云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学 3.1.1 倾斜角和斜率教案 新人教A必修2(1).doc

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 3.1.1 倾斜角和斜率教案 新人教a必修2一、内容和内容解析1内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。2解析；本课是解析几何第一课时。“万事开头难”，“好的开始是成功的一半”，解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。综上，从解析几何的基本方法坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。本课的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。二、目标和目标解析1理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。2理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。3通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与一个点和直线的方向确定一条直线是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。基于上述分析，确定本课时的教学难点：直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法斜率概念本质的认识。四教学支持条件分析可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。五教学过程设计（一）教学基本流程（一）以两点确定一条直线激起学生探求确定直线几何要素的兴趣引入“倾斜角”与“斜率”的概念师生共同探求过直线上的斜率公式及使用的条件讲解例题1、2课堂练习课下作业（二）导入新课在平面几何里，我们直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离等。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。本课时我们将研究最基础的知识直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。）（二）倾斜角概念的形成问题1平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？（设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）预设的回答：两点确定一条直线。启发引导：还有没有别的方法？能否利用给定的直角坐标系？在学生一定时间的思考后提出问题2在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。预设的回答：可能会有“与x轴的交角”“与y轴的交角”等。启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它叫做直线的倾斜角。由教师给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）图2中直线l的倾斜角为锐角，直线l的倾斜角为钝角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o。追问：由定义，倾斜角的范围是什么？（设计意图：在定义的形成过程中主要上针对个别条直线，研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。）预设的答案：倾斜角的取值范围为0o180o。倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角步等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。（三）斜率概念的形成问题3日常生活中我们经常遇到上坡下坡之类的问题，你知道哪些表示倾斜程度的量吗？这些量与倾斜角有关系吗？（设计意图：了解学生的知识经验，并引导学生建立坡度与倾斜角的关系。）（活动方式：先由学生在回忆的基础上做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份。之后再在学生回答的基础上引导学生建立这个量与倾斜角之间的关系。）预设的复习答案：可以用坡度表示斜坡的倾斜程度，如图3，有坡度（比）=。（此处可举具体的数字进行解释或复习）坡度与倾斜角的关系预设的答案：如图3所示是斜坡的主视图，可见，斜坡可以抽象为一条直线，它关于水平面的倾斜角记为，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角的正切值”。小结讲授：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率常用小写字母k表示，即k=tan。问题4 如图2，直线l的倾斜角=45 o，直线l的倾斜角=135 o，写出两条直线的斜率。再选取一些数据如倾斜角为：30 o，150 o，60 o，120 o等，计算相应直线的斜率。并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。（提示：当为锐角时，tan（180 o-）=-tan。）（设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。此处也可以多增加一些角，用计算器计算）（活动方式：由学生独立完成，教师在方法上予以指导分类讨论法，并类比倾斜角的意义思考概括。）计算过程：表1：倾斜角30 o45 o60 o135 o120 o150 o斜率预设的答案：倾斜角是90 o的直线没有斜率；倾斜角不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。（此处可以结合具体计算过程得到的表1进行理解。）因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。（四）直线斜率的坐标计算法问题5：确定直线的两个条件点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。根据斜率定义的过程，你能否将坡度进一步坐标化，在此基础上求出斜率的坐标表示？（设计意图：逐步实践坐标法。）（活动方式：先由学生初步坐标化，教师引导分类求解。）活动过程：原问题转化为：给定两点p1(x1,y1), p2(x2, y2)（其中x1x2）的坐标，求出直线p1 p2的斜率k。分析：解决这个问题需要分类求解，首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到四种不同的情况，如图4所示。分类求解。解决的具体思路是：先就图4（1）求解，再变式为图4（2），比较异同求解；之后就图4（3）求解，再变式为图4（4），类比求解。图4解：（略）。活动结果：综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：。追问：上述公式的适用范围是什么？与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？（设计意图：辨析公式。）（五）应用理解例1如图5，已知a(3，2),b(-4，1),c（0，-1）,求直线ab，bc，ca的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 图5（设计意图：巩固本课时所学的基本知识。）例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。（设计意图：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。） （六）小结通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。预设的回答：知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；方法：坐标法；数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。教学反思：学案3.1.1倾斜角和斜率 一、学习目标1理解倾斜角的概念2理解斜率的定义和斜率公式练习（二）问题与例题问题1平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？问题2倾斜角的范围是什么？问题3经过两点的直线的斜率公式是什么例、 求过下列两点的直线的斜率及倾斜角、; 斜率不存在，、; ，三、目标检测设计1、在仔细阅读教材的基础上完成教材3.1.1之后的练习，写在书上即可。（设计意图：培养数学阅读的习惯，和良好的数学学习的习惯，巩固本课时学习的内容。）练习2 习题3.1a组15题。写在作业本上（设计意图：通过灵活应用达到理解本课时所学内容的目的。）配餐作业a组题1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 0；（2）60；(3) 90；（）分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.已知a(2，3)、b(1，4)，则直线ab的斜率是 .b组题1.直线经过原点和点(1,1),则它的倾斜角是( )a. b. c.或 d.2.过点p(2,m)和q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )a.1 b.4 c.1或3 d.1或44.已知m(a,b)、n(a,c)(bc),则直线mn的倾斜角是 .5.已知o(0，0)、p(a,b)(a0)，直线op的斜率是 .6.已知，当时，直线的斜率 = ；当且时，直线的斜率为 ,倾斜角为 .参考答案：1.a 2.a 4.90 5. 6.；0；0c组题1.直线经过原点和点(1,1),则它的倾斜角是( )a. b. c.或 d.2.过点p(2,m)和q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )a.1 b.4 c.1或3 d.1或4教学设计（主备人：闫奇艳） 教研组长审查签名： 闫奇艳 高中课程标准数学必修2 教案执行时间： 1-3 312两条直线平行与垂直的判定一、内容及其解析1内容：本节主要是学习平面内两条直线平行与垂直的充要条件，使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形。2解析：直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明：证明直线平行，需要证明它们的斜率相等，并且证明它们不重合，证明两直线不平行，只要证它们的斜率不相等，证明四边形是梯形。平行四边行，三点共线。二、目标及其解析1目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，（2）通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力2解析（1）掌握两条直线平行的充要条件，并会判定两条直线是否平行。（2）通过教学，提高学生用旧知识解决新问题的能力，培养学生探索、概括能力三、教学问题诊断分析 推导两直线平行或垂直的充要条件，对于其中一条直线斜率不存在的情况要单独讨论。注意特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直四、教学支持条件分析板书五、教学过程设计（一）教学基本流程（1）为了体现数学知识中的基本思想方法和内在联系，所以在推导两直线垂直的斜率关系时对比了直线平行的推导方法，设下疑问，促使学生主动去探索之间的联系.（2）使用“问题串”形式组织教学，使得整个教学过程思路清晰，“提出问题解决问题应用知识提升知识”.（3）倡导 “合作交流”的学习方式，但要求学生在已有知识的基础上先独立思考，当有了想法、有一定的困惑时，再进行交流.练习，小结，作业通过例题巩固两直线平行的充要条件通过类比得出两直线垂直的充要条件给出图象，学生探究新知，得出两条直线平行的充要条件创设问题情境，引入实例复习巩固旧知识点因此，本节课设计教学模式如下 通过例题巩固两直线垂直的充要条件（二）导入新课师生活动：师生共同讨论。1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直2斜率存在时两直线的平行与垂直设直线和的斜率为和，它们的方程分别是：； ：两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征两条直线平行(不重合)的情形如果，那么它们的倾斜角相等：，即=反过来，如果两条直线的斜率相等，=，那么由于0180， 0180，两直线不重合，两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即= 要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是用倾斜角的关系推导：如果，这时，否则两直线平行设，甲图的特征是与的交点在x轴上方；乙图的特征是与的交点在x轴下方；丙图的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有因为和的斜率为和，即，所以 ，即或 反过来，如果或两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 例题讲解:例1. 已知a (2,3), b (-4,0), p (-3,1), q (-1,2), 试判断直线ba与pq的位置关系,并证明你的结论.例2. 已知四边形abcd的四个顶点分别为a (0,0), b (2,-1), c (4,2), d (2,3),试判断四边形abcd的形状,并给出证明4、由直角坐标系中探究两直线的垂直与直线的倾斜角、直线的斜率之间的关系，注意两直线垂直的充要条件成立的条件。例3. 已知a (-6,0), b (3,6), p (0,3), q (6,-6), 试判断直线ba与pq的位置关系.例4. 已知a (5,-1), b (1,1), c(2,3)三点, 试判断abc的形状.（六）小结师：通过今天的学习，大家有什么收获？（在学生充分讨论、小结的基础上，教师做适当总结）利用倾斜角和斜率的定义推导了两条直线平行与垂直的判定方法：（1）当k1不存在时，另一条斜率为0，l1l2；（2）当k1、k2都存在时，k1k2=1l1l2.本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解教学反思：（1）这节课指导思想是发挥学生的主体性，所以在判定方法和两直线平行与垂直的系数关系的教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的主导性，所以在推导过程之前，教师给予适当的指点与平行关系的类比，在最后一题的探究中也适时提出要求，组织讨论，完善结论.（2）教师在提出问题情境时，一方面回顾上节课知识，同时有意识地提出问题“两直线平行与垂直的斜率关系”，这样的方式有利于培养学生的学习兴趣，加深对数学知识的理解.（3）课程标准提倡“合作交流”的学习方式，但不能简单追求热闹.因此，在提问时，都是要求学生先独立思考，然后参与讨论、交流.这样有利于增强学生的智力参与，减少个别学生一味等待别人的成果.在数学交流时，应允许学生用自己的语言来表达对数学的理解，比如最后一道探究题。 学案312两条直线平行与垂直的判定一、学习目标本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解（二）问题与例题问题1如果，那么它们的倾斜角相等：问题21两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即= 问题3如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是例1 如图，直线的倾斜角30，直线，求、的斜率. 分析：对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾斜角，而根据平面几何知识， ，然后再求即可.三目标检测设计教材89页1。2题配餐作业a组:1. 直线的倾斜角为,直线,则直线的斜率为 _2. 已知过点a(,m)和b(m,4)的直线与斜率为的直线平行,则m的值为_3. 已知直线的斜率为3,直线过点a(1,2),b(2,a),若,则a值为_;若,则a值为_. b组4. 已知点p(3,m)在过点m(2,-1)和n(-3,4)的直线上,则m的值是_5. 已知a (1,5), b (-1,1), c (3,2), 四边形abcd是平行四边形,则d点坐标是_6. 下列说法中不正确的是_ 斜率均不存在的两条直线可能重合 若直线,则两条直线的斜率互为负倒数 两条直线的斜率互为负倒数,则这两条直线垂直 两条直线、中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则 c组7. 已知m (1,-3), n (1,2), p (5,y), 且,则=_8. 已知定点a (-1,3), b (4,2),以a、b为直径的端点作圆与x轴有交点c,求交点c的坐标 教学设计（主备人：闫奇艳） 教研组长审查签名： 闫奇艳 高中课程标准数学必修2 教案执行时间： 1-3 321直线的点斜式方程一、内容及其解析1内容：从教材整体来看，直线方程既是初中二元一次方程知识的延续（数与形相互转化），又与一次函数的知识相吻合，并且通过集合与对应的数学思想，构建了平面上的直线与的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用。本小节所介绍的直线方程的几种形式中，点斜式、斜截式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，在求直线方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的截距式是由点斜式导出.2解析：从本章内容看，直线方程是建立在“直线的倾斜角和斜率”的知识上，但直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程的基础，为进一步学习“曲线与方程”作铺垫，故直线的方程是本章的重点内容之一.另外，通过本节的学习，不仅有利于培养学生分析、讨论问题能力，而且有利于学生强化渗透集合与对应、数形结合的数学思想方法，初步掌握解析几何的基本思想.因此，本节知识的教学，无论是在学习数学知识，不是培养学生的能力，都显得地位显要，作用非同寻常二、目标及其解析1目标1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程 3、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系2解析本节是在已知确定直线的两个几何要素，即已知直线上一点和它的斜率的条件下，利用斜率公式建立直线上任意一点坐标的等式，进而推导出直线的点斜式方程，引入截距概念后推导出直线的斜截式方程，难点是点斜式方程的推导，重点是运用点斜式和斜截式求直线方程。三、教学问题诊断分析本节教学采用引导探究式的教学方法为主，并根据不同的内容调整教法。如公式的推导采用教师引导，学生自主探究的方法；例题采用教师精讲，学生精练，教师适时点拨的方法；巩固性训练采用自测练习，教师讲评的方法；综合应用采用分组讨论、交流、汇报，教师点评的方法等问题设计要适当，所设计的问题要能按知识发展的主线从易到难。四、教学支持条件分析板书五、教学过程设计（一）教学基本流程师生从复习初中一次函数开始交流探讨直线的斜截式方程讲解例2师生交流探讨出直线的点斜式方程课下作业讲解例1课堂练习一、复习引入： 1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围是. 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示.3概念辨析：当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是90的直线没有斜率.4.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式： 5斜率公式的形式特点及适用范围： 斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;当时，直线的倾斜角，没有斜率.6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等二、讲解新课：1. 直线的点斜式方程-已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程问题一：已知直线经过点，且斜率为，如何求直线的方程？设计意图：引出点斜式的概念。师生活动：此问题难度较小，可由学生自行推导，得出结论：请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字 根据直线的几何特征，确定命名为直线方程的点斜式.在学生推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分析：建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于.在得出方程后，要把它变成方程.因为前者表示的直线上缺少一个点，而后者才是整条直线的方程.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.问题二：平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？答：不能，因为斜率可能不存在.设计意图：让学生明白不是任何情况点斜式都存在。师生活动：师生共同探讨。点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构。同时，通过讨论，使学生切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避免遗漏.2直线的斜截式方程问题三：已知直线经过点p（0,b），并且它的斜率为，求直线的方程.设计意图：启发学生用直线方程的点斜式自行推导，得出结论：师生活动：由学生独立完成再次请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字，根据已知直线的几何特征，确定为斜截式深化理解：斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.例1 一条直线经过点，倾斜角，求这条直线的方程.（分析与解答详见教材）设计意图：引出截距及斜截式概念。师生活动：教师引导学生独立完成。练习 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：斜率是，在轴上的距截是2；斜角是，在轴上的距截是3 设计意图：从简单问题入手，通过变式，加强对知识的理解。师生活动：师生共同参与。设计意图：学会用条件求出直线的方程。（六）小结直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的一次函数y=kxb(k0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。教学反思：学案321直线的点斜式方程一、学习目标（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别（二）问题与例题如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？已知直线l的斜率k且l经过点p1(x1,y1)，如何求直线l的方程?方程导出的条件是什么？若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？已知直线l的斜率k且l经过点（，），如何求直线l的方程？例 判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2)l1:y=x,l2:y=-x.三目标检测1课本本节练习1、2拓展提升已知直线y=kxk2与以a(0，3)、b(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kxk2，我们发现它可以变为y2=k(x1)，这就可以看出，这是过(1，2)点的一组直线.设这个定点为p(1，2).配餐作业a组题1。斜率是-2，在y轴上的截距是4，写出直线的斜截式方程_2直线的点斜式方程是y-2=x-5，则斜率是_，纵截距是_b组题在同一坐标系中画出下面的所有函数图象，并指明每组图象的关系1y = -2x+1 ,y = x+1 , y = 2x+12y = -x+1,y = -x+2,y = -x-23y = x+1,y = - x+1思考：一次函数的解析式与刚才学的什么知识类似？如何从直线方程的角度认识一次函数y=ax+b:直线l1 ：y=k1x+b1与直线l2 :y=k2x+b2 .l1l2 _l1l2 _c组题1过点（-4，3），且与直线y=3x+1平行的直线的点斜式方程是_2，与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距是4的直线的斜截式方程是_3一条直线经过点a（1，2），并且它的倾斜角等于直线y= x+1的倾斜角的2 倍，求这条直线的斜截式方程_4.求直线2x-5y-10=0与坐标轴围成的三角形的面积_教学设计（主备人：闫奇艳） 教研组长审查签名： 闫奇艳 高中课程标准数学必修2 教案执行时间： 1-3 3.2.2 直线的两点式方程教学设计一、内容和内容解析1内容:直线方程两点式和截距式.2解析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、目标和目标解析1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.三、教学问题诊断分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.五教学过程设计（一）教学基本流程（一）师生共同探究直线的两点式方程通过创设不同角度的四个问题，自然引出直线的截距式方程师生配合完成例4课下作业课堂练习讲解例题1、2（二）导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点p1(1,2),p2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.思路2.要学生求直线的方程，题目如下：a(8，-1)，b(-2，4)；a(6，-4)，b(-1，2)；a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?提出问题已知两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.若点p1(x1,y1),p2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？两点式公式运用时应注意什么？已知直线l与x轴的交点为a(a,0)，与y轴的交点为b(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.x1x2,k=,直线的方程为y-y1=(x-x1).l的方程为y-y1=(x-x1).当y1y2时,方程可以写成.由于这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：式是由式导出的，它们表示的直线范围不同.式中只需x1x2，它不能表示倾斜角为90的直线的方程；式中x1x2且y1y2，它不能表示倾斜角为0或90的直线的方程，但式相对于式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.引导学生注意分式的分母需满足的条件.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程。因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得.就是=1.注意：这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.因为方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程式叫做直线方程的截距式.注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：若x1x2且y1y2,则直线l方程为.当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示(因为x1x2,y1y2).=1.a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练 已知rtabc的两直角边ac=3，bc=4，直角顶点c在原点，直角边ac在x轴负方向上，bc在y轴正方向上，求斜边ab所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是a(5，0)、b(3，3)、c(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据a、b、c三点坐标的特征，求ab所在的直线的方程应选用两点式；求bc所在的直线的方程应选用斜截式；求ac所在的直线的方程应选用截距式.解：ab所在直线的方程，由两点式,得,即3x+8y+15=0.bc所在直线的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.ac所在直线的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.例1 已知abc的顶点坐标为a（-1，5）、b（-2，-1）、c（4，3），m是bc边上的中点.（1）求ab边所在的直线方程；（2）求中线am的长;（3）求ab边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得，即6x-y+11=0.（2）设m的坐标为（x0,y0），则由中点坐标公式,得x0=1,y0=1,故m（1，1）,am=2.(3)因为直线ab的斜率为kab=-6，设ab边上的高所在直线的斜率为k,则有kkab=k(-6)=-1,k=.所以ab边高所在直线方程为y-3=(x-4),即x-6y+14=0.变式训练 求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.解：设直线方程为=1,则由题意知,有ab=3,ab=4.解得a=4,b=1或a=1,b=4.则直线方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2 经过点a(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx，又过点a(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设=1或=1,过点a(1,2)，则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.课堂小结 通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学反思：学案3.2.2 直线的两点式方程一、学习目标1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（二）问题与例题已知两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.若点p1(x1,y1),p2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？两点式公式运用时应注意什么？已知直线l与x轴的交点为a(a,0)，与y轴的交点为b(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？例如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴pq，mn，x轴，y轴则不能用截距式，其中pq，mn应