2018版高中数学 圆与方程4.14.1.2圆的一般方程学案新人教A版.docx

4.1.2圆的一般方程目标定位1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自 主 预 习1.圆的一般方程的定义(1)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点.(3)当D2E24F0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F0点M在圆上xyDx0Ey0F0点M在圆内xyDx0Ey0F0.【训练1】 如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_.解析由题意可知(2)2124k0，即k.答案类型二求圆的一般方程【例2】 已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解法一设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.圆心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二设ABC的外接圆方程为(xa)2(yb)2r2，A、B、C在圆上，解得即外接圆的圆心为(1，1)，半径为5，圆的标准方程为(x1)2(y1)225，展开易得其一般方程为x2y22x2y230.法三kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形.圆心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.展开得一般方程为x2y22x2y230.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.【训练2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程.解设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.类型三求动点的轨迹方程(互动探究)【例3】 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.思路探究探究点一直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？提示求轨迹方程的一般步骤：建系：建立适当的平面直角坐标系；设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；列式：列出关于x，y的方程；化简：把方程化简为最简形式；证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.探究点二动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？提示(1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.解设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3，5).又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1).故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3，5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，1)两点.规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法.直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.【训练3】 已知直角ABC的两个顶点A(1，0)和B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.解法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC.且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1).法二ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1).课堂小结1.圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1.方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A.k B.kC.k D.k0k4F)表示的曲线关于直线yx对称，那么必有()A.DE B.DFC.EF D.DEF解析方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线yx对称，所以圆心在直线yx上，即点在直线yx上，所以DE.故选A.答案A3.圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.解析圆心(1，2)到直线3x4y40的距离为3.答案34.求过三点A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)的圆的方程.解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.因为点A，B，C在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得于是得到所求圆的方程为x2y26x2y150.基 础 过 关1.已知圆x2y24x2y40，则圆心坐标，半径的长分别是()A.(2，1)，3 B.(2，1)，3C.(2，1)，3 D.(2，1)，9解析圆x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)29.故其圆心坐标为(2，1)，半径的长为3.答案A2.若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A.2或2 B.或C.2或0 D.2或0解析由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得，解得a2或a0.答案C3.当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A.x2y22x4y0 B.x2y22x4y0C.x2y22x4y0 D.x2y22x4y0解析直线(a1)xya10可化为(xy1)a(1x)0，由得C(1，2).圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案C4.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_.解析由表示圆的条件知a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，解得2a.答案2a5.点P(x0，y0)是圆x2y216上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是_.解析设M(x，y)，则即又P(x0，y0)在圆上，4x24y216，即x2y24.答案x2y246.设圆的方程为x2y24x50，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.解(1)将x2y24x50配方得：(x2)2y29.圆心坐标为C(2，0)，半径为r3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CPAB，kCPk1.又kCP1，k1.直线AB的方程为y1(x3)，即：xy40.7.已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程.解在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是.由两点的距离公式，上式用坐标表示为.两边平方并化简，得曲线方程x2y22x30.将方程配方，得(x1)2y24.所求曲线是圆心C(1，0)，半径为2的圆(如图).能 力 提 升8.圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则圆心在直线上，求得ab1，aba(1a)a2a，ab的取值范围是，故选A.答案A9.已知两点A(2，0)，B(0，2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是()A.3 B.3C.3 D.解析lAB：xy20，圆心(1，0)到l的距离d，AB边上的高的最小值为1.Smin23.答案A10.光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x5)2(y7)24的最短路程等于_.解析A(1，1)关于y轴对称点为A(1，1)，所求的最短路程为|AC|2，|AC|6.所求的最短路程为62.答案6211.动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.解(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M适合的条件可表示为平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点M的轨迹方程.(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1).由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，所以x，y.所以有x12x2，y12y.由(1)知，M是圆x2y216上的点，所以M的坐标(x1，y1)满足xy16.将代入整理，得(x1)2y24.所以M的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.探 究 创 新12.已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)表示的图形是圆.(1)求t的