云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教学案（2）新人教A版必修1(1).doc

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算教学案（2）新人教a版必修1 一、内容及解析1、内容：我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数幂。进而推广到有理数指数，在推广到实数指数，并将幂的运算性质由整体指数幂推广到实数指数幂。2、解析：为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：米粒问题和gdp的增长问题。这两个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。二、目标及解析1、目标：（1）理解n次方根概念及n次方根的性质；（2）会求或化简根指数为正整数时的根式；（3）通过具体的情境，引发学生思考，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。2、解析： 通过与初中所学的知识进行类比，理解正整数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握正整数指数幂和根式之间的互化，掌握正整数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象类比的能力。三、数学问题诊断分析 （1）在教学时，要让学生充分体会“当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数”这时学生最容易犯错误。 （2）对结论“零的任何次方根都是零”，要启发学生用n次方根的定义去理解，即：应为,所以零的任何次方根都是零，即奇次方根、偶次方根都是零。四、教学支持条件根据本节内容的特点，教学中要尽量创设问题情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。五、教学过程设计（一）教学基本流程 创设问题，引入新课新知探究例题讲解练习巩固小结 课外作业（二）导入新课如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米， ，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？（学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重）如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米， ，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？（教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约中1.2亿吨！）1.2亿吨是什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，20072008年度我国大米产量为1.27亿吨，这就是说51号同学所需准备的大米相当于20072008年度我国全年的大米产量！这是怎么回事呢？大家再来看课本p48的问题1：根据国务院发展研究中心2000年发表的未来20年我国发展前景分析判断，未来20年，我国gdp（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3，那么，在20012020年,各年的gdp可望为2000年的多少倍?如果我们把2000年的gdp看成是1个单位，2001年为第1年，那么：1年后（即2001年），我国的gdp渴望为2000的）倍；2年后（即2002年），我国的gdp渴望为2000的倍；3年后（即2003年），我国的gdp渴望为2000的 倍；4年后（即2004年），我国的gdp渴望为2000的 倍； 设x年后我国的gdp为2000年的y倍，那么 y=（三）新知探究问题一：（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？（2）如，根据上面的结论我们又能得到什么呢？（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？（4）可否用一个式子表达呢？ 师生活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学习过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申和推广，相互交流讨论后回答，教师即使启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。讨论结果： （1）若，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为，负数没有平方根，同理，若，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2； （2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。 （3）类比（2）得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根； （4）用一个式子表达是，若，则x叫a的n次方根。问题二：（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？ 64的3次方根； -32的5方根；的3次方根； 4的2次方根； 16的4次方根；（2）对以上结果进行分析、整理，可以得出什么结论？（3）问题（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？师生活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的次方根，就是求出的哪个数的次方根等于，即使点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题（）中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生即使表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。讨论结果为：（1）因为的立方等于6，的5次方等于-32，的立方等于，的平方等于4，的4次方等于16. 所以64的3次方根； -32的5方根；的3次方根；4的2次方根 ；16的4次方根分别是， -2，。（2）方根的指数是2，3，4，5，特点是奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。（3）一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般的情形，得到n次方根的性质：当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用-表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成（a0）.n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示。负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。上面的文字语言可用下面的式子表示：零的n次方根为零，记为。可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。（四）应用示例例1：求下列各式的值：学生活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。设计意图：不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。（五）小结本节课学习了：1、如果，那么x叫a的n次方根，其中，用式子表示，式子叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数；（1）当n为偶函数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成（a0）.（2）n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示。（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是零。2、n为奇数时，； n为偶数时，设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。六、目标检测求下列各式的值：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）设计意图：通过课本中的原型习题考察学生对新知识的掌握程度。七、配餐作业a组1、 根式的概念：一般地，如果的 （1）当n为奇数时，a的n次方根记作 ；（2）当n为偶数时，负数a n次方根，而正数a有 n次方根且互为 ，记作 。2、求出下列各式的值： 3、以下说法正确的是 （ ）a. 正数的n次方根是一个正数b. 负数的n次方根是一个负数c. 0的任何次方根都是零 d. a的n次方根用表示（以上n1且）4、求下列各式的值： 设计意图：对课本中的习题作同等程度或降低程度的变式，考察学生对基础知识的掌握。预计完成时间20分钟。b组1、下列各式中正确的是 （ ）2、化简下列各式： 设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。预计完成时间10分钟。c组1、化简下列各式： 设计意图：使学生对指数函数的运用有更深层次的理解，并会运用知识解决稍微复杂的问题。预计完成时间5分钟。教学反思： 2.1.1 指数与指数幂的运算（二）一、内容及解析1、内容：我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数幂。进而推广到有理数指数，在推广到实数指数，并将幂的运算性质由整体指数幂推广到实数指数幂。2、解析：本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。二、目标及解析1、目标：（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握有理指数幂的运算性质；（3）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法（正整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂），通过一般化促进学生在原有的基础上自主建构，从而增强学生对数学本质的认识。2、解析： 掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想，通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自于生活，数学又服务于生活的哲理。三、数学问题诊断分析解决实际问题是不清楚问题的实质，不会用基本的方法来解决实际应用问题。对此可加入有针对性的教学实例，加强训练，激发学生的学习兴趣，不断培养学生分析问题和解决问题的能力。四、教学支持条件根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设问题情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。五、教学过程设计（一）教学基本流程创设问题，引入新课 新知探究，分数指数幂的概念例题讲解小结（二）导入新课 碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。（三）新知探究问题一：（1）整数指数幂的运算性质是什么？（2）观察以下式子，并总结出规律：a0 ; ; ; .（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？（4）你能用方根的意义来解释（3）式吗？（5）你能推广到一般的情形吗？ 师生活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时给1表扬，其他学生鼓励提示。讨论结果： （1）整数指数幂的运算性质：无意义。 （2） 的5次方根； 的2次方根； ； 的2次方根。实质上 ; ; ; 结果的a的指数是2，4，3，5分别写成了，形式上变了，本质没变。 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。 （3）利用（2）的规律，。 （4）的四次方根是的三次方根是的五次方根是的n次方根是 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。 （5）如果a0，那么的n次方根可表示为 综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是问题二：（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a0，去掉这个规定会产生什么样的后果？（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？师生活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义和负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a0的必要性，教师及时作出评价。讨论结果为：（1）负整数指数幂的意义是：。（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。规定：正数的负分数指数幂的意义是（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义（4）教师板书分数指数幂的意义，分数指数幂的意义就是： 正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义是 零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。 （5）若没有a0这个条件会怎样呢？ 如具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化为分数指数时，切记要使底数大于零，如无a0的条件，比如式子，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把符号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质： 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。（四）应用示例例1：求值：师生活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成，利用有理数幂的运算性质可以解答。设计意图：本例主要考察幂值的运算，要按规定来解，在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如例2：用分数指数幂的形式表示下列各式：师生活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。设计意图：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别的要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。例3：计算下列各式（式中字母都是正数）：师生活动：先由学生观察以下两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，右括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序人符合我们以前的四则运算顺序，再解答。同学之间相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。设计意图：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可以把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。（五）小结本节课学习了：1、分数指数幂的意义是： 正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义是 零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义2、规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。3、有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质： 4、说明两点： （1）分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只是表明这种规定的合理性，其中没有退推出关系； （2）整数指数幂的运算性质对于任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用来计算。设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。六、目标检测课本p54 练习 2课本p59 习题2.1 a组 2，3，4设计意图：通过课本中的原型习题考察学生运用新知识来解决实际问题的掌握程度。七、配餐作业a组1、（1）正数的正分数指数幂的意义是 ； （2）正数的负分数指数幂的意义是 ； （3）零的正分数次幂等于 ，零的负分数指数幂 。2、用分数指数幂表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）3、用分时指数幂表示下列下列各式：（1）； （2）； （3）设计意图：对课本中的习题作同等程度或降低程度的变式，考察学生对基础知识的掌握。预计完成时间20分钟。b组1、计算下列各式（式中各字母均为正数）： （1）； （2）； （3）； （4）2、计算下列各式： （1）； （2）设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。预计完成时间15分钟。c组1、下列运算中正确的是 （ ） a. ； b. ； c. ； d.2、下列各式 ； ； ； （各式的）中，有意义的是 （ ） a. b. c. d. 3、把根式改写成分数指数幂的形式为 （ ） a. b. c. d. 4、计算下列各式（式中各字母均为正数）： （1）； （2）； （3）； （4）设计意图：使学生对函数的画法和对函数的运用有更深层次的理解，并会运用函数知识解决稍微复杂的问题。预计完成时间15分钟。教学反思： 2.1.1 指数与指数幂的运算（三）一、内容及解析1、内容：我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数幂。进而推广到有理数指数，在推广到实数指数，并将幂的运算性质由整体指数幂推广到实数指数幂。2、解析：本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。二、目标及解析1、目标：（1）理解无理指数幂的意义；（2）体验“用有理数逼近无理数”的思想引进无理指数幂的过程；（3）让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的情感。2、解析： 通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。三、数学问题诊断分析解决实际问题是不清楚问题的实质，不会用基本的方法来解决实际应用问题。对此可加入有针对性的教学实例，加强训练，激发学生的学习兴趣，不断培养学生分析问题和解决问题的能力。四、教学支持条件根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设问题情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。五、教学过程设计（一）教学基本流程创设问题，引入新课新知探究例题讲解小结（二）导入新课 同学们，既然我们把指数从正整数推广到了整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是实数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题：指数与指数幂的运算之无理数指数幂。（三）新知探究问题一：（1）我们知道1.414 213 56，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，是的什么近似值？而1.42，1.415，1.4143，1.41422，是的什么近似值？（2）请同学么看课本p53的这两个表，能发现什么样的规律？（3）你能给上述思想起个名字吗？（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理的解释吗？（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?师生活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释。问题（1）从近似值的分类来考虑，一方面从大于的方向，另一方面从小于的方向。问题（2）对图表的观察一方面从上往下看，在一方面从作向右看，注意其关联。问题（3）上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。问题（4）对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。问题（5）在（3）（4）的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。讨论结果： （1）1.41，1.414，1.4142，1.41421，这些数都小于，称的不足近似值，而1.42，1.415，1.4143，1.41422，这些数都大于，称的过剩近似值。 （2）第一个表：从大于的方向逼近时，就从，即大于的方向逼近；第二个表：从小于的方向逼近时，就从，即下于的方向逼近。从另一个角度看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从，即小于的方向接近，而另一方面从，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限的接近，及逼近，所以是一串有理数指数幂，和另一串有理数指数幂，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即。充分表明是一个实数。 （3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这时以后要学的知识。 （4）根据（2）（3）我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。 （5）无理数指数幂的意义：一般的，无理数指数幂是一个确定的实数。也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。问题二：（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？师生活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比、归纳。对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的