第4章 原子的精细结构：电子自旋.ppt

1 第四章原子的精细结构 电子的自旋 4 1原子中电子轨道的运动磁矩 4 2史特恩 盖拉赫实验 4 4碱金属原子双线结构 4 3电子自旋的假设 4 5塞曼效应 2 前面我们用玻尔理论详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱 理论与实验符合的很好 可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现 上述光谱还有精细结构 这说明我们的原子模型还很粗糙 本章我们将引进电子自旋假设 对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用进行讨论 去考察原子的精细结构 并且我们要介绍史特恩 盖拉赫实验 塞曼效应 碱金属双线三个重要实验 它们证明了电子自旋假设的正确性 电子自旋假设的引入 正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应 3 由电磁学知识容易看出 电子的运动使它和原子核之间除了存在库仑作用之外还应该存在磁相互作用 而且通过计算得知磁相互作用比电相互作用要弱的多 既然电相互作用导致了原子的粗线条结构 那么磁相互作用就决定了原子的精细结构 而在实验中我们的确发现了光谱线的精细结构 如巴尔末系中的线不是单线 其中含有七条谱线等 玻尔理论考虑了原子中最主要的相互作用 即原子中电子和原子核的静电相互作用 也可以称为库仑作用 这种作用导致了原子内部的粗线条结构 如巴尔末光谱系等 4 4 1原子中电子轨道的运动磁矩 从电磁学理论出发 得到电子轨道运动引起的磁矩的经典表达式 根据量子力学的计算结果 得出电子轨道磁矩的量子表达式 对电子轨道磁矩的讨论使我们发现 电子运动轨道的大小 运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的 不仅如此 我们还将看到 在磁场中或电场中 电子的轨道只能取一定的方向 一般地说 在电场或磁场中 原子角动量的方向也是量子化的 人们把这种情况称作空间量子化 1 电子轨道磁矩的经典表示式 5 电磁学中我们学习过 闭合通电回路具有磁矩 由于电子带负电 所以它绕核运动就形成一个闭合通电回路 从而也具有一定的磁矩 电子的轨道磁矩大小的经典表示式为 6 称旋磁比 L为电子的轨道角动量 7 磁矩在外磁场B中受力矩 将引起角动量的变化 其中 B是电子磁矩绕外磁场方向旋转的角速度 称为拉莫尔进动的角速度 拉莫尔进动是电子磁矩或角动量绕外磁场旋进的运动 B z 8 由此可见 在均匀外磁场B中 高速旋转的磁矩并不向磁场B方向靠拢 而是以一定的角速度 绕B作进动 且 与B同向 进一步分析 图为与B垂直的进动面上的一小块扇面 显然有 9 因为 L 且量子力学的角动量是量子化的 2 的量子表示 其中l为角动量量子数 所以 为玻尔磁子 是轨道磁矩的最小单元 是原子物理学中的一个重要常数 10 其中ml为磁量子数 共有 2l 1 个取值 此式将在 量子力学 中学习 所以在z方向的投影为 可以看出 B是轨道磁矩的最小单元 又因为量子力学中角动量在z方向的投影大小为 11 另外 因为 可见磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级 所以电相互作用决定原子的粗线条结构而磁相互作用决定了原子的精细结构 原子的磁偶极矩的量度 精细结构常数 第一玻尔半径 3 角动量取向量子化 12 我们知道 当l 1时 即角动量矢量在空间有三个取向 Z 轨道角动量的大小及其z分量Lz的取值是量子化的 而Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化的 因为对于每一个l值有2l 1个ml值 即在z轴上应有2l 1个分量 因而有2l 1个取向 13 与l 1情况相同 我们有l 2时有5个取向 l 3时有7个取向 即 角动量量子数为l时 其在空间有2l 1个取向 它对应有2l 1个投影值ml Z 14 4 2史特恩 盖拉赫实验 通过第一节的学习 我们知道不仅原子中电子轨道的大小 形状和电子运动的角动量 原子内部的能量都是量子化的 而且在外部磁场中角动量的空间取向也是量子化的 史特恩 盖拉赫实验就验证了原子在外磁场中取向量子化的结论 15 O中装有被加热成蒸汽的某种基态原子 原子从O中逸出后通过狭缝s1 s2形成以速度v沿水平方向 x 运动的原子束 然后通过一个只沿Z方向变化的磁场 最后打到观察屏P上 16 实验结果与经典预言的对比 怎么解释预言与结果的差异呢 17 磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样 质心会受力作用而运动 磁场和热平衡时原子速度分别满足 其中k为玻尔兹曼常量 T为绝对温度 18 原子以速度v进入非均匀磁场B中 沿x方向不受力 作匀速运动 x vt 沿z方向作匀加速运动 有 如果磁场只是沿Z方向不均匀 则 19 原子沿z总位移 原子不受力 作自由运动 经D d 2后沿z偏移为 在x从d到D d 2段 在x d处 20 如图知 因此说原子蒸气送入不均匀磁场后 发射的原子束分裂为多束 每束沿z方向偏离平衡位置的距离为 按照经典预言应该是个连续值 由于是个确定值 所以是个连续值 而是量子化的 只能是连续的 即磁矩空间取向是连续的 21 而实验结果中z却是量子化的 从而要求必须量子化 即要求量子化 即磁矩的空间取向是量子化的 从而证明了磁矩空间取向的量子化特征 掌握 史特恩 盖拉赫实验的意义 22 例题史特恩 盖拉赫实验中 处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场 磁场的梯度为 磁极纵向范围d 0 04m 从磁极中心到屏距离D 0 14m 原子的速度 在屏上两束分开的距离l为0 002m 试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小 设磁场边缘的影响可忽略不计 解 原子束偏离平衡位置距离公式 由题意知 将各量数值带入得 银原子质量 23 思考 具有磁矩的原子 在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同 考研题 设原子的磁矩为 磁场沿Z方向 则原子磁矩在磁场方向的分量记为 于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为 其中是磁场沿Z方向的梯度 因为对于均匀磁场有 原子在磁场中不受力 原子磁矩绕磁场方向做拉莫尔进动 且对磁场的取向服从空间量子化规则 对非均磁场有 原子在磁场中除做上述运动外 还受到力的作用 原子束的路径要发生偏转 24 中国科技大学 原子物理学 2004考研真题 25 26 按照氢原子玻尔理论 基态氢是1s态 l 0 ml 0 所以 z 0 不受力 一条原子束不会分裂为两束 且分裂条数 2l 1 不可为偶数 如何解释这一矛盾呢 仔细观察实验结果 我们发现氢 基态 原子 T 7 104K kT 9 0eV 10 2eV 进入史特恩 盖拉赫装置后分裂为两束 基态氧原子分裂为五束 汞原子束不分裂 这说明到此为止 我们对原子的描述仍是不完全的 通过下一节课的学习 我们将使这种描述更趋于完美 4 3电子自旋的假设 27 在史特恩 盖拉赫实验中出现了偶分裂的情况 即2l 1为偶数 这要求l为分数形式 然而这种可能性是不存在的 1925年 两位不到25岁的荷兰大学生乌仑贝克和古兹米特大胆地提出电子的自旋运动的假设 电子不是点电荷 它除了轨道角动量外 还有自旋运动 它具有固有的自旋角动量 1 乌仑贝克与古兹米特提出电子自旋假设 与轨道角动量进行类比知 自旋角动量的大小为 28 有2l 1个空间取向 则自旋角动量有2s 1个空间取向 实验表明 对于电子 s 1 2 所以有 29 电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转 它是电子内部的属性 与运动状态无关 在经典物理中找不到对应物 是一个崭新的概念 电子自旋假设受到各种实验的支持 是对电子认识的一个重大发展 狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融洽的理论 可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的自然结果 自旋 概念是量子力学中的新概念 与经典力学不相容 一经提出便遭到泡利等一批物理学家的反对 但后来的事实证明 自旋的概念是微观物理学最重要的概念之一 如果视电子为带电小球 半径为0 01nm 它绕自身的轴线旋转 则当其角动量为时 表面处的切向线速度大大超过光速 30 2 朗德g因子 任意角动量量子数j对应的磁矩及在z方向的投影可以表示为 自旋角动量必然伴随有自旋磁矩 由实验得出 注意上式与轨道磁矩的表达形式不同 但这是实验结果 所以是正确的 为了统一轨道磁矩和自旋磁矩的形式 我们引入朗德因子 31 即 20 4 式 对于轨道角动量 j l gl 1 则上式写为 这就是我们前面得到的结论 对于自旋角动量 j s gs 2 我们可以得到 32 可见 朗德g因子是一个反映物质内部运动的重要物理量 注 自旋量子数s为什么取1 2 而不是其他的值 这是由于我们所提出的自旋仅是一个假设 它的提出是为了揭示一系列实验事实 固s的取值也是为了满足实验结果而定的 33 3 单电子g因子表达式 电子有轨道角动量 又有自旋角动量 所以它们可以矢量合成为电子的总角动量 按照量子力学观点 总角动量大小为 其中j为总角动量量子数 总角动量在z方向的投影为 34 按照量子力学角动量耦合理论 量子数j取值为 对于单电子 s 1 2 所以 35 由于l l 和s s 都绕j作进动 所以合成 也绕j作进动 从右图可以看出 不是一个有确定方向量 但是它在j方向投影是恒定的 记为 j 垂直j的分量因旋转 其平均效果为零 所以对外起作用的是 j 常把它称为电子的总磁矩 由于gs 2gl 所以 l和 s相对于各自的角动量而言增长的倍数并不相同 即 l和 s合成的总磁矩并不与轨道角动量l和自旋角动量s合成的总角动量j共线 单电子磁矩与角动量的关系 36 由图给出 37 对于上式需要注意的两点 先了解 详细内容下章再讲 1 只有当外磁场强度不足以破坏耦合时成立 2 多电子时 s和l改为总自旋和总轨道角动量所对应的量子数S和L 且j改为总角动量量子数J 38 以单电子原子为例说明引入总角动量的作用 由于引入了总角动量 原子态常用n2s 1Lj 2Lj表示 其中2s 1表示能级的多重性 因单电子原子电子自旋量子数s 1 2 所以2s 1 2 因而能级呈双重性 L是与l取值对应的大写英文字母 l 0 1 2 3 对应L为S P D F 后面章节详细说明 j是总角动量量子数 如l 1的P态 对应j 1 1 2 3 2和1 1 2 1 2两个值 所以l 1的原子态是双重的 2P3 2 2P1 2 给定了原子态就可以按 20 11 式求gj 39 几种双重态原子的gj因子和mjgj值 40 3 史特恩 盖拉赫实验的解释 上式解释了史特恩 盖拉赫实验结果 如氢原子的基态l 0 j 1 2 基态原子态为 而mj取值的个数决定分裂数目 所以一束原子进入非均匀磁场中要分裂为两束 原子态为2s 1Lj的原子将分裂为2j 1束 对于多电子原子 j应该由J代替 详见下章 考虑电子自旋后 不再是轨道磁矩在z方向的投影 而是总磁矩在z方向的投影 所以我们可以把原来的裂距写成 41 史特恩 盖拉赫实验结果 42 史特恩 盖拉赫实验证明了 1 角动量空间量子化行为2 电子自旋假设是正确的 而且自旋量子数s 1 2 3 电子自旋磁矩为 43 4 4碱金属原子双线结构 1 碱金属光谱的精细结构 定性考虑 2 自旋 轨道相互作用 精细结构的定量考虑 3 原子内部磁场的估计 4 碱金属光谱的精细结构 44 锂原子能级图 碱金属原子光谱的特征 1 有4组初始位置不同的谱线 但有3个终端 表明有4套动项和3套固定项 2 与主量子数和角量子有关 氢原子能级只与n有关 3 能级跃迁的选择定则 只有当 l 1时 两能级间的跃迁才是允许的 以Li的原子能级图为例 45 np 2s称主线系ns 2p称锐线系又称第二辅线系nd 2p称漫线系又称第一辅线系nf 3d称基线系又称帕格曼系 碱金属最外层有一个非常活泼的电子 其它电子与核形成稳定的集团 原子实 外层电子感受到 e库仑作用 因此与氢原子较相似 但原子实个子比氢核要大得多 这使碱金属原子能级结构与氢的能级不同 如3Li原子的价电子在n 2的2s态 2p态 它们与原子实之间存在极化效应和轨道贯穿效应 这些都导致Li原子的2s能级和2p能级较氢的E2 3 4eV都要低 而且2s比2p还要低 这使原子的同n 不同l的能级的简并度解除了 按照跃迁选择定则 L 1有 1 碱金属光谱的精细结构 定性考虑 46 用高分辨光谱仪作实验发现 主线系和锐线系都是双线结构 漫线系和基线系都是三线结构 能级为什么会发生精细分裂呢 且频率满足 光谱线的任何分裂都是能级分裂的结果 那么 从图中我们还可以看出 主线系双线间距 即分裂的波数差 随波数的增加而减少 而锐线系的双线间距却不随波数的增加而变化 47 根据双线间距的不同变化情况 先定性地讨论一下双线现象产生的原因 由于谱线对应的是跃迁的初态和末态能级之差 所以谱线分裂为两条 必定是初态和末态能级中至少有一个能级分裂成了两条 又由于在谱线系中 末态都是固定项 而初态是活动项 那么如果末态分裂 因为每个线系只有一个末态 所以对应着同一个分裂值 各谱线的分裂间距就一定不会随谱线的改变而改变 如锐线系的情形 如果初态分裂 由于每个线系含有若干个初态 不同的初态可能产生不同的分裂 从而使谱线的分裂随谱线的不同而不同 如主线系的情形 因此可以说 锐线系是末态能级分裂造成的 主线系是初态能级分裂造成的 48 又因为主线系是np 2s的跃迁 锐线系是ns 2p的跃迁 所以我们可以得出结论 产生分裂的是l 1的p能级 而l 0的s能级不分裂 另一方面 碱金属双线是电子自旋假设提出的根据之一 对于l 1的P态将有 从而j有两个取值 对应有2P3 2和2P1 2两个状态 所以P态能级分裂为两个能级 而l 0的S态 j只有一个取值j 1 2 所以对应只有2S1 2一个状态 即l 0的S态能级不会发生分裂 49 2 自旋 轨道相互作用 精细结构的定量考虑 我们一般假设原子核是静止的 电子作绕核运动 根据运动的相对性 在电子为静止的坐标系中 将会是原子核 原子实 绕电子的运动 这样 原子核 原子实 在电子处产生一个磁场 电子的自旋磁矩在这个磁场中将具有势能U 正是这个附加的势能迭加在原来的能级上 使原能级发生了分裂 根据电磁理论 在中的势能为 下面分别计算和U 50 核电荷Ze产生的电流为 其中为电子轨道角动量为电子静止能量 由电磁学知 电流元在r处的磁场为 因为原子实绕电子运动一周的过程中轨道角动量守恒 则 式中表示从指向场点的位矢 设电子速度为 dt时间内位移为 根据运动的相对性 核速度为 位移为 则原子核在电子处产生的磁场为 51 自旋 轨道作用是原子内部磁相互作用的简称 由于电子有自旋磁矩 s 自旋磁矩与该磁场作用 其作用能为 考虑了相对论修正1 2因子后 52 由上式可见 U只依赖于与的相对取向 且U正比于与的组合 这就被称为 自旋 轨道耦合 项 它是由轨道运动产生的磁场与自旋磁矩相互作用产生的附加能量 53 把 21 7 和 21 8 代入 21 4 中得自旋 轨道耦合项 注 l 0时 则 54 原 nl 能级上下分裂为双能级 两个能级的裂矩之比 见图 55 对应的频率差 波数差 21 11 两项能级差为 波长差 56 例如 氢的23P3 2 23P1 2能级差为 由 21 12 式可以看出双线分裂间距与Z4成正比与n3成反比 所以它随Z增大而急剧增加 随主量子数n的增大而减小 随轨道角动量量子数l的增大而减小 这些结论都与实验相符 57 还必须注意 以上讨论是以氢原子或类氢离子为对象给出的结果 对于碱金属原子 尽管也只涉及最外层的价电子 但它感受的核电荷并不是 Ze 也不是 e 而是屏蔽的有效电荷Z有效e 例如对钠3P 3S跃迁时的黄光 589 3nm 测得双线 0 6nm 由 U 2 hc 算得 U 2 110 3eV利用 21 12 式可给出Z有效 3 54 58 从左图中可以看出分裂间距随n和l增大而减小的特征右图表示著名的钠原子黄色双线结构 其间距为0 6nm 钠的某些能级分裂 大小不按比例 钠的黄色D线 59 由电子的势能 得到钠原子黄色双线的能差 原子内部的磁场为 3 原子内部磁场的估计 这个磁场是很强的 60 4 碱金属光谱的精细结构 首先给出电子跃迁的选择定则 熟记 这样我们就可以分别对碱金属原子光谱的四个谱线系的精细结构进行分析 主线系 nP S锐线系 nS P漫线系 nD P基线系 nF D 61 碱金属光谱的精细结构 主线系 锐线系 第二辅线系 漫线系 第一辅线系 基线系 柏格曼系 以上是量子力学对碱金属光谱精细结构的理论解释 选择定则 双线结构 三线结构 双线结构 三线结构 4 5塞曼效应 62 1 正常塞曼效应 2 反常塞曼效应 3 格罗春图 Zeeman 1865 1943 荷兰 获1902年度诺贝尔物理奖 63 1896年由荷兰物理学家塞曼 zeeman 在实验中观察到的 若原子放入磁场中 则光谱线将再一次发生分裂 原来的一条谱线分裂成几条的现象 塞曼效应 光谱的分裂根源于能级的分裂 根据谱线分裂情况的不同 塞曼效应分为正常塞曼效应与反常塞曼效应 正常塞曼效应是谱线分裂成三种成分的情况 也叫简单塞曼效应 注 并非所有分裂为三种成分的都是正常赛曼效应 反常塞曼效应是谱线分裂成三种以上成分的情况 也叫复杂塞曼效应 由塞曼效应可以推断有关能级分裂的情况 是研究原子结构的重要途径之一 本节从研究能级的分裂着手对正常 反常Zeeman效应进行讨论 64 前面讨论了自旋磁矩在原子内磁场中的附加能量引起能级第二次分裂 导致光谱精细结构的情况 在原子内 与的合成使得原子有一个总角动量 与此对应 和合成量沿方向的有效分量 为总磁矩 当原子放入外磁场时 与的作用使原子又获得附加能量 从而导致能级的第三次分裂 分裂层数由附加能量的个数决定 这是产生塞曼效应的本质原因 下面先讨论这个附加能量 磁矩在外磁场中的势能为 取方向为Z轴 因为 所以式中mj和gj都与能级有关 65 mj有2j 1个值 mj j j 1 j 即式因为mj的不同 有2j 1个不同的值 从而原来的一个能级n2s 1Lj分裂成2j 1个新能级 能级的分裂必然导致光谱的分裂 设某条谱线产生于的跃迁 加外磁场后 E1 E2分别变为E1 和E2 即 而 所以有 由此可知 原来的谱线现在变成了 的取值个数和大小取决于 根据g因子的不同取值又分为正常和反常塞满效应 66 1 正常塞曼效应 在磁场中放一个光源 如果从平行于磁场方向和垂直于磁场方向分别进行观测 对于正常塞曼效应 其结果是在垂直于方向观察到三条线偏振光 在平行于方向观察到一条左旋偏振光和一条右旋偏振光 正常塞曼效应的理论解释 正常塞曼效应产生于g 1的两个能级之间 两个能级均无自旋磁矩的贡献 67 m的选择定则是 m 0 1 所以 22 5 式化为 这说明 原来的一条谱线在外磁场中分裂成三条 即在垂直于的方向看到的三条线 因此 有多少个不同值 就有多少条谱线 由于跃迁的结果是放出光子 而光子的自旋角动量是 要求的数值不能大于1 根据量子力学的计算 选择定则不仅对量子数l j提出了限制 对m也提出了限制 68 镉原子的分裂谱线 对镉 Cd 原子的磁矩有贡献的是两个电子 它们自旋相反 总磁矩为0 2s 1 1 是独态 故能产生正常塞曼效应 共9个跃迁 但只有3种能量差 故出现3条分支谱线 其中每一条均包含3种跃迁 69 下面解释正常塞曼效应中的偏振光 首先给出几个基本概念 2 原子在不同能级间辐射跃迁时 角动量守恒 即系统辐射前的总角动量等于辐射后系统的角动量加上光子的角动量 3 辐射跃迁遵从的选择定则是 m 0 1 但是新的跃迁不能发生在同一能级分裂的诸新能级之间 下面我们就可以对出现偏振光的现象给出合理的解释 1 当原子处在某能级分裂后的新能级 对应mj值 上时 其角动量在外磁场方向的分量是 光子的角动量是 A 若 m m2 m1 1 意味着电子从 m1 m2 1 所以在m1对应的能级上 原子的磁量子数减少了1 即在m1对应的能级上 原子总角动量沿磁场方向的分量是 比在m2对应的能级上减少了 70 根据角动量守恒 这个角动量应为光子所具有 光子的总角动量应与外磁场方向一致 才能补偿总角动量的减小 为了满足这个要求 电矢量必须沿下图示方向旋转 所以平行于外磁场方向观察到的是左旋光 垂直于外磁场方向观察到的是线偏振光 B 当 m m2 m1 时 同上原因可得 原子系统总角动量增加了 为了抵消这个增加 光子这时的角动量应与外磁场方向相反 所以平行于外磁场方向观察到的是右旋光 垂直于外磁场方向观察到的是线偏振光 见上图 71 C 当 m m2 m1 0时 意味着原子系统在跃迁前后沿磁场方向的总角动量没有发生变化 而发射的光子具有角动量 为了满足原子系统和光子的总角动量守恒 光子的角动量只能垂直于外磁场方向 所以平行于外磁场方向就观察不到此光 而在垂直于外磁场方向观察到的是线偏振的线 综上所述 在垂直于外磁场方向可以观察到原谱线分裂成三条 中间一条是 谱线 是线偏振光 偏振方向与磁场方向平行 和 线分居两侧 同样是线偏振光 偏振方向与磁场方向垂直 在平行于外磁场方向观察到的两条线变成左 右旋偏振光 线消失 这与实验给出的结果完全一致 72 73 2 反常塞曼效应 正常塞曼效应 产生于s 0 g 1的系统 此时不涉及自旋 所以经典理论就可以对它作出解释 在发现并解释了正常塞曼效应的同时 人们观察到 一般情况下 光谱的分裂数目并不是三个 间隔也不相同 从1897年发现反常塞曼效应 在长达三十年的时间内 人们一直无法解释它 直到电子自旋假设提出后 反常塞曼效应才得到合理的解释 分