)由(1)知抛物线的解析式为：yx22x3，当x1时，y4，m(1，4)(3)由题意，以点m、n、m、n为顶点的平行四边形的边mn的对边只能是mn，mnmn且mnmn，mnnn16，nn4.i)当m、n、m、n为顶点的平行四边形是mnnm时，将抛物线c向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线c；ii)当m、n、m、n为顶点的平行四边形是mnmn时，将抛物线c先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线c.上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线c.5(2013陕西)在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点a(1，0)、b(3，0)两点(1)写出这个二次函数图象的对称轴；(2)设这个二次函数图象的顶点为d，与y轴交于点c，它的对称轴与x轴交于点e，连接ac、de和db，当aoc与deb相似时，求这个二次函数的表达式(提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为a(x1，0)、b(x2，0)，那么它的表达式可表示为ya(xx1)(xx2)解：(1)二次函数的图象经过点a(1，0)、b(3，0)两点，二次函数图象的对称轴为直线x2(2)设二次函数的表达式为：ya(x1)(x3)(a0)，当x0时，y3a，当x2时，ya，点c坐标为：(0，3a)，顶点d坐标为：(2，a)，oc|3a|，又a(1，0)，e(2，0)，ao1，eb1，de|a|a|，当aoc与deb相似时，假设ocaebd，可得，即，a或a，假设ocaedb，可得，此方程无解，综上所述，所得二次函数的表达式为：yx2x或yx2x. 6(2012陕西)如果一条抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”(1)“抛物线三角形”一定是_等腰_三角形；(2)若抛物线yx2bx(b0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图，oab是抛物线yx2bx(b0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点o为对称中心的矩形abcd？若存在，求出过o、c、d三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由. 解：(2)当抛物线yx2bx(b0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点(，)，满足(b0)，则b2(3)存在如图，作ocd与oab关于原点o中心对称，则四边形abcd为平行四边形当oaob时，平行四边形abcd是矩形，又aoab，oab为等边三角形aob60，作aeob，垂足为e，aeoetanaoboe，(b0)，b2，a(，3)，b(2，0)，c(，3)，d(2，0)，设过点o，c，d的抛物线为ymx2nx，则解得故所求抛物线的表达式为yx22x利用二次函数的图象与性质解题【例1】(2013广州)已知抛物线y1ax2bxc(a0，ac)过点a(1，0)，顶点为b，且抛物线不经过第三象限(1)使用a，c表示b；(2)判断点b所在象限，并说明理由；(3)若直线y22xm经过点b，且与该抛物线交于另一点c(，b8)，求当x1时，y1的取值范围解：(1)抛物线y1ax2bxc(a0，ac)，经过a(1，0)，把点代入函数即可得到bac(2)b在第四象限，理由如下：抛物线y1ax2bxc(a0，ac)过点a(1，0)，x11，x2，ac，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a0，且顶点在第四象限(3)c(，b8)，且在抛物线上，b80，b8，acb，ac8，把b，c两点代入直线解析式易得ca4，即解得如图所示，c在a的右侧，当x1时，y12【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题，根据数形结合得出是解题的关键1(2014贺州)二次函数图象的顶点在原点o，经过点a(1，)，点f(0，1)在y轴上直线y1与y轴交于点h.(1)求二次函数的解析式；(2)点p是(1)中图象上的点，过点p作x轴的垂线与直线y1交于点m，求证：fm平分ofp；(3)当fpm是等边三角形时，求p点的坐标解：(1)二次函数图象的顶点在原点o，设二次函数的解析式为yax2，将点a(1，)代入yax2，得a，二次函数的解析式为yx2(2)证明：点p在抛物线yx2上，可设点p的坐标为(x，x2)，过点p作pby轴于点b，则bfx21，pbx，rtbpf中，pfx21，pm直线y1，pmx21，pfpm，pfmpmf，又pmy轴，mfhpmf，pfmmfh，fm平分ofp(3)解：当fpm是等边三角形时，pmf60，fmh30，在rtmfh中，mf2fh224，pfpmfm，x214，解得x2，x2123，满足条件的点p的坐标为(2，3)或(2，3)结合几何图形的函数综合题【例2】(2013玉林)如图，抛物线y(x1)2c与x轴交于a，b(a，b分别在y轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点c，顶点为点d，已知a(1，0)(1)求点b，c的坐标；(2)判断cdb的形状并说明理由；(3)将cob沿x轴向右平移t个单位长度(0t3)得到qpe，qpe与cdb重叠部分(如图中阴影部分)面积为s，求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解：(1)点a(1，0)在抛物线y(x1)2c上，0(11)2c，得c4，抛物线解析式为y(x1)24，令x0，得y3，c(0，3)；令y0，得x1或x3，b(3，0)(2)cdb为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点d的坐标为(1，4)如答图所示，过点d作dmx轴于点m，则om1，dm4，bmobom2.过点c作cndm于点n，则cn1，dndmmndmoc1，在rtobc中，由勾股定理得bc3；在rtcnd中，由勾股定理得cd；在rtbmd中，由勾股定理得bd2.bc2cd2bd2，cdb为直角三角形(勾股定理的逆定理)(3)设直线bc的解析式为ykxb，b(3，0)，c(0，3)，解得k1，b3，yx3，直线qe是直线bc向右平移t个单位得到，直线qe的解析式为y(xt)3x3t；设直线bd的解析式为ymxn，b(3，0)，d(1，4)，解得m2，n6，y2x6.连接cq并延长，射线cq交bd于点g，则g(，3)，在cob向右平移的过程中：()当0t时，如答图所示：设pq与bc交于点k，可得qkcqt，pbpk3t，设qe与bd的交点为f，则解得f(3t，2t)，ssqpespbksfbepepqpbpkbeyf33(3t)2t2tt23t()当t3时，如答图所示：设pq分别与bc，bd交于点k，点j.cqt，kqt，pkpb3t.直线bd解析式为y2x6，令xt，得y62t，j(t，62t)sspbjspbkpbpjpbpk(3t)(62t)(3t)2t23t，综上所述，s与t的函数关系式为s【点评】本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点第(3)问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系2(2014无锡)如图，二次函数yax2bx(a0)的图象过坐标原点o，与x轴的负半轴交于点a，过a点的直线与y轴交于点b，与二次函数的图象交于另一点c，且c点的横坐标为1，acbc31.(1)求点a的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为f，其对称轴与直线ab及x轴分别交于点d和点e，若fcd与aed相似，求此二次函数的关系式解：(1)如图，过点c作cmoa交y轴于点m.acbc31，.cmoa，bcmbao，oa4cm4，点a的坐标为(4，0)(2)二次函数yax2bx(a0)的图象过a点(4，0)，16a4b0，b4a，yax24ax，对称轴为直线x2，f点坐标为(2，4a)设直线ab的解析式为ykxn，将a(4，0)代入，得4kn0，n4k，直线ab的解析式为ykx4k，b点坐标为(0，4k)，d点坐标为(2，2k)，c点坐标为(1，3k)c(1，3k)在抛物线yax24ax上，3ka4a，ka.aed中，aed90，若fcd与aed相似，则fcd是直角三角形，fdcade90，cfd90，fcd90，fcdaed.f(2，4a)，c(1，3k)，d(2，2