锥度量不动点.doc

I SomeSome fixedfixed pointpoint theoremstheorems ofof set valuedset valued compressedcompressed mappingmapping inin conecone metricmetric spacespace Abstract In the first half of this thesis we proved the theorems of inward set and outward set under the cone metric space through the definitions of translation cone metric space and cone norm space in the second half we define haussdoff metric under cone metric space and then defined the continuity and compressed mapping of set valued mapping under cone metric space and proved two fixed point theorems of set valued compressed mapping Key words cone norm space inward set outward set Haussdoff metric set valued compressed mapping 目目 录录 II 1 引言 1 2 主要结果 2 2 1 内向集定理和外向集定理 2 2 2 集值映像下的压缩型不动点定理 5 参考文献参考文献 10 1 1 1 引言引言 回忆锥度量空间的定义和中关于集合的概念 是实 Banach 空间 是的子集 3EPE 被称作锥 如果满足一下条件 P i 是非空闭集 PP ii 对于任意的 0 a bR x yPaxbyP iii PP 对于每一给定的锥 PE 可以定义上的序关系 E 如果记作 表示 x yE xyyxP xy xy xy xy yx IntP 指的内集 如果存在一个常数满足对于满足 IntPP1k x yE 1 xyxky 则称锥 P 是正规的 称满足条件 1 的的最小值为的正规常数 1k P 如果存在一个常数 对于满足 1k x yP 2 xkyxy 则称锥 P 是逆正规的 称满足条件 1 的的最小值为的逆正规常数 1k P 如果锥为一关于序关系 的全序集 则称为一全序锥 P P 注 1 在以下的证明中 假定为实 Banach 空间 为中的全序锥且 EPEIntP 为由定义的序关系 P 定义定义 1 为一非空集 假设映射满足 X d XXE i 0 对于所有的 且 0 d x y x yX d x y xy ii 对于x yX d x yd y x iii 对于 d x y d x zd z y x y zX 则称为在上的锥度量 称为锥度量空间 dX X d 注 2 因为 00 那么在以下的证明中 我们假定 d x y d x y P d x yP 是的序列 如果对任意的且 对任意的 n xXxX cE c 0 n Nn 0 n c 则称收敛序列 且称收敛于 为的极限 记为 或 n d xx n x n xxx n xlim n n xx 者 当 如果对于所有的且 对任意的 m n n xx n cE c 0 n N 0 n c 则称为中的序列 若中所有的序列都收敛到 则 nm d xx n xXCauchyXCauchyX 称为完备的锥度量空间 X 2 2 2 主要结果主要结果 1 1 内向集定理和外向集定理内向集定理和外向集定理 首先引入具有平移不变性的锥度量空间和具有凸性的锥度量空间的概念 设为一X 线性空间 假定映射满足定义 1 d XXE 1 称为具有平移不变性的锥度量空间 如果对满足 X d x yX X 为零点 d x yd yxd xy 2 称为具有凸性的锥度量空间 如果对 X d x yX X 为零点 满足 R dxyd xd y 如果满足以上两条性质则称为锥赋泛空间 X d X d 定义定义 1 设为一全序锥 P NP aP 1 是的最大元 记作 aN aNxExa 且 max N 2 是的最小元 记作 aNaNxEx 且 amin N 3 是的上界 aN xN xa 4 是的下界 aN xN ax 5 是的上确界是的最小上界 记作 aN aNsupN 6 是的下确界是的最大下界 记作 aN aNinf N 定义定义 2 设 为一非空集 全序锥为一完备格 则XPxX 2EM inf d x Md x yyM 定义定义 3 设为一线性空间 是中的非空凸集 是中任一给定点 则集合EXExX 0 X IxyEyxzx 存在zX及使得 0 X OxyEyxzx 存在zX及使得 分别称为 Xx在处的外向集和内向集 由定义 3 可知 X IxxX X 定理定理 1 设是一具有平移不变性的锥度量空间 是中的非空紧凸集 E dXE 是具有非空紧凸值的连续映像 而且对任何的 当时 必有存 2ET X xX xT x 在使得 yX d y T xd x T x 那么在中存在不动点 TX 证明 用反证法 设在中无不动点 现在定义映像如下 TX 2XS X 3 S xyX d y T xd x T x 由定理的假设可以知道 是具有非空多值的映像 S 现证明 x S xT xBr 其中 x rd x T x xx BrxX xr 当时 由的平移不变性可知 yyX d y T xd x T x E d yT xd x T x 从而可得 x yT xBr x yT xBr 当时 可知 此时有 x yT xBr x yT xBr d yT xd x T x 由的平移不变性可知 E yyX d y T xd x T x 又因为为凸值的 故也是凸值的 TS 下证对任一 集合yX 1 SyxXyS x xX d y T xd x T x 是中的开集 X 任取 则 1 0 xSy 000 d y T xd x T x 令 因连续 所以也连续 因 XP xd x T xd y T x T 0 intxP 故得邻域 使得为开集 且 故也是 0 x 0 x UP 0 1 x UX 0 11 0 x xUSy 1 Sy 中的开集 于是由不动点定理 在中存在不动点 即 XFanBrower SX x xS x 因而有 d x T xd x T x 矛盾 故定理成立 证毕 定理定理 2 设为锥赋泛空间 是中的非空紧凸集 是具有非空紧凸值 E dXE 2ET X 的连续映像 而且对任何的 当时 在内向集中存在使得 xX xT x X Ixy d y T xd x T x 则在中存在不动点 TX 证明 由定理假定可知 对任一 当存在当时 存在使得xX xT x X yIx d y T xd x T x 又因为 故可以分为两种情况考虑 X XIx 1 当时 由定理 1 知 定理显然成立 yX 2 当时 由的定义可知 及使得 X yIxX X IxzX 0 1 yxzxxz 4 易知 事实上 若 那么 故1 0 1 yX 111 1 1 zyxxy 以下证明 d z T xd x T x 事实上 任取 存在 0 c u vT x 0 d x T xd x uc 0 d y T xd y vc 令 1 uv 1 因为是凸的 故 于是有 T x T x d z T xd z 1 dxuyu 00 1 cd x T xcd y T x 2 0 1 d x T xd y T xc 由假定 d x T xd y T x 现在 取 那么由 2 可知 0 cd x T xd y T x d z T xd x T x 则由定理 1 知定理 2 成立 证毕 定理定理 3 设为锥赋泛空间 是中的非空紧凸集 是具有非空紧凸值 E dXE 2ET X 的连续映像 而且对任何的 当时 存在 使得 xX xT x X yOx d y T xd x T x 则在中存在不动点 TX 证明 注意到以下事实 如果存在及 使得 zX 0 x yxzxOX 则由内向集的定义可知 X yxzxIx 现定义映像 如下 2ETX 2 TxxT x xX 因具有非空凸值的连续映像 故也是具有非空凸值的连续映像 而且T T inf d y Txd xzx bbTx inf 2 d xzxxb bT x inf d y b bT xd y T x 同理可证 5 d x Txd x T x 因此由定理的假定任一 当时 存在使得xX xT x X yOx d y T xd x T x 由于上面的讨论得知 对任一 当时 存在使得 xX xT x X yIx d y Txd x Tx 于是由定理 2 知 存在 使得 即 xX xTx 或 2 xxT x xT x 故定理成立 证毕 2 2 集值映像下的压缩型不动点定理集值映像下的压缩型不动点定理 设是一锥度量空间 表示所有集合的集合族 表示的一切非空 X d2XX CB XX 有界闭集的集合族 表示的一切非空紧集的集合族 C XX 定义定义 1 设是一锥度量空间 全序锥为一完备格 我们称由下式 X dP A BCB X 定义的度量为上由度量导出的度量 简称度量 H CB XdHaussdorffHaussdorff max H A BHA B HA B 其中 sup HA Bd x Ad x B xX sup HA Bd x Bd x A xXHB A inf d x Ad x a aA 则由度量定义可以得出以下结果 Haussdorff 命题命题 1 度量 Haussdorff max H A BHA B HA B 满足 i sup sup inf HA Bd x A xBd x yyA xB ii sup sup inf HA Bd x B xAd x yyB xA 证明 当时 故 xB d x B sup sup d x A xBd x Ad x B xB sup d x Ad x B xXHA B 反之 对一切的 一切的和一切的 我们有 xX aA bB d x ad x bd a b 对取下确界 那么有aA d x Ad x bd b A sup d x bd x A xB 6 在对取下确界 可得bB sup d x Ad x Bd x A xB 对上式取上确界 的 sup HA Bd x Ad x B xX sup d x A xB 故的证 交换的顺序 可得的结果 从而命题的证 i A B ii 定义定义 2 设 是两个锥度量空间 映射为一多值映像 当时 如 X E T XCB E 0 xX 果对 使得当时 成立 0 x 0 d x x 0 H T x T x 那么我们称映射在处连续 T 0 x 如果对 使得当时 成立 0 x 0 d x x 0 HT x T x 那么我们称映射在处上半连续 T 0 x 如果对 使得当时 成立 0 x 0 d x x 0 HT x T x 那么我们称映射在处下半连续 T 0 x 显然 如果映射在处连续 那么在处上半连续且在处下半连续 T 0 xT 0 x 0 x 引理引理 1 设是空间 为全序锥 有界集 那么存在上的范数 使EBanachPDP E 得 当时 a bD ab ab 证明 设为上一范数 如果该范数满足上式则定理成立 1 E 现假设该范数不满足定理 不妨假设 使得 当有KD 11 a bD 11 ab 时 那么 11 ab 11 a bK 现在令 1 sup mxxD 那么定义范数如下 1 2 1 xxD K x m xK x 很明显满足范数定义 如果或者 那么范数明显满足当时 a bK a bD K ab 而当时 由得定义可知 那么 ab aD K bK Kab 1 aa 从而有 2 1 m b b ab 证毕 引理引理 2 设为一有界的锥度量空间 全序锥为一完备格且是逆正规的 i X dP 则对 存在使得 A BCB X 0 aA bB d a bH A B 和任一数 存在 使得 iiaA 1 bB d a bH A B 7 证明 由和全序锥的定义可知 iaA inf d a Bd a b bB P n bB 那么对于使得当时有 n d a bd a B 0 n 0 nn n d a bd a B 由全序锥是逆正规的可得 那么存在使得P n d a bd a B bB d a bd a B 对不等式右边的取上确界 可得a d a bH A B 因为 ii 1 H A BH A BH A B 而由全序锥是闭集且可知 P1 1 H A B 由可得对和任一数 存在 使得 iaA 1 bB 1 d a bH A BH A BH A B 定义定义 3 设是二完备的锥度量空间 映射为一多值映射 称为是一 X Y T XCB Y T 多值的映射 如果存在一常数 对任意的满足 Lipschitz1k x yX H T x T ykd x y 如果上式的 则称为多值的压缩映像 1k T 定理定理 1 设是一完备有界的锥距离空间 全序锥为一完备格且是逆正规的 设 X dP 是一多值的压缩映像 则存在不动点 T XCB X T 证明 设的压缩常数为 由锥的定义 可取出 使得 又设T 0 1 k c ck 为中的任意一点 取 又取 使得 0 pX 10 pT pCB X 21 pT pCB X 1201 d p pcH T pT p 这由引理 2 可以办到 那么由引理 1 可得 1201 d p pcH T pT p 0101 cH T pT pkH T pT p 又取 使得 32 pT p 2312 d ppc cH T pT p 从而有 2312 d ppc cH T pT p 22 1212 cH T pT pkH T pT p 继续这与步骤 可以得到序列 使得 i pX 11 i iiii d p pkH T pT p 1 2 3 i 现在证明是中的序列 事实上 对任一 有 i pX Cauchyi 11 i iiii d p pkH T pT p 1 i ii kkd pp 8 1 21 ii ii kk kH T pT p 2 21 i ii kkd pp 01 ii ikkd pp 于是对任意的 有 i j 11 iijiiijij d p pd p pd pp 那么有 11 iijiiijij d p pd p pd pp 11 iiijij d p pd pp 1 01 ij nn n i nkkd pp 对于 有 那么当充分大时有 0 i j 1 01 ij nn n i nkkd pp 从而有 iij d p p 由引理 1 可知 从而得出是中的序列由上的完备性可知 iij d p p i pX CauchyX 由于是一多值的压缩映像 那么具有连续性 从而有 又因 i pp TT i T pT p 为 则 1 ii pT p pT p 定理得证 定义定义 4 设是一完备的锥距离空间 多值映像称为一致连续的 X d T XCB X 如果对任意的 当时有 x yX d x y H T x Y yd x y 我们称为可链的 如果对于任意的存在有限的点组 X d a bX 使得 011 nn ax xxxb 1 ii d xx 1 2 3 in 定理定理 2 设是一完备的可链的锥度量空间 且有界 全序锥为一完备 X d X dP 格且是逆正规的 设是一一致局部压缩多值映像 则存在不动点 T XCB X T 证明 在定义新锥度量如下 X d 1 1 inf n ii i dx yd xxx yX 这里 是的任意一链 而下确界是对的一切链取 0 n xx xy 01 n x xx x y x y 的 现验证是上的一锥度量 dX 因为的任意一链 则有 x y 01 n x xx 1 ii d xx 1 1 n ii i d xx 进而有 1 1 inf n ii i dx yd xx 9 如果 而 从而有 dx y 1 1 n ii i d xxd x y d x y 得出 而当 那么 故满足性质 1 xy xy 1 1 n ii i d xx dx y d 由于 11 iiii d xxd x x 所以 dx yd x y 故满足性质 2 d 对于 x y zX 1 1 inf n ii i dx yd xx 其中 是的任意一链 0 n xx xy 01 n x xx x y 11 1 1 inf n ii i dx zd xx 其中 是的任意一链 11 0 n xx xz 111 01 n xxx x z 22 1 1 inf n ii i dy zd xx 其中是的任意一链 22222 001 nn xy xz xxx y z 由下确界的定义和锥度量的性质可知 d dx zdx ydy z 由的定义可知 d 对于任意的 当时 x yX d x ydx y d x y d x ydx y 从而可知是完备的锥度量空间 X d 我们记为由导出的度量 H dHausdorff 现证按度量和是一多值压缩映像 f d H 设 而是之一链 又因为是一致局 x yX 01231 nn xx x x xxxy x y f 部压缩的 故有 11 iiii H f xf xd x x 于是可得 1 1 0 n ii i Hx yHf xf x 1 1 0 n ii i H f xf x 1 1 0 n ii i d x x 于上式右端对的一切链取下确界 即得 x y Hf xf xdx yx yX 于是定理的证明由定理 2 得之 证毕 10 参考文献参考文献 1 M Abbas and G Jungck Common fixed point results for non commuting mapp