山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 抛物线讲练 理 新人教A版.doc

第二讲椭圆、双曲线与抛物线第三部分 抛物线一、抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹叫做抛物线二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr焦点坐标准线方程xxyy离心率e1焦半径|pf|x0|pf|x0|pf|y0|pf|y0抛物线的焦半径抛物线y22px(p0)上一点p(x0，y0)到焦点f的距离|pf|x0.基础自测1若抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是()a.b.c.d0【解析】m到准线的距离等于m到焦点的距离，又准线方程为y，设m(x，y)，则y1，y.【答案】b2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()ay28x by28xcy24x dy24x【解析】因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.所以选b.【答案】b3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点p(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()a4 b2c4或4 d12或2【解析】设抛物线方程为x22py(p0)，由题意知24，p4，抛物线方程为x28y，m216，m4.【答案】c4双曲线1的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为_【解析】双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方程为x， ，p216，又p0，则p4.【答案】45(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a. b. c1 d.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】b6(2013北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_【解析】抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p2，准线方程为x1.【答案】2x1考点一 抛物线的定义及标准方程例 (1)设圆c与圆c：x2(y3)21外切，与直线y0相切，则c的圆心轨迹为()a抛物线b双曲线c椭圆 d圆（2）(2012山东高考)已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2y bx2ycx28y dx216y解析：(1)设圆c的半径为r，又圆x2(y3)21的圆心c(0,3)，半径为1.依题意|cc|r1，圆心c到直线y0的距离为r，|cc|等于圆心c到直线y1的距离(r1)故圆c的圆心轨迹是抛物线(2)双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.方法技巧 若p(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|pf|x0；若过焦点的弦ab的端点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦长为|ab|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习 设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a.若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()ay24xby28xcy24x dy28x【解析】由抛物线方程知焦点f，直线l为y2，与y轴交点a.soaf|oa|of|4.a8，抛物线方程为y28x.【答案】b考点二 抛物线的几何性质例 已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a、b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18b24c36d48解析：设抛物线方程为y22px，当x时，y2p2，|y|p，p6，又点p到ab的距离始终为6，sabp12636.跟踪练习（2011辽宁）已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a. b1c. d.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段ab中点到y轴的距离为：(|af|bf|).答案：c考点三 直线与抛物线位置关系例 (2013陕西高考)已知动圆过定点a(4,0)，且在y轴上截得弦mn的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹c的方程；(2)已知点b(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p，q，若x轴是pbq的角平分线，证明直线l过定点【思路点拨】(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系图【尝试解答】(1)如图，设动圆圆心o1(x，y)，由题意，|o1a|o1m|.当o1不在y轴上时，过o1作o1hmn交mn于h，则h是mn的中点，|o1m|又|o1a|，.化简得，y28x(x0)当o1在y轴上时，o1与o重合，点o1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹c的方程为y28x.图(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.x轴是pbq的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线过定点(1,0),规律方法3解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为axbyc0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.m00直线与抛物线有两个公共点0直线与抛物线只有一个公共点0直线与抛物线没有公共点m0直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习已知抛物线c：y22px(p0)过点a(1，2)(1)求抛物线c的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【解】(1)将a(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2